任意角的三角函数12

10/15/202311.2.1任意角的三角函数海北一中孔繁蛟10/15/20232

在初中我们是如何定义锐角三角函数的？

复习回顾:OabMPc10/15/20233OabMP

yx

1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课引入:10/15/20234

yx1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？﹒﹒orba10/15/20235如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？﹒∽MOyxP(a,b)诱思探究:能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？10/15/20236以原点为圆心,以单位长度为半径的圆叫做单位圆.10/15/202372.任意角的三角函数定义10/15/20238yx10/15/20239任意角的三角函数定义域

因为，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以点的坐标与该点到原点的距离或坐标与坐标的比值为函数值的函数，所以,我们将他们称为三角函数.

所以,使比值有意义的角的集合就是三角函数的定义域.

因为任意角α的三角函数值仅与α有关，而与点P在角的终边上的位置无关.10/15/202310三角函数定义定义域y=sinαy/rRy=cosαx/rRy=tanαy/x{α|α≠kπ+π/2,k∈Z}三角函数的值在各象限的符号：++______++++三角函数的值由α终边所在象限的坐标的值确定口诀“一全正,二正弦，三正切,四余弦.”三角函数的几何表示：1.规定了方向（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段；2.规定了正方向的直线称为有向直线；3.有向线段与有向直线平行时，它们的方向相同或相反，思考：能否用有向线段来表示角α的三个三角函

数值？分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数叫做有向线段的数量；记为AB。10/15/202313yxo

的终边MPATyxo

的终边MPAT

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),由于r=1,则sinx=y,cosx=x,tanx=y/x.过P作X轴的垂线,交X轴于M(x,0)MP=y=sinα,OM=x=cosα,三角函数线MP是α的正弦线OM是α的余弦线思考:如何用有向线段表示α的正切?AT是正切线10/15/202314三角函数三角函数线正弦函数余弦函数正切函数正切线ATyxxO-1

PMA(1,0)Tsin=MPcos=OMtan=AT注意：三角函数线是有向线段！正弦线MP余弦线OM数形结合:用有向线段表示三角函数值10/15/202315例1求的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐标系中，作，易知的终边与单位圆的交点坐标为所以思考：若把角改为呢?，，

﹒﹒例题讲解:10/15/202316于是，练习1已知角的终边过点，求的三个三角函数值.解：由已知可得：巩固练习:

(1)已知角α的终边过点P(2a，-3a),求α的正弦、余弦、正切.

(2)已知角600°的终边上有一点P(-4，a)，求a的值.例题2：(1)试作出角α的终边，使sinα=0.5；

(2)根据(1)求出所有满足sinα=0.5的角α的集合.

(3)根据(1)、(2)求出所有满足sinα>0.5的角α的集合.

(4)根据(1)、(2)求出所有满足sinα<0.5的角α的集合.10/15/202319

例3求证：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角.①

②证明：因为①式成立,所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上；又因为②式成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限.因为①②式都成立，所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三象限角.反过来请同学们自己证明.巩固练习:(1)若角α是第二象限角，且则是第

象限角；(2)若θ是第二象限角，则函数值sin(cosθ)·cos(sinθ)是

号.10/