m带小波在大地测量信号处理中的应用

m带小波在大地测量信号处理中的应用

传统的双带小波应用于大地测量数据处理领域，取得了一定的成果。m波有以下优点：高端更详细；m波比二带小波具有更好的能量集中性。正交过程中的波选择性具有很大的自由度。当同时处理单带时，频率混合传播会减少。1带小波变换原理1.1m带小波的分解滤波器M带小波分解时,首先将输入信号,通过M个分析滤波器分解为M个频带,然后将每个频带的信号进行隔点采样,采样周期为M.信号重构时,则是将每个频带分量进行上采样,采样周期同样是M,最后经过重构滤波器合成为原信号.设ϕ(t)为尺度函数,使得ϕj,k={M-2/jϕ(M-jt-k)},k∈Z构成多分辨率子空间Vj的规范正交基,且满足双尺度方程ϕ(t)=√Μ∑kh0(k)ϕ(Μt-k)ϕ(t)=M−−√∑kh0(k)ϕ(Mt−k)相应的小波共有M-1个.定义尺度函数φj,k和小波函数Ψij,kij,k为φj,k(t)=M-j/2φ(M-jt-k)(1)Ψij,kij,k(t)=M-j/2Ψi(M-jt-k)(2)设cj为上一级的小波逼近分量,则M带小波分解为cj+1(n)=∑kh0(Μn-k)cj(k)(3)d(i)j+1=∑khi(Μn-k)cj(k)(4)hi(i=0,1,⋯‚Μ-1)cj+1(n)=∑kh0(Mn−k)cj(k)(3)d(i)j+1=∑khi(Mn−k)cj(k)(4)hi(i=0,1,⋯‚M−1)是其分解滤波器.同理,M带小波重构算法为cj,k=∑m∈Ζcj+1,nh0k-Μn+Μ-1∑i-1dij+1,nhik-Μn(k∈Ζ)(5)cj,k=∑m∈Zcj+1,nh0k−Mn+∑i−1M−1dij+1,nhik−Mn(k∈Z)(5)1.2改进保护因子带重构假设信号f(t)的采样频率为fs,根据Naquist采样定理,经过M带小波分解之后,其频带范围被划为成M个子频带.若对每个子频带的信号进行分解,则又得出M个子频带.不断重复这一过程,设(i,j)表示第i层第j个节点,在第i层上,频带的频率不是随着j的增大逐渐增加,而是某些频带发生一定规律的错乱.而且随着分解层次的增大错乱越复杂.首先将信号按照M带小波包算法进行分解,得到各层小波包系数,然后将各子带上的小波包系数分别重构至与原始信号相同的尺度,利用M下采样和M上采样的反向折叠作用,消除由于上、下采样引起的频率折叠.单子带重构能够消除频率折叠,由于实际应用的小波滤波器的非理想频域特性,各子带中含有其相邻子带的分量.通过改进单子带重构算法,即对每一个小波包向下分解时,都利用FFT(快速傅里叶变换)和IFFT(快速傅里叶逆变换)去除各子带多余频率成分,以减弱M带小波滤波器非理想性影响.改进单子带重构消除了部分的频率折叠和子带中存在的虚假频率成分,但M带小波包分解后还存在频带错乱,应按照频带混叠的规律进行节点重排序,使得各个子带在不存在多余频率成分的同时,各子带的顺序也满足理想的M带小波包频带划分规律.由于本次实例分析中时间序列自身的频率分布特性,其特征频率分布在低频带中,在利用M带小波滤波器分解信号的同时,只对每层的第一个节点进行分解即可,直到提取出所需要的频带,因此可以不考虑频率折叠,只需要通过改进的算法对各子带多余频率进行消除即可.2改进的m带小波包组合算法设时间序列s由一系列正弦波叠加而成,采样频率为100Hz,存在的频率项为3Hz、13Hz、20Hz、30Hz、36Hz、47Hz.利用三带小波包对其进行分解,并重构得到图1.图1中的(a)、(c)、(e)分别表示利用普通三带小波包重构算法分析s所得的结果,(b)、(d)、(f)则表示利用改进后的三带小波单自带重构算法所分析的结果.图1中每个小图形的左边是由分解第二层的所有节点经过三带小波包分解重构后的特征频率项,和该特征项的傅里叶变换,从傅里叶图谱中可得利用普通三带小波包分解产生了频率混淆,比如在第图1(a)的节点(2,3)存在两个不属于该频带的频率,有9Hz、20Hz,而该频带范围为11Hz～16Hz.频率折叠的现象在上图也有体现,在图1(e)中,理论上节点(2,7)和节点(2,9)的特征频率分别为20Hz、30Hz,但是经过分解后两个节点的频率刚好互相折叠,其特征频率分别为30Hz、20Hz.由于包含在低频子带中的高频部分和包含在高频中的低频部分经过上采样和下采样,且不满足采样定理,所以会产生频率折叠.由图1可以看出频率折叠的一些规律,在每一层的奇数节点向下分解得到的子节点的频带顺序正常,例如第一层分解的第一个节点向下分解的时候并没有发生频率折叠的情况,而偶数节点向下分解得到的子节点的频带循序发生变化,低频频带被折叠成高频频带,而高频频带被折叠成低频频带,正如在第一层第二个节点向下分解的时候节点(2,4)与节点(2,6)的频带发生了折叠.由仿真可以看出,改进后的M带小波包单子带重构算法不但能消除信号分解中产生的频率混淆,还能克服频率折叠现象.3小波谱的探测本次实例采用的信号是某站的GPS坐标.首先利用二带小波谱对信号进行周期分析,提取该信号的特征频率,然后利用M带小波对该信号的特征项进行提取.由于该数据的采样频率为每天一组,根据GPS定位误差及其规律性分析,取M=5.图2是某站经过标准化后的GPS坐标,设为fx.图3是利用传统的二带小波谱对该坐标序列进行分析.从图3中数据可以看出,fx主要有两个周期项,分别是917、364天,即三年周期和年周期.然后用五带小波对fx进行分解,图4是经过4层五带小波分解后的频率分布情况.由于信号的频率分布主要是低频范围,所以只要对每一层的第一个节点进行下一层的分解就能得到所需求的频率范围.利用五带小波将信号分解至第四层,其中频率1.09×10-3Hz,2.74×10-3Hz,即对应周期为917和364,幅值为0.12mm、0.19mm,分别处在第四层的第二个和第四个节点上.于是对第四层前四个节点进行单子带重构,且消除多余频带,得出图5.对照小波谱探测的结果,可以看出,理论上第四层的第五个节点应该与第一个、第三个节点一样,其频率成分为0.然而在图5中可以发现在第五个节点存在一个频率,其值为3.831×10-3Hz,对应的周期是261天,幅值为0.02mm,而其它频率特征项的幅值比它高一个数量级,因此可以认为该特征项是属于弱信号.4小波与m带小波的比较通过传统的