新教材适用2024版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究知识梳理·双基自测知识点一分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝_______________种不同的方法．知识点二分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_______________种不同的方法．m1＋m2＋…＋mnm1·m2·…·mn分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(

)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(

)×√(3)4名同学分别报名参加学校的3个社团，每人限报一个，则不同的报法种数为43.(

)(4)正十二边形共有54条对角线．(

)(5)用0,1,2,3,4这5个数字可以组成30个三位偶数．(

)×√×题组二走进教材2．(选择性必修3P37T1(3))安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不第一个出场，也不是最后一个出场，则不同的安排法种数为_________.4803．(选择性必修3P27T17改编)在如图所示的五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为(

)A．24 B．48C．72 D．96C题组三走向高考4．(2021·江苏高考)下图是某项工程的网络图(单位：天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有(

)A．14条 B．12条C．9条 D．7条[解析]

由图可知，由①→④有3条路径，由④→⑥有2条路径，由⑥→⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从①→⑧共有3×2×2＝12条路径．故选B.B5．(2021·全国高考)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(

)A．

60种 B．120种

C．240种 D．480种C考点突破·互动探究(1)(2023·广东江门调研)直线方程Ax＋By＝0，若从1,2,3,4这四个数字中每次取两个不同的数作为系数A，B的值，则方程表示不同直线的条数是_______.(2)(2022·湖南衡阳模拟)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有_______个．例1考点一分类加法计数原理——自主练透1012[解析]

(1)A＝1，B＝2或3或4表示3条不同直线；A＝2，B＝1或3表示2条不同直线；A＝3，B＝1或2或4表示3条不同直线；A＝4，B＝1或3表示2条不同直线．故方程表示10条不同直线．(2)当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时，共有4种情况．当有三个1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9种，当有三个2,3,4时：2221,3331,4441，有3种，根据分类计数原理得到12种结果．分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．〔变式训练1〕(2022·山东济宁模拟)6人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案数为(

)A．70 B．60C．50 D．40C(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(

)A．24 B．18C．12 D．9(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有_________种不同的报名方法．例2考点二分步乘法计数原理——师生共研B120[解析]

(1)从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝18(条)，故选B.(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．[引申1]本例(1)中若去掉“先到F处与小红会合”，则最短路径的条数为_______.[引申2]本例(1)中若将“先到F处与小红会合”改为“FH因施工不能通行”，则最短路径的条数为_______条．3523[引申3]本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有_________种不同的报名方法？[解析]

每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729(种)．729[引申4]本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有_________种不同的报名方法？[解析]

每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216(种)．216[引申5]本例(2)中若将“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报二人，且每人至多参加一项”，则共有_______种不同的报名方法．90(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．〔变式训练2〕(1)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_______种(用数字作答)．(2)(2023·重庆巴蜀中学模拟)现有10张奖券，其中有一、二、三等奖各1张，其余7张无奖．现将这10张奖券随机分发给5名同学，每人2张，则恰有两人获奖的情况数是(

)A．30 B．60C．90 D．12036B角度1与数字有关的问题

在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有(

)A．512 B．192C．240 D．108例3考点三两个计数原理的综合应用——多维探究D[引申](1)若将本例中“没有”改为“有”，则结果为_________；(2)本例组成的四位数中偶数的个数为_________个，其中比2310大的四位偶数的个数为_________个．252156109角度2涂色问题

将一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有(

)A．48种 B．72种C．96种 D．108种例4B[引申1]若给本例中四棱锥各面染上一种颜色，且相邻面(有公共棱的面)不同色，则不同的染色方法有_______种．[解析]

依次涂色，底面ABCD的染色有4种选择，侧面PAB的染色有3种选择，侧面PBC的染色有2种选择．①若侧面PCD与侧面PAB所染颜色相同，则侧面PAD的染色有2种选择；②若侧面PCD与侧面PAB所染颜色不同，则侧面PCD的染色有1种选择，侧面PAD的染色有1种选择．综上，不同的染色种数为4×3×2×(1×2＋1×1)＝72.72[引申2]本例中若将“每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色”改为“每条棱染上一种颜色且相交棱不同色”，则不同染色方法有_______种．48[解析]

四条侧棱染色有A＝24种方法，不妨记4种颜色为1,2,3,4，且PA染1，PB染2，PC染3，PD染4.则由知共有24×2＝48种染法．棱ABBCCDDA染色34124123角度3与几何有关的问题(2018·上海)《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是(

)A．4 B．8C．12 D．16例4D[解析]

根据正六边形的性质，则D1－A1ABB1，D1－A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E和D1一样，有2×4＝8(个)，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8＋4＋4＝16(个)，故选D.[引申](1)本例中若去掉“以AA1为底面矩形的一边”，则阳马的个数为_______个．(2)以六棱柱的顶点为顶点的四棱锥有_________个．72348利用两个计数原理解决应用问题的一般思路1．弄清完成一件事是做什么．2．确定是先分类后分步，还是先分步后分类．3．弄清分步、分类的标准是什么．分类要做到“不重不漏”；分步要做到“步骤完整”．综合问题一般是先分类再分步．4．利用两个计数原理求解．注意：(1)相同元素不加区分；(2)数字问题中0不能排在数的首位．〔变式训练3〕(1)(角度2)(2023·四川眉山诊断)如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成)．现给图中△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域(即图中有公共点的区域)不同色，已知有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数是(

)A．48 B．54C．72 D．108C(2)(角度1)由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2019大的有(

)个(

)A．10 B．11C．12 D．13(3)(角度3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(

)A．60 B．48C．36 D．24BB[解析]

(1)根据题意，分3步进行分析：①对于“赵爽弦图”ABCD，有4种选法，②对于△AEB，有3种选法，对于△AHD，有2种选法，③对于△DCG和△BCF，若△DCG与△AEB选的颜色相同，此时有2种选法，若△DCG与△AEB选的颜色不相同，此时有1种选法，则△DCG和△BCF有2＋1＝3种选法，则有4×3×2×3＝72种涂色方法．故选C.(2)千位数字为3时满足题意的数字个数为：3！＝6.千位数字为2时，只有2013不满足题意，则满足题意的数字的个数为3！－1＝5，综上可得：比2019大的有6＋5＝11个．(3)长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.名师讲坛·素养提升(1)将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是_________.(2)(2022·吉林模拟)一只蚂蚁从正四面体A－BCD的顶点A出发，沿着正四面体A－BCD的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点B，第4秒后又回到A点的不同爬行路线有(

)A．6条 B．7条C．8条 D．9条例6巧用图表法、间接法求解计数问题135B(3)如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其