2024届一轮复习人教A版 数列专题 作业（五）

人教版2024届高二下学期一轮复习数列专题（五）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知数列满足，设的前项和为，则的值为（

）A． B． C．2 D．12．已知正项数列的前项和为，且，，现有如下说法：①；②当为奇数时，；③．则上述说法正确的个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．已知数列是等差数列，是其前n项和，若存在最大值，则在，中最大的数是A． B． C． D．无法确定4．若数列满足：，则数列的前n项和为A． B．C． D．5．已知正项等比数列的公比为2，若，则的最小值等于A．1 B． C． D．6．已知等差数列，则“”是“”成立的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．形如1､1､2､3､5…的数列叫斐波那契数列，其特点是从第三项开始，每一项都等于前面两项的和.如果把数列第一项换成正整数，第二项换成正整数，第三项开始仿照斐波那契数列的规则，可以得到一个新的数列．如果新的数列中某一项出现了100，则的最小值为（

）A．6 B．8 C．10 D．128．设数列满足，，，数列前n项和为，且（且）.若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022二、多选题9．已知为实数数列的前项和，对任意的都有，且4是与的等差中项，则的值可能为（

）A．-6 B．-4 C．4 D．510．已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（

）A． B．C． D．、均为的最大值11．已知数列满足，，且，则（

）A． B．数列是等差数列C．数列是等差数列 D．数列的前n项和为12．设正整数，其中.记，当时，，则（

）A．B．C．数列为等差数列D．三、填空题13．设Pn(xn，yn)是直线3x+y=(n∈N*)与圆x2+y2=5在第四象限的交点，则极限=___________.14．已知等差数列的公差不为零，且，，成等比数列，则________．15．已知数列与满足，且，则__________．16．已知数列满足：，.设是等差数列，数列是各项均为正整数的递增数列，若，则__________．四、解答题17．记为数列的前n项和，已知，，且数列是等比数列，证明：是等比数列.18．已知数列的前项和为，给出以下三个条件:①；②是等差数列；③.(1)从三个条件中选取两个，证明另外一个成立；(2)利用（1）中的条件，求数列的前项和.19．已知等差数列{a}，其前n项和为S，若a1+a3=10，S5=35.(1)求数列{a}的通项公式；(2)若数列{b}满足：a1b1+a2b2+a3b3+···+a=1+（2n-1）2n，求数列的前n项和T.20．已知是等比数列，公比，前项和为，且，数列满足：.（1）求数列，的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.21．已知数列满足，，且对任意，都有．(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)求使得不等式成立的最大正整数m．22．已知数列的通项公式为，.(1)求数列的前项和；(2)设，求的前项和.参考答案：1．C【分析】由条件求得的通项公式后求解【详解】，则，即，得，故是以2为首项，2为公比的等比数列，，，．故选：C2．D【分析】时可判断①；当时，利用化简得，为奇数时，计算出可判断②；为偶数时，计算出可判断③.【详解】由题意得，当时，；当时，，因为，所以化简得，因此当为奇数时，；当为偶数时，；因此.所以正确的个数为3.故选：D.【点睛】给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求.应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.3．A【分析】根据存在最大值，分析公差为负数，结合数列单调性求解最值.【详解】由题可知数列是等差数列，且前n项和存在最大值，公差，在定义域上是单调递减函数，最大.故选:A.【点睛】此题考查等差数列和前n项和性质，根据最值分析公差正负，根据公差得新数列单调性即可得解.4．D【分析】利用数列的递推关系式，求出数列的通项公式，判断数列是等比数列，然后求解数列的和即可．【详解】数列满足：，可得：，可得，可得当时，，所以数列的通项公式为：．所以数列是等比数列，公比为2．数列的前n项和．故选D．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力,属于中档题.5．C【详解】正项等比数列，，故得到，当时取等号，故选：C．6．A【分析】根据充分条件、必要条件的定义及等差数列的通项公式计算可得；【详解】解：因为，设等差数列的首项为，公差为，当时，故充分性成立；若，即，即，所以，即，所以或，故必要性不成立，故“”是“”成立的充分不必要条件；故选：A7．C【分析】要使得的值最小，则尽可能使得后项值为100，则从开始往前项讨论，直到出现整数解为止．【详解】由题意得该数列的项依次为：要使数列中某项出现了100，且的值最小，当时，若不符合，若不符合，所以无正整数解；当时，若不符合，若不符合，若不符合，若不符合，所以无正整数解；当时，若不符合，若不符合，若不符合，若不符合，若不符合，所以无正整数解；当时，若不符合，若不符合，若不符合，若符合题意，若不符合，若不符合，若不符合；所以的最小值为故选：C8．C【分析】根据递推公式，可知从第2项起是等差数列，可得，再根据累加法，可得，由此可得当时，，又，由此即可求出.【详解】当时，，，，，从第2项起是等差数列.又，，，，，当时，，（），当时，.又，.故选：C.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式、等差数列的概念，以及累加法在求通项公式中的应用，属于中档题.9．BCD【分析】设的公差为，，则根据题设条件可得关于的方程，根据判别式非负可得的取值范围，从而可得正确的选项.【详解】由对任意的都有知数列为等差数列，设的公差为，则，即①.设，则，代入①式整理得②.因为方程②有实根，所以，整理得，即，故选：BCD.【点睛】方法点睛：对于数列中范围问题，我们利用基本量转化题设条件，从而得到一些二次方程或方程组，依据方程有实数解结合判别式可求目标变量的取值范围.10．BD【分析】根据等差数列的性质以及其前项和的性质，逐个选项进行判断即可求解【详解】因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A错误；因为，所以，故B正确；因为，故C错误；因为由题意得，，所以，，故D正确；故选：BD11．ABD【分析】摆动数列需要分类讨论，分别求出奇数项和偶数项的通项公式，再进行计算.【详解】因为，，所以，，，，故A正确；当时，，，两式相减得，，所以的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，故B正确；当时，.当时，，，两式相减得，，所以的偶数项是以5为首项，为公差的等差数列，所以当时，；∵|，∴不是等差数列，故C错误；因为，所以，设，则，所以，故D正确；故选：ABD.12．ACD【分析】分别表示出，，即可求解A，再求出可求解B，利用等差数列的定义可求解C，根据可求解D.【详解】当时，，又，所以，同理，所以，…，，所以，，所以，所以，A项正确；，，B项错误；当时，，当时，，当时也符合，所以，所以，所以，所以数列为等差数列，C项正确；，，D项正确.故选:ACD.13．【分析】当时，，求出其与圆在第四象限的交点无限靠近，由的几何意义结合圆的切线的斜率求解．【详解】当时，，直线与圆在第四象限的交点无限靠近，而可看作点，与连线的斜率，其值会无限接近圆在点处的切线的斜率，其斜率为，．故答案为：．【点睛】本题考查极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．14．【分析】由等比中项的性质可得答案.【详解】因为等差数列的公差d不为零，则由，知，，．故答案为：.15．【详解】分析：令和，得，令，得①，令，得,②①-②得：，利用累加求通项即可.详解：由，当,；当,.由，令，得：,①令，得：,②①-②得：.从而得：，，…….上述个式子相加得：.由①式可得：，得.所以.故答案为.点睛：本题主要考虑数列的递推关系求通项，关键在于找到数列与的隔项特征，属于难题.16．【分析】先利用得到的通项公式，然后根据是等差数列和可得到，接下来对的奇偶进行分类讨论，即可得到答案【详解】解：由可得，令，则有，而，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即所以，因为是等差数列，所以成等差数列，即，所以，因为，所以，当均为奇数时，原式为即，左边为偶数，故矛盾；当均为偶数时，原式为即，左边为偶数，故矛盾；当为偶数，为奇数时，原式为即，左边为偶数，因为数列是各项均为正整数的递增数列，所以，所以，故矛盾；当为奇数，为偶数时，原式为即，所以，综上可得，，故答案为：117．证明见解析【分析】设，得到，由，得到，进而得到，结合等比数列的定义，即可求解.【详解】设，则，即，当时，，当时，，因为，所以，解得，所以，则，所以为等比数列.18．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）选条件①②、②③，利用等差数列的定义、性质即可推理得证，选条件①③，解方程组求出通项推理作答.（2）利用（1）求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求解作答.【详解】（1）选①②作条件，③作为结论，因为是等差数列，所以的公差，又因为，因此，所以，③成立.选①③作条件，②作结论，依题意，，解得，显然成立，所以是等差数列，②成立.选②③作条件，①作结论，因为是等差数列，设公差为，而，则，因此，于是，即，所以，①成立.（2）由（1）知，等差数列的通项公式，于是，所以.19．(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式列出方程求解；（2）利用递推关系作差求出通项公式，再根据裂项相消法求数列和即可.【详解】（1）（1）因为，所以，解得，所以.（2）由（1）得：，①所以，②两式相减得：，所以，又由式得，适合上式，所以.所以，所以.20．（1）（2）见解析【分析】（1）由等比数列，利用等比数列的通项公式和前项和公式，求得，即可求出通项公式；（2）由（1）求得，利用裂项求和的方法，即可求解数列的和，由此可作出证明．【详解】（1）故解得所以，．（2）设，，，又，，所以，．21．(1)证明见解析；(2)【分析】(1)由条件可得