(几何概型)讲课

几何概型

郑玉龙1.古典概型的特点:2.古典概型的概率计算公式:试验中所有可能出现的基本事件为有限个每个基本事件出现的可能性相等。知识回顾:P(A)=A包含的基本事件的个数

基本事件的总数(2)等可能性:(1)有限性:

问题：（1）若A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},则从A中任取出一个数,这个数不大于3的概率是多少？（2）若A=(0,9],则从A中任意取出一个数,这个数不大于3的概率是多少？它们的相同点和不同点分别是什么？怎样求问题2的概率？创设情境引入新课0123456789

取一根长为9米的彩带，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于3米的概率是多少?

问题1问题情境解：记“剪得两段彩带都不小于3m”为事件A.

把彩带三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于绳子上各点被剪断是等可能的，且中间一段的长度等于彩带的.

某列岛周围海域面积约为17万平方公里，如果在此海域里有面积达0.1万平方公里的大陆架蕴藏着石油，假设在这个海域里任意选定一点钻探，则钻出石油的概率是多少？解：记“钻出石油”为事件A，则

问题2

有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.

问题3解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A,事件A发生的概率

（2）试验的概率是如何求得的？（1）类比古典概型,说明以上三个试验有什么共同点？探究

借助几何图形的长度、面积、体积的比值分析事件A发生的概率.

①试验中所有可能出现的基本事件有无限多个；②每个基本事件的发生都是等可能的.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:

设D是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等）.每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点.

这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状与位置无关.我们把满足这种条件的概率模型称为几何概型.

在几何概型中，事件A的概率计算公式为理解定

义

射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环。从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色。金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm。运动员在70m外射箭。假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解：记“射中黄心”为事件B，则.答：射中黄心的概率为0.01应用与试验

例1

取一个长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。

解：记“豆子落入圆内”为事件A，例2

在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中取出10mL，含有麦锈病种子的概率是多少？解：记“取出10mL麦种，其中含有病种子”为事件A，

麦锈病种子在这1L种子中的分布可以看做是随机的，取得的10mL种子可视为区域d，所有种子可视为区域D.则有答：含有麦锈病种子的概率是.例3在直角三角形ABC,其中∠CAB=60°.在斜边AB上任取一点M,那么AM小于AC的概率有多大？ABCC’M

在AB上截取AC′=AC.当点M位于线段AC′内，AM<AC，故线段AC′即为区域d，于是

答：AM小于AC的概率为

由于点M随机地落在线段AB上，故可以认为点M落在线段AB上任一点是等可能的，可将线段AB看做区域D.解：记“在斜边AB上任取一点，AM<AC”为事件A,

CAB练习：在上一题构造的直角三角形ABC的基础上,过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM,与线段AB交于点M,那么这时AM<AC的概率有多大？

C’M在AB上截取AC′=AC,则∠ACC′=60°.

答：这时AM小于AC的概率为.

由于射线CM随机地落在∠ACB内部,故可以认为射线CM落在∠ACB内部任一位置都是等可能的.解：记“在∠ACB内部任作一条射线CM,与线段AB交于点M

，AM<AC”为事件A,

例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.解：设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得答：“等待的时间不超过10分钟”的概率为．生活应用

例2

假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?解:以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系,假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即时间A发生,所以练两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即小时，设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定时间范围内相见，当且仅当—≤x—y≤，因此转化成面积问题，利用几何概型求解.【解】设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，因此所求的概率为1．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝2．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．1．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝2．“面积比”是求几何概率的一种重要类型，也是在高考中常考的题型．3．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝

生活中的几何概型常见的有人约会问题、船停码头、等车等问题，解决时要注意：(1)要注意实际问题中的可能性的判断；(2)将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域．(2009·山东高考)在区间[－1,1]上随机取一个数x，cos的值介于0到之间的概率为(

)【解析】在区间[－1,1]上随机取一个实数x，cos的值位于[0,1]区间，若使cos的值位于[0，]区间，取到的实数x