新教材适用2024版高考数学一轮总复习第7章立体几何第3讲空间直线平面的平行课件

第七章立体几何第三讲空间直线、平面的平行知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究知识梳理·双基自测知识点一直线与平面平行的判定与性质

判定定理性质定理文字语言如果平面外的一条直线与__________________一条直线平行，那么该直线与此平面平行.一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与_____平行．此平面内的交线

判定定理性质定理图形语言符号语言知识点二面面平行的判定与性质

判定定理性质定理文字语言如果一个平面内的_____________直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行两个平面平行，如果一个平面与这两个平面相交，那么两条交线_________两条相交平行

判定定理性质定理图形语言符号语言1．若α∥β，a⊂α，则a∥β.

2．垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，则α∥β”．

3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若a⊥α，b⊥α，则a∥b”．

4．平行于同一个平面的两个平面平行，即“若α∥β，β∥γ，则α∥γ”．

题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(

)(2)平行于同一条直线的两个平面平行．(

)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(

)×××(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(

)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(

)(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(

)√××题组二走进教材2．(必修2P142T2)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(

)A．α内有无数条直线都与β平行B．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD[解析]

对于选项A，若α存在无数条直线与β平行，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则α内有无数条直线都与β平行，所以选项A的是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C的也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到—个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的是α∥β的一个充分条件．故选D.3．(必修2P138T2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_________.平行[解析]

连BD交AC于F，则F为BD中点，连EF，又E为DD1的中点，∴EF∥BD1，又EF⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，∴BD1∥平面AEC.题组三走向高考4．(2017·课标全国Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(

)A[解析]

B选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；D选项中，AB∥NQ，且AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ.故选A.5．(2021·天津卷(节选))如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．求证：D1F∥平面A1EC1.解法二：取AD的中点H，连D1H，HE，HF，AC，∴E为BC的中点，∴EH綉CD綉C1D1，∴四边形C1D1HE为平行四边形，∴D1H∥C1E，又D1H⊄平面A1EC1，C1E⊂平面A1EC1，∴D1H∥平面A1EC1，又F为CD的中点，∴HF∥AC∥A1C1又HF⊄平面A1EC1，A1C1⊂平面A1EC1，∴HF∥平面A1EC1，又D1H∩HF＝H，∴平面HFD1∥平面A1EC1，∴D1F∥平面A1EC1.解法三：以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴，建立如图空间直角坐标系，则考点突破·互动探究(1)(多选题)(2022·河南名校联盟质检改编)设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出下列四个命题中，其中正确的是()A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，a∥β，则α∥βC．若a⊥α，b⊥α，则a∥bD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β例1考点一空间平行关系的基本问题——自主练透CDl⊄α[解析]

(1)对于A，若a∥α，b∥α，

则直线a和直线b可以相交也可以异面，故A错误；对于B，若a∥α，a∥β，则平面α和平面β可以相交，故B错误；对于C，若a⊥α，b⊥α，则根据线面垂直性质定理，a∥b，故C正确；对于D，若a⊥α，a⊥β，则α∥β成立，∴D正确；故选CD.(2)①l∥m，m∥α⇒l∥α或l⊂α，由l⊄α⇒l∥α；②l⊄α，m⊂α，l∥m⇒l∥α；③l⊥m，m⊥α⇒l∥α或l⊂α，由l⊄α⇒l∥α.故答案为l⊄α.解答例1(1)这类的判断题，动手演示比画图更准确快捷．将笔、桌面(或墙面)看作直线、平面，当直线与平面平行时，可将笔旋转或平移再做判断．〔变式训练1〕(2022·广东惠州二模)已知m，n，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是(

)A．若m∥α，n⊂α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂β且α∥β，则m∥nC．α∥β，m∥β，则m∥αD．若α∩β＝m，β∩γ＝n，γ∩α＝c且m∥n，则m∥cD[解析]

对于A，m∥α，n⊂α⇒m∥n或m与n异面，∴A错误；对于B，若m⊂α，n⊂β，α∥β⇒m∥n或m，n异面，∴B错误；对于C，若α∥β，m∥β⇒m∥α或m⊂α，∴C错误；对于D，∵m∥n，n⊂γ，m⊄γ，∵m∥γ.∵α∩γ＝c，m⊂α，∴m∥c.∴D正确．故选D.角度1线面平行的判定例2考点二直线与平面平行的判定与性质——多维探究证明：BE∥平面PAD.[证明]

证法一(构造平行四边形)：如图，取PD的中点F，连接EF，FA.证法二(构造中位线)：延长DA、CB相交于H，连PH，证法三(构造平行平面)：取CD的中点H，连BH，HE，∵E为PC中点，∴EH∥PD，又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由题意知AB綉DH，∴BH∥AD，又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，∴平面BHE∥平面PAD，∴BE∥平面PAD.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(5)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．注：线面平行的关键是线线平行，证明中常构造三角形中位线或平行四边形．角度2线面平行的性质

如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：PA∥GH.例3[证明]

如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO.又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA⊂平面PAHG，∴PA∥GH.空间中证明两条直线平行的常用方法(1)利用线面平行的性质定理，即a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.已知l∥α，一般找或作过l且与α相交的平面探求解题方向．(2)利用平行公理：平行于同一直线的两条直线互相平行．(3)利用垂直于同一平面的两条直线互相平行．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2022·广东佛山质检，节选)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，E、F分别为AD、PC的中点．求证：EF∥平面PAB.B[解析]

(1)证法一：取PB的中点H，连FH、HA，证法二：取BC的中点H，连FH，HE，∵F为PC的中点，∴FH∥BP，又FH⊄平面PAB，∴FH∥平面PAB，又E为AD的中点，且四边形ABCD为平行四边形，∴HE∥BA，又HE⊄平面PAB，∴HE∥平面PAB，又FH∩EH＝H，∴平面EFH∥平面PAB，∴EF∥平面PAB.证法三：连CE并延长交BA的延长线于H，连PH.∵E为平行四边形ABCD的边AD的中点，∴△CDE≌△HAE，∴CE＝EH，又F为PC的中点，∴EF∥PH，又EF⊄平面PAB，PH⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)如图，取BB1上一点F，使B1F＝1，延长DC1至点E，使DE＝2，连接EF，EF∩B1C1＝N，则由DE綉BF知EF∥BD，连接ME，(2021·山东泰安市月考节选)如图，四棱锥P－ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠BAD＝90°，CD∥AB，CD＝3AB＝3AD＝3，△PAD为正三角形，E，F，G分别在线段BC，CD，AP上，DF＝2FC，BE＝2EC，PG＝2GA.证明：平面GBD∥平面PEF.例4考点三两个平面平行的判定与性质——师生共研[证明]

∵DF＝2FC，BE＝2EC，故△BCD中EF∥BD.∵EF⊂平面PEF，BD⊄平面PEF，∴BD∥平面PEF.连接AF交BD于点H，连GH，另解：延长FE与AB延长线交于H，连PH，证明面面平行的方法有(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．*(6)向量法：证明两平面的法向量平行．注：为便于构造平行线，常对锥体补形．〔变式训练3〕(2022·南昌模拟节选)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD.设M，N分别为PD，AD的中点．求证：平面CMN∥平面PAB.[证明]

∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA，又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，CN，MN⊂平面CMN，∴平面CMN∥平面PAB.

名师讲坛·素养提升(2022·安徽皖北联考)如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，请找出点H并证明；若不存在，请说明理由．例5平行关系中的探索性问题[解析]

(1)∵四边形ABED为正方形，F为BD的中点，∴E、F、A共线，连AE，又G为EC的中点，∴GF∥AC，又GF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC.注：本题也可取BE的中点Q，连GQ、FQ，通过证平面GFQ∥平面ABC来证；或取BC的中点M，AB的中点N，连GM、MN、NF，通过证四边形GMNF为平行四边形得GF∥MN来证．(2)当H为BC的中点时，平面GFH∥平面ACD.证明如下：∵G、H分别为EC、BC的中点，∴GH∥BE，又BE∥AD，∴GH∥AD，又GH⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴GH∥平面ACD，又GF∥AC，GF⊄平面ACD，