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第三章功和能【例题精选】*例8-1一个质点同时在几个力作用下的位移为： &=4i-5/+6k(SI)，其中一个力为恒力F=-3i-5/+9k(SI)，则此力在该位移过程中所作的功为(A)-67J (B)17J(C) 67J (D)91J[C]例8-2当重物减速下降时，合外力对它做的功(A)为正值. (B)为负值.(C)为零. (D)先为正值，后为负值. [B]例8-3质量m=1kg的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x轴运动，其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为F=3+2x(SI)，那么，物体在开始运动的3m内，合力所作的功W=①；且x=3m时，其速率v=②.x18J 6m/sx例8-4如图所示，劲度系数为k的弹簧，一端固定于墙上，另一端与一质量为m1的木块A相接，A又与质量为m2的木块B用不可伸长的轻绳相连，整个系统放在光滑水平面上.现在以不变的力F向右拉m2,使m2自平衡位置由静止开始运动，求木块A、B系统所受合外力为零时的速度，以及此过程中绳的拉力T对m1所作的功.解：设弹簧伸长x1时，木块A、B所受合外力为零，即有：F-kx1=0x1=F/k设绳的拉力T对m2所作的功为吟，恒力F对m2所作的功为为外，木块A、B系统所受合外力为零时的速度为V，弹簧在此过程中所作的功为*.1， .对m「m2系统，由动能定理有WF+WK=2®+m2)v2①1对m2有 WF+WT2=^mv2F2WjF2Wj=Fx=-~F1kv=F^k(m+m)F2——[1 2 ]=-k2(m+m)而WK=克=-京由②式可得W=—由②式可得W=—WT2 FF2(2m+m)

2k(m+m)例8-5一质量为m的质点在Oxy平面上运动，其位置矢量为 r=acos①11+bsin①tj(SI)式中a、b、①是正值常量，且a>b.(1)求质点在A点(a，0)时和B点(0，b)时的动能；(2)求质—>■ —>■ —►点所受的合外力F以及当质点从A点运动到B点的过程中F的分力「作的功.解：(1)位矢r=acos①11+bsin①tj(SI)x=acosot，y=bsinwtdxv=—=一a①sin①t,x dt

v=曳=2①cosntydt在A点(a,0),cos①t=1,sin①t=0在B点(0,b),coswt=0,sin①t=11=—mb2①221 1 1Ekb=—mv2+—mv2=—ma2①2(2)F=mai+maj=—maw2coswti一=j°Fdx=—j°mW2acoswtdx=一j0mw2xdx=】ma2①2ax a a 2mbw2sinwtj由A^B Wx例8-6质量为m的汽车，在水平面上沿x轴正方向运动，初始位置x°=0,从静止开始加速.在其发动机的功率P维持不变、且不计阻力的条件下，证明：在时刻t其速度表达式为：v=%,2Ptm.证明:dv dv由P=Fv及F=ma,P=mav代入a= P=mv——dt dt由此得Pdt=mvdv,两边积分，则有j'Pdt=jtmvdv0 0-Pt=mv2 v=■,2Pt/m2例8-7已知地球的半径为R质量为M.现有一质量为m的物体，在离地面高度为2R处.以地球和物体为系统，若取地面为势能零点，则系统的引力势能为①：若取无穷远处为势能零点，则系统的引力势能为②.(G为万有引力常量)2GmM 一GmM3R 3R例8-8有人把一物体由静止开始举高h时，物体获得速度v,在此过程中，若人对物体作功为W,贝0有W=mv2/2+mgh,这可以理解为“合外力对物体所作的功等于物体动能的增量与势能的增量之和”吗？为什么？答：W并不是合外力所作的功.因为物体所受的力除了人的作用力F外，还有重力P=mg,1一根据动能定理，合外力所作的功等于物体动能的增量，则可写为Fh-mgh=-mv2A即(F一P)h=—mv2+0所以W=Fh=—mv2+mgh2 2W是人对物体所作的功，而不是物体所受合外力所作的功.例8-9对功的概念以下几种说法中正确的是：保守力作正功时，系统内相应的势能增加.质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零.作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零.(A)(1)、(2)是正确的.(C)只有(2)是正确的.

(B)(2)、(3)是正确的.(D)只有(3)是正确的.例8-10一物体与斜面间的摩擦系数四=0.20,斜面固定，倾角a=45°.现给予物体以初速率％=10m/s,使它沿斜面向上滑，如图所示.求：物体能够上升的最大高度加该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v.1.. ,解：(1)根据功能原理，有fs=-mv2-mghA„ uNh icosafs= =pmgh sina sin„ uNh icosafs= =pmgh sina sina2 -v2

h= 0 =4.5m2g(1+Uctga)mgh-Umg如mgh-Umg如a(2)根据功能原理有mgh--mv2=fs-mv2A Av=bgh(1-Uctga)]12=8.16m/s【练习题】3-1质量为10kg的质点在力F=(7+5x)i(SI)的作用下沿x轴从静止开始作直线运动，从x=0到—»x=10m的过程中，力F所做的功为①.质点末态的速度为②.320J 8m/s3-2对于一个物体系来说，在下列的哪种情况下系统的机械能守恒？(A)合外力为0. (B)合外力不作功.(C)外力和非保守内力都不作功. (D)外力和保守内力都不作功. [C]3-3速度为v的子弹，打穿一块不动的木板后速度变为零，设木板对子弹的阻力是恒定的.那么，当子弹射入木板的深度等于其厚度的一半时，子弹的速度是3-4(a)4v•(D)1『v.<2如图所示，小球沿固定的光滑的1/4圆弧从A点由静止开始下滑，圆弧半径为R则小球在A点处的切向加速度at=①，小球在B点处的法向加速度an=②. 'kxkx20g 2g3-5劲度系数为k的弹簧，上端固定，下端悬挂重物.当弹簧伸长x0，重物在O处达到平衡，取重物在O处时各种势能均为零，则当弹簧长度为原长时，系统的重力势能为①：系统的弹的势能为②.(答案用k和x0表示)17一一kx220

r—rGMm-i 2rr3-6—人造地球卫星绕地球作椭圆运动，近地点为A,远地点为B.A、B两点距地心分别为J、弓.设卫星质量为m,地球质量为M,万有引力常量为G.则卫星在A、B两点处的万有引力势能之差EpB-EpA=『;卫星在A、B两点的动能之差Epr—rGMm-i 2rrGMm^^rrr*3-7设两个粒子之间相互作用力是排斥力，其大小与粒子间距离r的函数关系为f=k/r3，k为正值常量，试求这两个粒子相距为r时的势能(设相互作用力为零的地方势能为零)。解：两个粒子的相互作用力f=k；r3已知f=0即r=8处为势能零点，则势能E=W="fdr="攵dr=k(2r2)丫pr rr33-8如图所示，质量m为0.1kg的木块，在一个水平面上和一个劲度系数k为20N/m的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由原长压缩了x=0.4m.假设木块与水平面间的滑动摩擦系数四k为0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率v为多少？解：根据功能原理，木块在水平面上运动时，摩擦力所作的功等于系统(木块和弹簧)机械能的增量.由题意有-fx=1kx2—1mv2r2 2而 f=Rkmg,kx2由此得木块开始碰撞弹簧时的速率为v=|2|1kgx+~m=5.83m/s*3-9如图所示，劲度系数为k的弹簧，一端固定在墙壁上，另一端连一质量为m的物体，物体在坐标原点0时弹簧长度为原长.物体与桌面间的摩擦系数为i若物体在不变的外力F作用下向右移动，则物体到达最远位置时系统的弹性势能Ep=。2(F—rmg)2//k3-10如图，一质量为m的物体，在恒力F作用下沿倾角为0的固定斜面从A到B向上运动，AB间的距离为S，设物体在运动过程中所受的平均阻力 侦为物重的k倍.试证明上述过程中物体动能的增量为： ^>bAE^=FS—mgsin0