新教材2023-2024学年高中数学第二章平面解析几何2.4曲线与方程课件新人教B版选择性必修第一册

第二章2.4曲线与方程课程标准1.了解曲线的方程与方程的曲线的概念,明确曲线的点集和方程解集间的一一对应关系,并能根据点的坐标是否适合方程,来判断该点是否在曲线上;2.能够通过求方程组的解,来确定曲线的交点;3.能够根据曲线的已知条件求曲线的方程及根据曲线的方程研究曲线的性质的方法.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1曲线的方程与方程的曲线的定义在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系:(1)

;

(2)

.

则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解

以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上

名师点睛1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”,称为纯粹性.2.以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”,称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.过关自诊1.方程y=表示的曲线是(

)A.一条直线 B.圆C.半圆

D.不表示任何图形C2.若曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程,则曲线上的点集与方程的解集之间是一一对应关系吗?解

①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.它阐明的含义是曲线上没有坐标不满足方程的点.②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.它阐明的含义是适合方程的所有点都在曲线上,即没有遗漏的点.所以两个条件充分保证了曲线上的点一个也不多,一个也不少,即曲线上的点集与方程的解集之间建立了一一对应关系.知识点2求两曲线的交点方法与求两直线的交点类似

曲线F(x,y)=0与G(x,y)=0是否有交点的问题,可以转化为方程组

是否有

的问题.

过关自诊直线y=x+1与圆x2+y2=1的交点坐标为

.

实数解

(-1,0)和(0,1)知识点3求曲线的方程与根据方程研究曲线的性质(1)点的轨迹方程曲线一般都可以看成

的轨迹,所以曲线的方程也常称为

的点的轨迹方程.

(2)求动点M轨迹方程的一般步骤:①设动点M的坐标为(x,y)(如果没有平面直角坐标系,需先建立);②写出M要满足的几何条件,并将该几何条件用M的坐标表示出来;③化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程.动点依某种条件运动

满足某种条件

名师点睛求轨迹方程时第一步建系的说明建系时对哪个点是原点,哪条直线为坐标轴没有硬性的要求.一般情况下,建立的坐标系方便于下一步写点的坐标,求出的曲线方程越简洁,说明建立的坐标系越合理.过关自诊1.[北师大版教材习题改编]已知曲线C:4x2-y2=0,说明曲线C是什么图形,并画出该图形.解

4x2-y2=0可化为y=±2x,它表示两条直线,如图所示.2.如何检验所求轨迹方程是否符合条件?解

检验可以从以下两个方面进行:一是方程的化简是否为同解变形;二是是否符合题目的实际意义.重难探究·能力素养全提升探究点一曲线与方程的概念问题【例1】

如果曲线C上所有点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,那么以下说法正确的是(

)A.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上B.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点有些不在曲线C上C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解D.坐标不满足方程F(x,y)=0的点都不在曲线C上D解析

由题意可知,曲线C上的所有点构成的集合是方程F(x,y)=0的解构成的集合的子集,它包含两种情形:①真子集;②相等.据以上可知,选项A,B,C都是不正确的,只有选项D是正确的.规律方法

1.曲线与方程的定义表明:曲线C的方程是F(x,y)=0的充分必要条件是曲线C上所有点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,并且以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点都在曲线C上,这是识别曲线和方程关系的基本依据.2.判断点与曲线关系的方法(1)从点的坐标角度若点M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲线C上,则f(x0,y0)=0;或若f(x0,y0)≠0,则点M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表示的曲线C上.(2)从方程的解的角度若f(x0,y0)=0,则点M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲线C上;或若点M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表示的曲线C上,则f(x0,y0)≠0.变式训练1方程(2x+3y-1)·(-1)=0表示的曲线是(

)A.两条直线B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线D故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.探究点二求曲线的方程角度1.用直接法求曲线的方程【例2】

已知平面上两个定点A,B之间的距离为2a,点M到A,B两点的距离之比为2∶1,求动点M的轨迹方程.解

如图所示,以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系.由|AB|=2a,可设A(-a,0),B(a,0),M(x,y).因为|MA|∶|MB|=2∶1,规律方法

直接法求曲线的方程的步骤

变式训练2若两定点A,B的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则M点的轨迹围成区域的面积为(

)A.π

B.2π

C.3π

D.4πD解析

以点A为坐标原点,射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系,如图,设点M(x,y),(x-4)2+y2=4,于是得点M的轨迹是以点(4,0)为圆心,2为半径的圆,其面积为4π,所以M点的轨迹围成区域的面积为4π.故选D.角度2.用定义法求曲线的方程【例3】

已知圆C:(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程.解

如图,设OQ为过O点的一条弦,P(x,y)为其中点,连接CP,则CP⊥OQ.规律方法

定义法求曲线方程的两种策略(1)运用曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出方程.(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利用条件把待定系数求出来,使问题得解.变式训练3已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为

.

(x-10)2+y2=36(y≠0)解析

由已知条件及中位线等几何知识可知,动点A满足到点(10,0)的距离等于定长6的条件,设顶点A的坐标为(x,y),因此可得(x-10)2+y2=36,考虑到构成△ABC,因此y≠0,所以所求方程为(x-10)2+y2=36(y≠0).角度3.用相关点法求曲线的方程【例4】

动点M在曲线x2+y2=1上移动,M和定点B(3,0)连线的中点为P,求P点的轨迹方程.解

设P(x,y),M(x0,y0),因为P为MB的中点,变式探究本例中把条件“M和定点B(3,0)连线的中点为P”改为“”,求P点的轨迹方程.规律方法

“相关点法”的基本步骤

变式训练4长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,动点C(x,y)满足,求动点C的轨迹方程.解

因为长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,故可设A(x0,0),B(0,y0).所以(x-x0,y)=2(0-x,y0-y),即(x-x0,y)=(-2x,2y0-2y),探究点三求曲线的交点问题【例5】

试讨论圆x2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)+4(k为参数)交点的个数.规律方法

已知曲线C1和曲线C2的方程分别为F(x,y)=0,G(x,y)=0,则点P(x0,y0)是曲线C1,C2的交点⇔点P的坐标(x0,y0)满足方程组

方程组有几组不同的实数解,两条曲线就有几个不同的交点;方程组没有实数解,两条曲线就没有交点.变式训练5[人教A版教材习题]求圆心在直线x-y-4=0上,并且经过圆x2+y2+6x-4=0与圆x2+y2+6y-28=0的交点的圆的方程.解

设圆x2+y2+6x-4=0和圆x2+y2+6y-28=0相交于点A,B,解方程组

所以A(-1,3),B(-6,-2).因此,弦AB的垂直平分线的方程是x+y+3=0.成果验收·课堂达标检测12345A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆6D123452.已知点A(-1,0),B(1,0),且

=0,则动点M的轨迹方程是(

)A.x2+y2=1B.x2+y2=2C.x2+y2=1(x≠±1)D.x2+y2=2(x≠±)6A123453.点P(2,-3)在曲线x2-ay2=1上,则a=

.

6解析

将点P的坐标代入方程中即可求得a=.123454.平面直角坐标系中,已知A,B分别为坐标轴上的动点且|AB|=5,若线段AB的中点为M(x,y),则动点M的轨迹方程为

.

6123455.已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上