河南省南阳市2021-2022学年高一下学期期末数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河南省南阳市2021-2022学年高一下学期期末数学试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．已知角，则角的终边落在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，，且，则（

）A．2 B． C． D．3．已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．4．将函数的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．与图中曲线对应的函数可能是（

）A． B．C． D．6．化简的结果是（

）A． B．C． D．7．设，，为两两不重合的平面，，，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，，则；③若，，则；④若，，，，则.其中真命题是（

）A．①③ B．②④ C．③④ D．①②8．设向量，复数（为虚数单位，、），则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．9．若底面边长为，高为的正四棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．10．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．11．已知函数的最小正周期为，值域为，函数的最小正周期为，值域为，则（

）A．， B．，C．， D．，12．若四面体各棱长是或，且该四面体不是正四面体，则其体积的值不可能为（

）A． B． C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13．在平面直角坐标系中，，，，若A，B，C三点共线，则正数______．14．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面四边形的面积为______．15．______．16．如图，在中，，，，是的内切圆的圆心，则______．评卷人得分三、解答题17．（1）已知复数满足（为虚数单位），求；（2）求的值．18．已知函数．(1)若，求的值；(2)求的最大值．19．如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，为的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面．20．已知函数，．(1)求的最小正周期和单调递增区间；(2)求方程在内的所有实数根之和．21．如图，在中，，，点D在线段BC上．(1)当时，求的值；(2)若AD是的平分线，，求的面积．22．如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，将沿CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上．(1)设，当为何值时，的面积最小？(2)当的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面平面POF，若存在求出BF的长，若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【解析】【分析】利用象限角的定义判断可得出结论.【详解】因为，而是第三象限角，故角的终边落在第三象限.故选：C.2．A【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示计算．【详解】由题意，．故选：A．3．D【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的概念判断可得出合适的选项.【详解】，则，故的虚部为.故选：D.4．A【解析】【分析】化简函数的解析式，求出变换后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可求得的最小值.【详解】因为，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，因为函数为偶函数，则，解得，，则当时，取最小值.故选：A.5．D【解析】【分析】判断各选项中函数在区间或上的函数值符号以及奇偶性，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，当时，，A选项不满足条件；对于B选项，当时，，，B选项不满足条件；对于C选项，当时，，C选项不满足条件；对于D选项，令，该函数的定义域为，，故函数为偶函数，当时，，D选项满足条件.故选：D.6．D【解析】【分析】利用二倍角公式化简可得结果.【详解】原式.故选：D.7．C【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理构造反例，可以判定①错误；根据线面平行的判定定理构造反例，可以判定②错误；利用面面平行和线面平行的定义可以证明③正确；根据线面平行的性质定理和直线的平行公理，可证证明④正确.【详解】对于①：设直线平面,当平面都经过直线a时，，，但是,故①错误；对于②：当时，若，，，，不能得出，比如当时,在平面中任意平行与直线的两条直线，由线面平行的判定定理可知，成立，满足条件，但结论不成立，故②错误；对于③：若，根据平面平行的定义，可知没有公共点，由于，直线与平面没有公共点，即，故③正确；对于④：由得，又,,∴，同理，故，故④正确；故选C.【点睛】本题考查线面、面面平行、垂直的定义、判定与性质，属中档题，难度一般.8．C【解析】【分析】利用平面向量的模长公式以及复数的模长公式、复数的乘法可判断各选项的正误.【详解】因为，则，所以，，则，但，ABD选项正确，C错.故选：C.9．B【解析】【分析】计算出正四棱柱的体对角线长，可得出其外接球的半径，结合球体表面积公式可得结果.【详解】由题意可知，该正四棱柱的体对角线长为，因此，该正四棱柱的外接球半径为，因此，该正四棱柱的外接球的表面积为.故选：B.10．A【解析】【分析】根据锐角三角形可得角，进而根据正弦定理边化角，结合二倍角公式以及余弦函数的单调性即可求解.【详解】为锐角三角形，故,故进而由正弦定理可得故选：A11．C【解析】【分析】由二倍角公式、同角间的三角函数关系化简函数式，然后求出函数的周期和值域，判断各选项．【详解】由已知，，，，，，，，，，，，故选：C．12．D【解析】【分析】对四面体各棱的长度进行分类讨论，结合锥体的体积公式可求得该四面体的可能体积.【详解】设四面体为，分以下几种情况讨论：①若，其余各棱棱长均为，取的中点，连接、，因为，，为的中点，故，且，同理可得，，，、平面，平面，，所以，，所以，，所以，，此时，；②若，其余各棱棱长均为，取的中点，连接、，因为，为的中点，故，且，同理可得，，，、平面，平面，，所以，，所以，，所以，，此时，；③三棱锥为正三棱锥，且侧棱长为，是边长为的等边三角形，如下图所示：设顶点在底面内的射影点为，连接、，则，，，此时；故选：D.13．【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解.【详解】由题意可得，因为A，B，C三点共线，所以，进而或因为，所以，故答案为：14．【解析】【分析】作出原平面图形，可知，且，，利用平行四边形的面积公式可求得结果.【详解】不妨设正方形的边长为，，且，如下图所示：则在原平面图形中，且，，易知四边形为平行四边形，因此，平面图形的面积为.故答案为：.15．23【解析】【分析】根据正切的和角公式可得，然后根据对数的运算性质即可求解.【详解】因为，同理可得：，，故故答案为：2316．【解析】【分析】利用等面积法计算出圆的半径，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.【详解】设圆的半径为，因为，，，则，，则，则，因为，易知平分，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、、，则，，因此，.故答案为：.17．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，利用复数的模长公式、复数的运算以及复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出复数的值；（2）利用两角差的余弦公式、诱导公式化简可得出所求代数式的值.【详解】解：（1）设，由可得，由复数相等可得，解得，故；（2）原式.18．(1)(2)【解析】【分析】（1）由已知条件结合辅助角公式可得出，其中为锐角，且，，结合诱导公式可求得、的值，再利用二倍角的正弦公式可求得结果；（2）设，可得出，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.(1)解：因为，可得，其中为锐角，且，，所以，，则，所以，，，因此，.(2)解：因为，，令，则，则，当且仅当时，取最大值.19．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出平面，可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立.(1)证明：取的中点，连接、，因为、都垂直于平面，则且，因为、分别为、的中点，则且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面.(2)证明：为等边三角形，且为的中点，所以，，平面，平面，，，、平面，平面，，平面，平面，所以，平面平面.20．(1)最小正周期为，增区间为(2)【解析】【分析】（1）利用三角恒等化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可得出函数的增区间；（2），数形结合可知函数与函数在上的图象有个交点，利用对称性可求得这个交点横坐标之和，进而可求得方程在内的所有实数根之和.(1)解：，所以，函数的最小正周期为，由得，所以，函数的单调递增区间为.(2)解：当时，，令，作出函数与函数在上的图象如下图所示：可知函数与函数在上的图象有个交点，设这四个交点的横坐标由小到大依次为、、、，设，故方程在内有四个不等的实根、、、，由图可知，点、关于直线对称，点、关于直线对称，所以，，解得.21．(1)(2)或．【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用正弦定理可求，由已知利用二倍角的正弦函数公式可得，在中，利用正弦定理可求的值；（2）设，则，由余弦定理可得x的值，进而可求DC，又由（1）可求的值，利用三角形面积公式即可求值得解．【详解】解：（1），B是三角形内角，，，．，，，∴在中，．（2）设，则，在中，由余弦定理可得：，解得：或．因为AD是的平分线，所以，即，而，所以．又由（1）知，①当时，；②当时，．综上，的面积为或．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．22．(1)(2)且或【解析】【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直，进而根据三角形中的边角关系可得，而三角形的面积为，要使得面积最小，则最大即可；（2）根据空间直角坐标系，根据平面法向量垂直得