（大学课件）随机变量及其分布：典型例题

典型例题一、离散型随机变量（一）求概率分布1.一批零件有９件合格品，３件次品，安装机器时，从中任取一个，直到取到正品，就下列两种取样方式a)放回取样；b)不放回取样，计算抽取次数Ｘ的概率分布．2.设某种试验成功的概率为p，独立重复试验直到试验成功两次，求试验次数Ｘ的概率分布．

3.

抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0＜p＜1），设X为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求X的分布列。1.一批零件有９件合格品，３件次品，安装机器时，从中任取一个，直到取到正品，就下列两种取样方式a)放回取样；b)不放回取样，计算抽取次数Ｘ的概率分布．解：a)放回取样Ｘ可取１，２，３，…

，概率分布为：

b)不放回取样Ｘ可取１，２，３，４，概率分布为：2.设某种试验成功的概率为p，独立重复试验直到试验成功两次，求试验次数Ｘ的概率分布．解：Ｘ可取２，３，…

，概率分布为

3.抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0＜p＜1），设X为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求X的分布列。解：Ｘ可取２，３，…

，概率分布为（二）概率分布已知，相关问题的计算４．设离散型随机变量Ｘ的概率分布为求（１）α；（２）分布函数；（３）Ｐ｛０＜Ｘ＜５｝解：(1)由得α＝0.25（３）Ｐ｛０＜Ｘ＜５｝=Ｐ｛X=1}+P{X=3}=0.45（三）分布函数已知，相关问题的计算５．设离散型随机变量Ｘ的分布函数为求（１）Ｘ的概率分布；（２）Ｐ｛１≤X＜５｝；解：(1)P{X=0}=F(0)-F(0-0)=0.3-0=0.3

P{X=1}=F(1)-F(1-0)=0.5-0.3=0.2

P{X=3}=F(3)-F(3-0)=0.9-0.5=0.4

P{X=5}=F(5)-F(5-0)=1-0.9=0.1（２）Ｐ｛１≤X＜５｝

=F(5-0)-F(1-0)=0.9-0.3=0.6(四）几种重要分布６．一射手对同一目标独立地进行４次射击，每次射击的命中率相同，如果至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率．解：设该射手的命中率为p,命中次数为Ｘ，则Ｘ～B(4,p)

由题意得P{X≥1}=80/81,所以P{X＝0}=1/81即(1-p)4=1/81,所以p=2/37.某商店订了１０００瓶饮料，设每个饮料瓶是否被打破相互独立，每个饮料瓶被打破的概率0.003，求商店收到破碎瓶子数分别是(１)恰有２只；(２)小于２只；(３)至少是１只的概率．已知e-3=0.0498解：设收到的破碎瓶子数为Ｘ，则Ｘ～B(1000,0.003)

由于n较大，p较小，可用泊松定理作近似计算λ＝np=3(1)P{X=2}≈(32/2!)e-3≈0.2241(2)P{X＜2}=P{X=0}+P{X=1}≈(30/0!)e-3+(31/1!)e-3

=4e-3≈0.1992(3)P{X≥1}=1-P{X=0}≈1-e-3≈0.9502二、连续型随机变量（一）分布函数已知，相关问题的计算１．设连续型随机变量Ｘ的分布函数为求（１）Ａ和Ｂ；（３）随机变量Ｘ的概率密度；解：(1)利用F(+∞)=1,及F(x)在x=0处的连续性得：A=1A+B=0所以Ａ＝１，B=-1=F(2)(二）概率密度已知，相关问题的计算；２．设连续型随机变量Ｘ的概率密度为求（１）Ａ；解：由概率密度的性质得：而所以A=43.设连续型随机变量Ｘ的概率密度为求分布函数Ｆ(x)．当0≤x＜1时，当1≤x＜2时，当x≥2时,(三）正态分布的有关问题４．某地外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为７２分，９６分以上占考生总数2.28％，求考生成绩在６０分至８４分之间的概率．解：由题设知：外语成绩Ｘ近似服从正态分布X～N（μ,σ2）其中μ＝７２，σ2未知，由于即：查表得：因此σ=12所以解因X～N（0