实验报告实验四最优化模型的建模分析

实验课程名称：_数据分析与建模__实验四最优化模型的建模分析成绩实验者专业班级组别无同组者无实验日期10月18日第一部分：实验预习报告（涉及实验目的、意义，实验基本原理与办法，重要仪器设备及耗材，实验方案与技术路线等）一、实验目的、意义本实验旨在通过资料查阅和上机实验，使学生熟悉和掌握最优化模型的分析办法和理论，掌握数据分析工具Mathematica，培养和提高数据分析的能力。二、实验基本原理与办法最优化模型的分析办法，数据分析工具Mathematica的使用办法，以及协助指南文档等。三、实验内容及规定最优化模型的建模分析，写出求解过程及分析结论。1、彩电生产问题的最优化分析一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种19英寸液晶平板电视机，制造商建议零售价为339美元；另一种21英寸液晶平板电视机，零售价为399美元。公司付出的成本为19英寸彩电每台195美元，21英寸彩电每台225美元；还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据预计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。并且19英寸彩电的销售会影响21英寸彩电的销售，反之亦然。据预计，每售出一台21英寸彩电，19英寸彩电的平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。（1）每种彩电应当各生产多少台，每种彩电的平均售价是多少？（2）最大的盈利利润是多少，利润率是多少？2、彩电生产的关税问题分析仍然是上述的无约束的彩电问题。由于公司的装配厂在海外，因此美国政府要对每台电视机征收25美元的关税。（1）将关税考虑进去，求最优生产量。这笔关税会使公司有多少耗费？在这笔耗费中，有多少是直接付给政府，又有多少是销售额的损失？（2）为了避免关税，公司与否应当将生产公司重新定址在美国本土上？假设海外的工厂能够按每年00美元的价格出租给另一家制造公司，在美国国内建设一种新工厂并使其运转起来每年需要耗费550000美元。这里建筑费用按新厂的预期使用年限分期偿还。（3）征收关税的目的是为了促使制造公司美国国内建厂。能够使公司乐旨在国内重新建厂的最低关税额是多少？（4）将关税定得足够高，使公司要重建工厂。讨论生产量和利润有关关税的敏捷性。阐明实际关税额的重要性。提示：Mathematica中的命令，Solve，D，ReplaceAll(/.)，等。可结合Excel进行列表分析。3、写出简短程序，绘制特殊图形在Mathematica中分别绘制下列五类基本初等函数，依次为：（1）幂函数：y=xμ（μ∈R是常数）；（2）指数函数：y=ax（a>0，且a≠1）；（3）对数函数：y=logax（a>0且a≠1，特别当a=e时，记为y=lnx）；（4）三角函数：如y=sinx，y=cosx，y=tanx等；（5）反三角函数：如y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx等。四、实验方案或技术路线（只针对综合型和设计型实验）按照实验任务规定，理论结合实际的实验方案，巩固课程内容，温故知新，查遗补漏，扎实理论基础，提高实验动手能力。技术路线是，从整体规划，分环节实施，实验全方面总结。第二部分：实验过程统计（可加页）（涉及实验原始数据统计，实验现象统计，实验过程发现的问题等）1、彩电生产问题的最优化分析（1）求解过程：本题采用五步法求解。【第一步：提出问题】首先，列出变量表，写出这些变量间的关系和所做的其它假设。例如，有的规定取值非负。然后，采用引入的符号，将问题用数学公式体现。第一步的成果归纳以下：变量：s=19英寸彩电的售出数量（每年）t=21英寸彩电的售出数量（每年）p=19英寸彩电的销售价格（美元）q=21英寸彩电的销售价格（美元）C=生产彩电的成本（美元/年）R=彩电销售的收入（美元/年）P=彩电销售的利润（美元/年）假设：p=339–0.01s–0.003tq=399–0.004s–0.01tR=p*s+q*tC=400000+195s+225tP=R–Cs≥0,t≥0目的：求P的最大值【第二步：选择建模办法】本题的彩电问题属于无约束的多变量最优化问题，这类问题普通用多元微积分来解决。【第三步：推导模型的体现式】P=R–C=p*s+q*t–(400000+195s+225t)=(339–0.01s–0.003t)*s+(399–0.004s–0.01t)*t–(400000+195s+225t)此处我令y=P作为求最大值的目的变量，x1=s,x2=t作为决策变量。故原问题可化为：在区域S={(x1,x2):x1≥0,x2≥0}上对：y=f(x1,x2)=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)求最大值。【第四步：求解模型】运用第二步选择的微积分的办法来求解。a.首先，用Mathematica绘出函数f的三维图像。绘制二元函数3D图形的命令：Plot3D[函数,第一变量的范畴,第二变量的范畴,可选项]图1函数f的三维图像由上图可知，f是一种抛物面，且f在S内部达成最大值。b.然后，再用Mathematica绘出函数f的等高线图。绘制二元函数等高线图的命令：ContourPlot[函数,第一变量的范畴,第二变量的范畴,可选项]图2函数f的等高线图由上图能够预计，f的最大值出现在x1=5000，x2=7000附近。c.运用Mathematica分别求出函数f有关x1，x2的偏导数。d.函数f是一种抛物面，欲求得其最高点，只需令x1和x2的偏导数同时为0，建立方程组求解即可。该方程组可运用Mathematica的Solve函数求解，解得：x1=4735.04≈4735,x2=7042.74≈7043e.将求得的x1,x2的值代入函数f的体现式：f(x1,x2)=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)即可求得f的最大值。求得f的最大值=553641其中，c、d、e应用Mathematica求解的运行成果以下图所示：图3应用Mathematica求解f.求解其它变量：19英寸彩电的平均售价：p=339–0.01*x1–0.003*x2=270.52（美元）21英寸彩电的平均售价：q=399–0.004*x1–0.01*x2=309.63（美元）生产彩电的总成本：C=400000+195*x1+225*x2=2908000（美元/年）利润率=利润/总成本=553641/2908000=19%【第五步：回答下列问题】这家公司能够通过生产4735台19英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年获得的净利润为553641美元。每台19英寸彩电的平均售价为270.52美元，每台21英寸彩电的平均售价为309.63美元。生产总支出为2908000美元，对应的利润率为19%。（2）分析结论：这些成果显示出这是有利可图的，因此建议这家公司应当实施推行新产品的计划。注意：以上得到的结论是以彩电问题的第一步中所做的假设为基础的。实际中，在向公司报告结论之前，应当对彩电市场和生产过程所做的假设进行敏捷性分析，以确保成果含有稳健性。2、彩电生产的关税问题分析（1）将关税考虑进去，求最优生产量。这笔关税会使公司有多少耗费？在这笔耗费中，有多少是直接付给政府，又有多少是销售额的损失？本题仍旧采用五步法求解。【第一步：提出问题】首先，列出变量表，写出这些变量间的关系和所做的其它假设。然后，采用引入的符号，将问题用数学公式体现。在前面所述无约束彩电问题的基础上，增加下列变量和假设：变量：k=支付的关税总额（美元/年）W=关税后的总利润（美元/年）假设：k=25*(s+t)W=P–k目的：求W的最大值【第二步：选择建模办法】本题的彩电问题属于无约束的多变量最优化问题，这类问题普通用多元微积分来解决。【第三步：推导模型的体现式】W=P–k=(339–0.01s–0.003t)*s+(399–0.004s–0.01t)*t–(400000+195s+225t)–25*(s+t)此处我令y=W作为求最大值的目的变量，x1=s,x2=t作为决策变量。故原问题可化为：在区域S={(x1,x2):x1≥0,x2≥0}上对：y=w(x1,x2)=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)–25*(x1+x2)求最大值。【第四步：求解模型】运用第二步选择的微积分的办法来求解。a.首先，用Mathematica绘出函数w的三维图像。绘制二元函数3D图形的命令：Plot3D[函数,第一变量的范畴,第二变量的范畴,可选项]图4函数w的三维图像由上图可知，w是一种抛物面，且w在S内部达成最大值。b.然后，再用Mathematica绘出函数w的等高线图。绘制二元函数等高线图的命令：ContourPlot[函数,第一变量的范畴,第二变量的范畴,可选项]图5函数w的等高线图由上图能够预计，w的最大值出现在x1=4000，x2=6000附近。c.运用Mathematica分别求出函数w有关x1，x2的偏导数。d.函数w是一种抛物面，欲求得其最高点，只需令x1和x2的偏导数同时为0，建立方程组求解即可。该方程组可运用Mathematica的Solve函数求解，解得：x1=3809.12≈3809,x2=6116.81≈6117e.将求得的x1,x2的值代入函数w的体现式：w(x1,x2)=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)–25*(x1+x2)即可求得w的最大值。求得w的最大值=282345其中，c、d、e应用Mathematica求解的运行成果以下图所示：图6应用Mathematica求解f.求解其它变量：关税总耗费：k=25*(x1+x2)=248148（美元/年）总利润减少额=553641–282345=271296（美元/年）考虑关税后销售额的损失额=271296–248148=23148（美元/年）【第五步：回答下列问题】考虑关税后，这家公司能够通过生产3809台19英寸彩电和6117台21英寸彩电来获得最大利润，每年获得的最大净利润为282345美元。这笔关税会使公司每年多耗费271296美元。在这笔耗费中，有248148美元是直接付给政府的，其它23148美元是销售额上的损失。（2）为了避免关税，公司与否应当将生产公司重新定址在美国本土上？假设海外的工厂能够按每年00美元的价格出租给另一家制造公司，在美国国内建设一种新工厂并使其运转起来每年需要耗费550000美元。这里建筑费用按新厂的预期使用年限分期偿还。【分析问题】当公司将生产公司重新定址在美国本土后：生产成本增加额=550000–00=350000（美元/年）考虑关税后：总利润减少额=553641–282345=271296（美元/年）【回答下列问题】由计算可知：在考虑关税的状况下，当公司将生产公司重新定址在美国本土后，每年的生产成本增加额350000美元不不大于总利润减少额271296美元。因此公司不应当将生产公司重新定址在美国本土上。（3）征收关税的目的是为了促使制造公司美国国内建厂。能够使公司乐旨在国内重新建厂的最低关税额是多少？保存前面所设的变量和所做的假设。假设政府对每台电视机征收x美元的关税。则关税后的总利润W=(339–0.01s–0.003t)*s+(399–0.004s–0.01t)*t–(400000+195s+225t)–x*(s+t)分析：当且仅当国内建厂成本不大于等于关税前后总利润的减少额，才干够使公司乐旨在国内重新建厂。即350000≤553641–W(max)，化简可得：W(max)≤203641即x≥[(339–0.01s–0.003t)*s+(399–0.004s–0.01t)*t–(400000+195s+225t)–203641]/(s+t)此处我令y=[(339–0.01s–0.003t)*s+(399–0.004s–0.01t)*t–(400000+195s+225t)–203641]/(s+t)作为求最大值的目的变量，x1=s,x2=t作为决策变量。故原问题可化为：在区域S={(x1,x2):x1≥0,x2≥0}上对：y=m(x1,x2)=[(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)–203641]/(x1+x2)求最大值。再令x≥m(x1,x2)的最大值即为所求。【求解模型】运用微积分的办法来求解。a.首先，用Mathematica绘出函数m的三维图像。绘制二元函数3D图形的命令：Plot3D[函数,第一变量的范畴,第二变量的范畴,可选项]图7函数w的三维图像由上图可知，m是一种抛物面，且m在S内部达成最大值。b.然后，再用Mathematica绘出函数m的等高线图。绘制二元函数等高线图的命令：ContourPlot[函数,第一变量的范畴,第二变量的范畴,可选项]图8函数m的等高线图由上图能够预计，m的最大值出现在x1=3500，x2=6000附近。c.运用Mathematica分别求出函数m有关x1，x2的偏导数。d.函数m是一种抛物面，欲求得其最高点，只需令x1和x2的偏导数同时为0，建立方程组求解即可。该方程组可运用Mathematica的Solve函数求解，解得：x1=3506.2≈3506,x2=5813.89≈5814e.将求得的x1,x2的值代入函数m的体现式：m(x1,x2)=[(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)–203641]/(x1+x2)即可求得m的最大值。求得m的最大值≈33其中，c、d、e应用Mathematica求解的运行成果以下图所示：图9应用Mathematica求解f.求解其它变量：故x≥33【回答下列问题】为了促使公司乐旨在国内重新建厂，政府可收取的最低关税额是33美元。（4）将关税定得足够高，使公司要重建工厂。讨论生产量和利润有关关税的敏捷性。阐明实际关税额的重要性。设每台彩电的关税额为x美元，每年19英寸彩电和21英寸彩电的生产量分别为x1,x2台，每年净利润为w美元。1）生产量x1,x2有关关税x的敏捷性a.粗分析现在假设关税x的实际值是不同的，对几个不同的x值，重复前面的求解过程,能够得到对生产量x1,x2有关x的敏感程度的某些数据。即给定x，对y=w(x1,x2)=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)–x*(x1+x2)分别求出函数w有关x1，x2的偏导数，再令x1和x2的偏导数同时为0，建立方程组求解。可得对应x1=4735.04-37.037x,x2=7042.74-37.037x图10用x来表达x1和x2用Excel绘出生产量x1,x2有关关税x的散点图。图11生产量x1,x2有关关税x的散点图由上述图表能够看到生产量x1,x2对关税x是很敏感的。即如果给定不同的关税，则生产量x1,x2将会有明显变化。甚至从理论上分析，当x足够大时，x1,x2的取值会变为负数。因此，x的取值要适宜、合理，所做的分析才故意义。b.生产量x1,x2有关关税x的敏捷性的系统分析前面已计算出，使偏导数同时为零的点为x1=4735.04-37.037x,x2=7042.74-37.037x，若要x1,x2≥0，只要x≤127.8即可。当0≤x≤127.8时，x1和x2随着x的增大而不停减小。c.生产量x1,x2对关税x的敏捷性的相对变化量：由x1=4735.04-37.037x,x2=7042.74-37.037x可得：在点x=33处，dx1/dx=-37.037,dx2/dx=-37.037S(x1,x)=(dx1/dx)*(x/x1)=-0.35S(x2,x)=(dx2/dx)*(x/x2)=-0.21即每台彩电的关税额x增加1%，则造成每年19英寸彩电和21英寸彩电的生产量x1,x2分别减少0.35%，0.21%2）利润w有关关税x的敏捷性a.粗分析w=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)–x*(x1+x2)由前面分析可得，生产量x1,x2对关税x是很敏感的，且此处分析的利润应当是在x=33美元的状况下的最大利润，故将x1=4735.04-37.037x,x2=7042.74-37.037x代入式子w=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)–x*(x1+x2),得w=(339-0.01*(4735.04-37.037x)-0.003*(7042.74-37.037x))*(4735.04-37.037x)+(399-0.004*(4735.04-37.037x)-0.01*(7042.74-37.037x))*(7042.74-37.037x)-(400000+195*(4735.04-37.037x)+225*(7042.74-37.037x))-x*((4735.04-37.037x)+(7042.74-37.037x))用Excel绘出利润w有关关税x的散点图。图12利润w有关关税x的散点图由上述图表能够看到利润w对关税x是很敏感的。即如果给定不同的关税，则利润x将会有明显变化。甚至从理论上分析，当x足够大时，w的取值会变为负数。因此，x的取值要适宜、合理，所做的分析才故意义。b.利润w有关关税x的敏捷性的系统分析由前面粗分析中的散点图可知，w随着x的增大而不停减小。当x≥57.4时，利润w变为负数。c.利润w对关税x的敏捷性的相对变化量：由x1=4735.04-37.037x,x2=7042.74-37.037x可得：在点x=33处，dw/dx=−9333.33S(w,x)=(dw/dx)*(x/w)=-1.5即每台彩电的关税额x增加1%，则造成每年净利润为w减少1.5%3、写出简短程序，绘制特殊图形（1）幂函数：y=xμ（μ∈R是常数）；此处我将μ的值分为μ≥0和μ<0分别举例绘出对应的含有代表性的图形。当μ≥0时，我列举了μ=0,1/2,1,2,3;当μ<0时，我列举了μ=-1/2,-1,-2一元函数作图的命令：Plot[{函数1,函数2,…},作图范畴,可选项]图13幂函数举例（2）指数函数：y=ax（a>0，且a≠1）；此处a的取值范畴只有0<a<1和a>1，因此我分别举例绘出了a=2和a=1/2时的图形，它们各自含有一定的代表性。一元函数作图的命令：Plot[{函数1,函数2,…},作图范畴,可选项]图14指数函数举例（3）对数函数：y=logax（a>0且a≠1，特别当a=e时，记为y=lnx）；此处a的取值范畴只有0<a<1和a>1，特别当a=e时，记为y=lnx。因此我分别举例绘出了a=7、a=1/7、a=e时的图形，它们各自含有一定的代表性。y=log7x和y=log1/7x用Log[7,x]和Log[1/7,x]表达。而y=lnx直接用Log[x]表达。一元函数作图的命令：Plot[{函数1,函数2,…},作图范畴,可选项]图15对数函数举例（4）三角函数：如y=sinx，y=cosx，y=tanx等；一元函数作图的命令：Plot[{函数1,函数2,…},作图范畴,可选项]此处三角函数的函数名首字母都要大写，否则软件不会将其视为三角函数，而是视为变量名。如果用Pi表达π时，首字母也需要大写，否则软件也会将其视为变量名。当输入对的时，下方会有的蓝色字体提示。图16三角函数（5）反三角函数：如y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx等。一元函数作图的命令：Plot[{函数1,函数2,…},作图范畴,可选项]此处反三角函数的函数名只需在三角函数的函数名之前加一种“Arc”即可。如果用Pi表达π时，首字母也需要大写，否则软件会将其视为一种变量名。图17反三角函数第三部分成果与讨论（可加页）一、实验成果分析（涉及数据解决、实验现象分析、影响因素讨论、综合分析和结论等）（1）问题1：针对第1题中的y=f(x1,x2)=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)在区域S={(x1,x2):x1≥0,x2≥0}上求最大值，如何预计自变量的取值：求解办法：a.首先，用Mathematica绘出函数f的三维图像。绘制二元函数3D图形的命令：Plot3D[函数,第一变量的范畴,第二变量的范畴,可选项]图18函数f的三维图像由上图可知，f是一种抛物面，且f在S内部达成最大值。b.然后，再用Mathematica绘出函数f的等高线图。绘制二元函数等高线图的命令：ContourPlot[函数,第一变量的范畴,第二变量的范畴,可选项]图19函数f的等高线图由上图能够预计出，f的最大值出现在x1=5000，x2=7000附近。（2）问题2：如何应用Mathematica求解无约束的多变量最优化问题解决办法：以第1题为例，具体环节以下：a.运用Mathematica分别求出函数f有关x1，x2的偏导数。b.函数f是一种抛物面，欲求得其最高点，只需令x1和x2的偏导数同时为0，建立方程组求解即可。该方程组可运用Mathematica的Solve函数求解，解得：x1=4735.04≈4735,x2=7042.74≈7043c.将求得的x1,x2的值代入函数f的体现式：f(x1,x2)=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)即可求得f的最大值。求得f的最大值=553641应用Mathematica求解的具体运行成果以下图所示：图20应用Mathematica求解（3）问题3：如何进行敏捷性分析（即敏捷性分析的办法）解决办法：以生产量x1,x2有关关税x的敏捷性分析为例，具体办法以下：a.粗分析现在假设关税x的实际值是不同的，对几个不同的x值，重复前面的求解过程,能够得到对生产量x1,x2有关x的敏感程度的某些数据。即给定x，对y=w(x1,x2)=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)–x*(x1+x2)分别求出函数w有关x1，x2的偏导数，再令x1和x2的偏导数同时为0，建立方程组求解。可得对应x1=4735.04-37.037x,x2=7042.74-37.037x图21用x来表达x1和x2用Excel绘出生产量x1,x2有关关税x的散点图。图22生产量x1,x2有关关税x的散点图由上述图表能够看到生产量x1,x2对关税x是很敏感的。即如果给定不同的关税，则生产量x1,x2将会有明显变化。甚至从理论上分析，当x足够大时，x1,x2的取值会变为负数。因此，x的取值要适宜、合理，所做的分析才故意义。b.生产量x1,x2有关关税x的敏捷性的系统分析前面已计算出，使偏导数同时为零的点为x1=4735.04-37.037x,x2=7042.74-37.037x，若要x1,x2≥0，只要x≤127.8即可。当0≤x≤127.8时，x1和x2随着x的增大而不停减小。c.生产量x1,x2对关税x的敏捷性的相对变化量：由x1=4735.04-37.037x,x2=7042.74-37.037x可得：在点x=33处，dx1/dx=-37.037,dx2/dx=-37.037S(x1,x)=(dx1/dx)*(x/x1)=-0.35S(x2,x)=(dx2/dx)*(x/x2)=-0.21即每台彩电的关税额x增加1%，则造成每年19英寸彩电和21英寸彩电的生产量x1,x2分别减少0.35%，0.2