在勾股定理的教学中渗透数学思想方法

在勾股定理的教学中渗透数学思想方法东莞东华初级中学陈佩弟《全日制义务教育数学课程标准》指出:“通过数学学习,学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法.”数学思想方法是数学的生命和灵魂,是数学知识的精髓,是把知识转化为能力的桥梁.因此,在数学教学活动中,教师应重视数学思想方法的渗透,注重对学生进行数学思想方法的培养,为学生的持续学习和发展作好奠基.勾股定理是平面几何有关度量的最基本、最重要的定理,也是中考的重要考点之一,其中蕴涵着多种数学思想,现小结如下:勾股定理与数形结合思想所谓数形结合思想,就是抓住数与形之间本质上的联系,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,使复杂问题简单化、抽象问题具体化,从而达到迅速解题的目的.勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系,它是把三角形有一个直角的“形”的特征,转化为三边“数”的关系,因此它是数形结合的一个典范.例1:（课本P76习题18.2T5）△ABC中，AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm.求AC思考与分析:解答本题一定要先根据题意画出相应的图形，求出BD=CD=5cm,再将题目所给的数据标在图上,得到如图,因此很容易就想到本题的解答思路是:先利用勾股定理的逆定理说明ZADB=90°，从而ZADC=90°，再用勾股定理即可求得AC解：TAD是BC边上的中线11.•・BD=CD二2BC=2X10=5cm（由形到数）BD2+AD2=52+122=25+144=169AB2=132=169BD2+BD2+AD2=AB2•••△ADB为直角三角形，且ZADB=90°（由数到形）.\ZADC=180°-ZADB=90°•••△ADC为直角三角形（由数到形）AC=丫AD2+CD2=、；122+52=v169=13cm（由形到数）

反思:此题综合运用了勾股定理及逆定理,充分体现了由形到数,再由数到形的数形结合的思想,从中你可以体会到数形结合的奥妙.勾股定理与分类讨论思想分类讨论思想是指在解题过程中,当条件或结论不确定或不唯一时,往往会产生几种可能的情况,这就需要依据一定的标准对问题进行分类,再针对各种不同的情况分别予以解决,最后综合各类结果得到整个问题的结论.分类讨论实质上是一种“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学方法.例2:（课本P76习题18.2T3）小明向东走80m后,沿另一方向又走了60m,再沿第三个方向走100m回到原地.小明向东走80m后又向哪个方向走的?思考与分析:观察数据80、60、100,根据勾股定理的逆定理可以判断出小明所走的路线形成了一个直角三角形,即小明向东走的80m是一直角边,转了90°角后走的60m是另一直角边,最后走的100m是斜边.因此得到本题的关键是弄清楚转的90°是往哪个方向转的.情况不确定,故须分类讨论:如果往右转90°,则向南走;如果往左转90°,则向北走.从而得到答案是向南或北走.本题若利用数形结合的思想,根据题意画出如图,思考起来会更直观.教师在讲解本题时也可以先让学生做课本P76练习T3:A、B、C三地的两两距离如图所示,A地在B地的正东方向,C地在B地的什么方向？这样设计的目的是让学生经历由易到难的过程,通过类比学习,明白这两题的本质是:一题是明确给12km出图形,情况唯一;另一题没有给图,情况不唯一,须B12km分类讨论.还有一道常考题:直角三角形的两条边长分别为3和4,则第三边长为学生审题不清,或容易受到定势思维的影响而漏掉一种情况.教师也可以让学生先做:直角三角形的两条直角边长分别为3和4,则第三边长为.对比学习，学生印象更深刻反思:当已知条件中没有给出图形时,应认真读句画图,避免遗漏情况;另在直角三角形中,已知两边长但不明确是直角边还是斜边时,应分类讨论.勾股定理与方程思想方程思想就是指在解决数学问题时,从分析问题的数量关系入手,通过设未知数,把问题中的已知量与未知量之间的数量关系联系起来,从而建立方程或方程组的数学模型,然后求解方程或方程组使问题得以解决.用方程思想分析、处理问题,思路清晰,解题灵活、简便.例3:（课本P81复习题18T7）—根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.为x尺则AC为（10-x）尺，利用勾股定理可列出方程x2+32=（10-x）2,解得x=4.55反思:勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程，所以，在利用勾股定理求线段的长时常常利用列方程来解决.勾股定理表达式中有三个量，当无法已知两个量求第三个量时，应采用间接求法，灵活地寻找题中的数量关系，利用勾股定理列方程.勾股定理与转化思想转化思想是指将陌生的问题转化为熟悉的问题，将特殊的问题转化为一般的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将综合的问题转化为基本的问题等一种解题的手段.如解方程（组）问题中，高次转化为一次，多元转化为一元;在几何问题中，将多边形转化为三角形，将空间图形转化为平面图形等都是转化思想的具体体现.例4:（课本P81复习题18T8）已知圆柱的底面半径为6cm,高为10cm,蚂蚁从A点爬到BAB=\.102+(6兀》=v100+36兀2〜21.3m反思:在立体图形的表面讨论最短距离,应先将立体图形转化为平面图形,再利用“两点

之间,线段最短”及勾股定理求解.本题还可以拓广到在正方体、圆锥、长方体中求最短距离.还应明确的是圆柱、正方体、圆锥的展开方式只有一种,而长方体的展开方式不只一种,须分类讨论,再通过比较得出最后的答案.五•勾股定理与整体思想整体思想是指对于某些数学问题,如果拘泥常规，从局部着手,则难以求解;如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考,就能开阔思路，较快解答题目.例5•在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）•已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S、S、S、S，求S+S+S+STOC\o"1-5"\h\z12341234BCD思考与分析:本题不可能具体求出S、S、S、S的值,但我们可以利用三角形全等1234和勾股定理分别求出S+S、S+S、S+S122334解：易证RtAABC9RtACDE・•・AB=CD•/CD2+DE2=CE2AB2+DE2=CE2*.*AB2=S,DE2=S,CE2=3TOC\o"1-5"\h\z34・•・S+S=334同理可得S+S=112・•・S+S+S+S=1+3=41234反思:化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法，利用整体思想，不仅会使问题化繁为简、化难为易,而且有助于培养学生的创造性思维能力.六.勾股定理与类比思想类比思想是数学学习的一种重要发现式和创造性思维.它是通过两个已知事物在某些方面所具有的共同属性,去推测这两个事物在其他方面也有相同或类似的属性,从而大胆猜想

得到结论.例6.(1)如图①，分别以RtAABC的三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S、S、12S表示,请说明S+S—S3231(2)如图②，分别以RtAABC的三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S、S、S123表示，S+S二S仍然成立吗?请说明理由.231⑶如图③,分别以ZABC的三边为边向外作三个等边三角形其面积分别用气、S2、S3之间的关系并加以证明.ABS3之间的关系并加以证明.AB思考与分析:图中有直角三角形，因此从我们熟悉的勾股定理入手，解决本题的关键是能正确地用直角三角形的三边长分别表示出S「/、S3.解：•.•ZACB=90°.・.BC2+AC2=AB2(1)很容易得证(2)S2+S3-Si仍然成立.S=一兀22S=一兀221=—兀BC2S=—兀83・•・S+S=-兀BC2+-kAC2=-兀2388821—c1(AB)=—kaC2,S=—兀—81^BC2+AC2)=1kAB2=S81=—^AB28⑶S2+S3二S「证明如下:设这三个等边三角形中BC、AC、AB边上的高分别为h、h、h3，则123h1二#BC，h2二#AC，h3二宅AB・•・S2二2•BC•h-吟BC2,S3二FAC2，S1二I3AB2.・.s+S二3BC2+3AC2二3Gc2+AC2)=1!AB2二S234444i反思:本题从特殊到一般,从已知到未知,运用类比方法进行探究,其关键就在于充分理解勾股定理和准确找到所作图形的面积与直角三角形三边长的关系•当然，等到学习了相似三角形的知识后,还可以继续探究:若分别以RtAABC的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S、S、S表示，为使S、S、S之间仍具有以上相同的关系，则所作的三角123123形应满足什么条件?本题也可以将条