2024届新高考数学一轮复习配套练习专题7.4 数列求和 （新教材新高考）（练）含答案

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题7.4数列求和练基础练基础1．（2021·全国高三其他模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S99＝（）A．7 B．8 C．9 D．102．（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏3．（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（）A．16 B．8 C．4 D．24．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）【多选题】在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（）A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路5.（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．6．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）记为递增等比数列的前n项和，若，则的值为______.7．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））已知正项等比数列的前项和为，，，则数列中不超过2021的所有项的和为___________.8．（2021·福建高三其他模拟）记为等比数列的前项和，已知，．（1）求；（2）求数列的前项和．9．（2021·辽宁高三其他模拟）已知为等差数列，为等比数列，且满足．（1）求和的通项公式；（2）对任意的正整数n，设，求数列的前n项和．10．（2021·广东实验中学高三其他模拟）已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和Sn，满足an+1＝Sn+1（n∈N*）．（1）求Sn；（2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．【多选题】（2021·吉林松原市·高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（）A． B．C． D．2．【多选题】（2021·河北高三其他模拟）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为(其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为(其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…)，则（）A．数列是公比为的等比数列 B．C．数列是公比为的等比数列 D．数列的前n项和3．（2022·河南高三月考（文））已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列满足，正项等比数列满足首项为1，前3项和为7.（1）求与的通项公式；（2）求的前n项和.5．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（理））已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求最小值.6．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若存在正整数，使得，求的最小值.7.（2021·全国高三其他模拟）已知数列是以为首项，为公比的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，去掉第项，第项，…，第项（为正整数）得到的数列记为，求数列的前项和.8．（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）设是等差数列的前项和，其中，且.（Ⅰ）求的值，并求出数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：.9．（2019·浙江高考模拟）已知数列中，，（1）令，求证：数列是等比数列；（2）令，当取得最大值时，求的值.10．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．（1）求数列，的通项公式．（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2020·全国高考真题（理））数列中，，，若，则（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（）A． B． C． D．3．（2020·全国高考真题（理））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．4.（2020·全国高考真题（文））设等比数列{an}满足，．（1）求{an}的通项公式；（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．5.（2020·山东省高考真题）已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．6.（2020·天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．专题7.4数列求和练基础练基础1．（2021·全国高三其他模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S99＝（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】采用裂项相消法求数列的和【详解】因为，所以故选C.2．（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7=a1解得a1=3．故选：B．3．（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．4．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）【多选题】在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（）A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路【答案】ACD【解析】设此人第天走里路，则数列是首项为，公比为的等比数列，因为，所以，解得，对于A，由于，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；对于B，由于，所以B不正确；对于C，由于，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；对于D，由于，所以D正确，故选：ACD5.（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．【答案】.【解析】设等比数列的公比为，由已知，即解得，所以．6．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）记为递增等比数列的前n项和，若，则的值为______.【答案】1023【解析】首先利用已知条件求得等比数列的公比和首项，最后根据等比数列的前n项和公式求出即可.【详解】因为数列为等比数列，所以，解得，设等比数列的公比为，因为，所以即，解得或，因为等比数列是递增数列，所以，，所以.故答案为：10237．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））已知正项等比数列的前项和为，，，则数列中不超过2021的所有项的和为___________.【答案】2046【解析】先根据题意列方程组，求出通项公式，再判断不超过2021的所有项的和为前10项的和，直接利用等比数列的前n项和公式求和即可.【详解】设正项等比数列的公比为q，，因为，，所以，解得：，所以.令，解得：.所以数列中不超过2021的所有项的和为：.故答案为：2046.8．（2021·福建高三其他模拟）记为等比数列的前项和，已知，．（1）求；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知，令，求出，再令，，求出等比数列的公比，由，即可求解；（2）由（1）求出通项公式，可得数列为等比数列，根据等比数列的前项和公式，即可得出结论.【详解】（1）令，则由可得，当时，由可得，两式相减，可得，即，依题意，为等比数列，故；（2）由（1）可知为首项等于1，公比等于2的等比数列，故；故为首项等于，公比等于的等比数列，故．故．9．（2021·辽宁高三其他模拟）已知为等差数列，为等比数列，且满足．（1）求和的通项公式；（2）对任意的正整数n，设，求数列的前n项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）设出数列的公差和公比，结合条件求出公差和公比，然后写出通项公式；（2）求出，结合错位相减法求和可得数列的前n项和．【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由，则1＋3d＝4d，可得d＝1，所以，因为，所以，整理得，解得q＝2，所以；（2），，两式相减，得所以．10．（2021·广东实验中学高三其他模拟）已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和Sn，满足an+1＝Sn+1（n∈N*）．（1）求Sn；（2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；（2）求得，由数列的裂项相消求和，化简即可得到答案.【详解】（1）当时，，又，所以，即，在中，令，可得因为，所以故是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为，所以.（2）因为所以故练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．【多选题】（2021·吉林松原市·高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】根据题意求出n，然后即可求出，再利用错位相减法求出新数列的和.【详解】设介于第个1与第个1之间或者为这两个1当中的一个，则从新数列的第1个1到第个1一共有项，从新数列的第1个1到第个1一共有项，所以，解得，而，所以，故A正确，B错误；，令，则，，，所以，故D正确，C错误，故选：AD.2．【多选题】（2021·河北高三其他模拟）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为(其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为(其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…)，则（）A．数列是公比为的等比数列 B．C．数列是公比为的等比数列 D．数列的前n项和【答案】BD【解析】先得到，即可判断A，再求出，可判断B与C，最后求出，可判断D.【详解】如图：由图知，对于A：，数列是公比为的等比数列，故A不正确；对于BC：因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确，C不正确；对于D：因为，故D正确，故选：BD.3．（2022·河南高三月考（文））已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，化简得到，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）知，单调，结合等差数列的求和公式和乘公比错位相减法，即可求解.【详解】（1）由题意，数列满足，可得，即，又因为，可得，所以，所以，即数列的通项公式.（2）由（1）知，可得，则.令，则，所以，所以.所以.4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列满足，正项等比数列满足首项为1，前3项和为7.（1）求与的通项公式；（2）求的前n项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式，可得首项和公差，可得；设正项等比数列的公比为q，q>0，由等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和，即可得答案.【详解】解：（1）设等差数列的公差为d，由，可得，解得，则；设正项等比数列的公比为q，q>0，由首项为1，前3项和为7，可得，解得q=2，则；（2）由（1）可得，所以，则，两式相减可得=，所以.5．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（理））已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求最小值.【答案】（1）；（2）最小值为.【解析】（1）由已知条件得到为等比数列，即可得到通项；（2）错位相减求出，根据单调性求出最小值.【详解】解：（1）由，得，是以2为公比的等比数列，记公比为，又，，；（2），，，两式相减，得，即，又，单调递增，时，最小，最小值为.6．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若存在正整数，使得，求的最小值.【答案】（1）；（2）11.【解析】（1）设数列的公比为，根据条件列出，求得首项和公比，从而求得通项公式；（2）由（1）求得，分奇偶求解即可求得满足条件的最小n值.【详解】（1）设数列的公比为，则，．由题意得，即，解得.故数列的通项公式为.（2）由（1）有.由得，，即.当为偶数时，，上式不成立；-当为奇数时，，即，则.综上，的最小值为11.7.（2021·全国高三其他模拟）已知数列是以为首项，为公比的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，去掉第项，第项，…，第项（为正整数）得到的数列记为，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由等比数列通项公式可求得，进而得到；（2）设，数列的前项和为，数列的前项和为，根据三者之间的关系可整理得到当为偶数时，，当为奇数时，，利用等差数列求和公式可整理求得结果.【详解】（1）由题意得：，；（2）设，数列的前项和为，数列的前项和为；，，…①，，…②，，，…③，由①知：当时，；由③知：当时，；当为偶数时，，；由②知：当时，，即当为奇数时，；；综上所述：.8．（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）设是等差数列的前项和，其中，且.（Ⅰ）求的值，并求出数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）解：令，则，则，令，则，得，∵为等差数列，∴，∴，∴，∴，，，∴，∴，数列的通项公式为；（Ⅱ）证：由题意得，∴，∴，∴，∴，∵，∴为递增数列，即，∴成立．9．（2019·浙江高考模拟）已知数列中，，（1）令，求证：数列是等比数列；（2）令，当取得最大值时，求的值.【答案】（I）见解析（2）最大，即【解析】（1）两式相减，得∴即：∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可知，即也满足上式令，则，∴最大，即10．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．（1）求数列，的通项公式．（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】方案一：选条件①（1）解得或（舍去）（2）方案二：选条件②（1）解得或（舍去）（2）方案三：选条件③解得或（舍去）（2）练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2020·全国高考真题（理））数列中，，，若，则（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，则，解得.故选：C.2．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．【详解】因为，所以，．由，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号，，由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以，即．故选：A．3．（2020·全国高考真题（理））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设的前项和为，，，①，②①②得，，.4.（2020·全国高考真题（文））设等比数列{an}满足，．（1）求{an}的通项公式；（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，有，解得，所以；（2）令，所以，根据，可得，整理得，因为，所以.5.（2020·山东省高考真题）已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，所以，所以数列的通项公式为.（2）由于，所以对应的区间为：，则；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个.所以.6.（2020·天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.由，，可得d=1.从而的通项公式为.由，又q≠0，可得，解得q=2，从而的通项公式为.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，故，，从而，所以.(Ⅲ)当n为奇数时，，当n为偶数时，，对任意的正整数n，有，和①由①得②由①②得，由于，从而得：.因此，.所以，数列的前2n项和为.专题7.5数列的综合应用练基础练基础1．（2021·浙江高三专题练习）已知正项等差数列和正项等比数列}，，是，的等差中项，是，的等比中项，则下列关系成立的是（）A． B．C． D．2．（2021·江西赣州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（）A．5 B．6 C．7 D．83.【多选题】（2020·湖南高三月考）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第月月底小王手中有现款为，则下列论述正确的有（）(参考数据：)A．B．C．2020年小王的年利润为40000元D．两年后，小王手中现款达41万4．（2021·江西高三其他模拟（理））已知公差不为0的等差数列的部分项，，，……构成等比数列，且，，，则___________.5．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））数列满足：，点在函数的图像上，其中为常数，且（1）若成等比数列，求的值；（2）当时，求数列的前项的和.6.（2021·江苏高考真题）已知数列满足，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在等差数列中，为其前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为且求的取值范围.8．（2021·太原市·山西大附中高三其他模拟）在数列中，.等差数列的前两项依次为，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.9．（2021·重庆高三三模）已知数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式：（2）设，数列的前项和为，求证：．10．（2021·沂水县第一中学高三其他模拟）在数列中，，且成等比数列．（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设数列满足，其前项和为，证明：．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·河南郑州市·高三三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为，对任意的正整数n，都有，则a的最小值为__________．2．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，满足，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，实数使得对任意恒成立，求的取值范围.3．（2021·全国高三其他模拟）有下列三个条件：①数列是公比为的等比数列，②是公差为1的等差数列，③，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题完整，并加以解答.设数列的前项和为，，对任意的，都有___________.已知数列满足，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.4.（2021·四川自贡市·高三三模（文））已知数列{an}的前n项和为Sn，，数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，b6＝a5．（1）求数列和的通项公式；（2）若，记数列{cn}的前n项和为Tn，证明：3Tn＜1．5．（2021·全国高三其他模拟）在①；②；③成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：数列{an}是各项均为正数的等比数列，前n项和为Sn，a1＝2，且___.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若（），求数列{bn}的前n项和Tn.6．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知数列满足，记数列的前项和为，（1）求证：数列为等比数列，并求其通项；（2）求的前项和及的前项和为．7．（2021·湖北高三其他模拟）在等比数列{an}中，公比，其前n项和为Sn，且S2=6，___________.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，且数列{cn}满足c1=1，cn+1﹣cn=bn+1bn，求数列{cn}的通项公式.从①.S4=30，②.S6﹣S4=96，③.a3是S3与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答.8．（2021·全国高三其他模拟）从①，②，③中任选一个填入下面的空中，并解答．设等比数列的公比，且____．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．9．（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{}满足，且=，n∈（是等比数列，是等差数列），记数列{}的前n项和为，{}的前n项和为，若公比数q等于公差数d，且（1）求数列{}的通项公式；（2）记为数列{}的前n项和，求（n≥2，且n∈）的最小值．10．（2021·浙江金华市·高三三模）若数列的前n项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，其前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1.（2020·北京高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（）．A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项2.（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．3.（2019年浙江卷）设，数列中，，,则（）A.当 B.当C.当 D.当4．（2020·江苏省高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．5.（2019年浙江卷）设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记证明：6.（2021·天津高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明专题7.5数列的综合应用练基础练基础1．（2021·浙江高三专题练习）已知正项等差数列和正项等比数列}，，是，的等差中项，是，的等比中项，则下列关系成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得：，进而可得结果.【详解】设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得：A.,故A不正确；B.，故B正确；C.，故C不正确；D.，故D不正确.故选：B2．（2021·江西赣州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】把各层的铅笔数看出等差数列，利用求和公式得到，由n为264的因数，且为偶数，把四个选项一一代入验证即可.【详解】设最上面一层放根，一共放n（n≥2）层，则最下一层放根，由等差数列前n项和公式得：，∴，∵,∴n为264的因数，且为偶数，把各个选项分别代入，验证，可得：n=8满足题意.故选：D3.【多选题】（2020·湖南高三月考）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第月月底小王手中有现款为，则下列论述正确的有（）(参考数据：)A．B．C．2020年小王的年利润为40000元D．两年后，小王手中现款达41万【答案】BCD【解析】由题可知，月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为之间的递推关系为，，进而根据递推关系求出通项公式即可得答案.【详解】对于A选项，元，故A错误对于B选项，第月月底小王手中有现款为，则第月月底小王手中有现款为，由题意故B正确；对于C选项，由得所以数列是首项为公比为1.2的等比数列，所以，即所以2020年小王的年利润为元，故C正确；对于D选项，两年后，小王手中现款为元，即41万，故D正确.故选：BCD.4．（2021·江西高三其他模拟（理））已知公差不为0的等差数列的部分项，，，……构成等比数列，且，，，则___________.【答案】【解析】设等差数列的公差为，则，由等比数列的性质列式求得．然后再由等差数列与等比数列的通项公式列式求得．【详解】解：设等差数列的公差为，则，

由已知，

即，得，

于是，在等比数列中，公比．

由为数列的第项，知；

由为数列的第项，知，

，故.

故答案为．5．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））数列满足：，点在函数的图像上，其中为常数，且（1）若成等比数列，求的值；（2）当时，求数列的前项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先由条件，列式表示为，，，再根据数列是等比数列求的值；（2）由条件，归纳可知，再求数列的前项的和.【详解】解：（1）由可得，，，所以，，.又，，成等比数列，所以，则，又，故.（2）时，，∴，，…，，.6.（2021·江苏高考真题）已知数列满足，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】（1）计算得到，得到答案.（2），得到数列通项公式.（3）根据分组求和法计算得到答案.【详解】（1）由，得，∴，又，∴是首项为3，公比为3的等比数列.（2），∴.（3）.7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在等差数列中，为其前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为且求的取值范围.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由条件求得公差，写出通项公式；（2）求出通项公式，利用分组求和求得，且单增，找到符合的最小n值即可.【详解】（1）由等差数列性质知，，则，故公差，故（2）由（1）知，易知单调递增，且，，故，解得，.8．（2021·太原市·山西大附中高三其他模拟）在数列中，.等差数列的前两项依次为，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）cn=8n-10；（2）Sn=(4n-9)×2n+2+36.【解析】（1）根据递推公式计算，，利用等差数列公式计算得到答案.（2）将题目中两式相加得到，故是首项为2，公比为2的等比数列，计算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案.【详解】解（1）∵a1=b1=1，∴，则数列{cn}的公差d=6-(-2)=8.∴数列{cn}的通项公式为cn=-2+8(n-1)=8n-10.（2）an+1=3an-bn-3n-1，①bn+1=3bn-an+3n+1，②①+②，得an+1+bn+1=2(an+bn).∵a1+b1=2，∴数列{an+bn}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an+bn=2n.∴Sn=-2×2+6×22+…+(8n-10)×2n，则2Sn=-2×22+6×23+…+(8n-10)×2n+1，∴Sn-2Sn=-4+8(22+23+…+2n)-(8n-10)×2n+1，即-Sn=-4+8(2n+1-4)-(8n-10)×2n+1=(18-8n)×2n+1-36，∴Sn=(4n-9)×2n+2+36.9．（2021·重庆高三三模）已知数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式：（2）设，数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）利用，求得数列的通项公式.（2）求得数列的通项公式，进而利用裂项求和法求得，结合数列的单调性证得.【详解】（1）解：，令，解得时，两式相减，得数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；（2）证明单调递增，所以1即10．（2021·沂水县第一中学高三其他模拟）在数列中，，且成等比数列．（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设数列满足，其前项和为，证明：．【答案】（1）证明见解析；；（2）证明见解析．【解析】（1）利用已知条件推出数列是等差数列，其公差为，首项为1，求出通项公式，结合由，，成等比数列，转化求解即可．（2）化简通项公式，利用裂项消项法，求解数列的和即可．【详解】证明：（1）由，得，即，所以数列是等差数列，其公差为，首项为1，因此，，，由成等比数列，得，即，解得或（舍去），故．（2）因为，所以因为，所以．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·河南郑州市·高三三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为，对任意的正整数n，都有，则a的最小值为__________．【答案】2．【解析】根据图形之间的关系可得的递推关系，从而可求的通项公式，故可求a的最小值.【详解】设第个图形中新出现的等边三角形的边长为，则当时，，设第个图形中新增加的等边三角形的个数为，则当时，，故，其中，由累加法可得，时，也符合该式，故，故对任意的恒成立，故即a的最小值为2.故答案为：2.2．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，满足，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，实数使得对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用已知条件求出公差d，再利用求通项公式即可；（2）先计算通项公式，利用裂项相消法求，代入化简数列不等式为对任意恒成立，再求最小值即得结果.【详解】解：（1）设数列的公差为，因为是等差数列，所以，故，又，，成等比数列，所以，故，将代入得，即，又知，故，所以；（2）由（1）知，，故，所以，即，故，即对任意恒成立，而在上单调递增，故在时单调递增，，所以，故的取值范围为.3．（2021·全国高三其他模拟）有下列三个条件：①数列是公比为的等比数列，②是公差为1的等差数列，③，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题完整，并加以解答.设数列的前项和为，，对任意的，都有___________.已知数列满足，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】根据等差､等比数列的通项公式以及数列单调性来找到数列的最大项，题干中有3个条件，选取一个进行分析即可.【详解】记，从而有().选择①，数列是公比为的等比数列，因为，所以，即.所以，所以.由，当时，，当时，，所以当或2时，取得最大值，即取得最大值.所以存在，2，使得对任意的，都有.选择②，方法一：是公差为1的等差数列，因为，所以，当时，，则，当时，上式成立，所以.所以，从而.由，所以当时，；当时，，所以当时，取得最大值，即取得最大值.所以存在，使得对任意的，都有.方法二：利用“夹逼法”，即利用来求解.，由()，得，解得.选择③，方法一：，则，从而，即.又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以.所以，从而，即，所以数列为单调递增数列，故不存在，使得对任意的，都有.方法二：利用求解.，，则，因为，所以不存在，使得对任意的，都有.4.（2021·四川自贡市·高三三模（文））已知数列{an}的前n项和为Sn，，数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，b6＝a5．（1）求数列和的通项公式；（2）若，记数列{cn}的前n项和为Tn，证明：3Tn＜1．【答案】（1）；；（2）证明见解析．【解析】（1）首先利用时，求得，进而得到数列为公比为2的等比数列，最后根据首项和公比写出通项公式即可，再根据b1＝a1，b6＝a5求得的公差，再写出的通项公式.（2）根据裂项相消求和，最后证明不等式即可.【详解】解：（1）由，可得n＝1时，，解得，n≥2时，，又，两式相减可得，即有，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以；设等差数列{bn}的公差为d，且b1＝a1＝1，b6＝a5＝16，可得，所以；（2）证明：所以则3Tn＜1．5．（2021·全国高三其他模拟）在①；②；③成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：数列{an}是各项均为正数的等比数列，前n项和为Sn，a1＝2，且___.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若（），求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）若选①，由，有，两式相减，可得数列为等比数列，再由首项可求通项；若选②，由，得，再由首项可求通项；若选③，由成等比数列，得，再由首项可求通项.（2）先带入化简，再裂项求和即可.【详解】（1）若选①，由，有，两式相减并整理有，可知数列是首项为2，公比也为2的等比数列，所以；若选②，因为数列是等比数列，且首项为2，由，有，即，得，所以数列是首项为2，公比也为2的等比数列，所以；若选③，由成等比数列，有，即，因为有，所以有，解得，（舍），数列是首项为2，公比也为2的等比数列，所以.（2）因为，，所以.6．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知数列满足，记数列的前项和为，（1）求证：数列为等比数列，并求其通项；（2）求的前项和及的前项和为．【答案】（1）证明见解析；；（2）；．【解析】（1）根据题中条件，推出，即可证明数列为等比数列，从而可求出其通项公式；（2）根据（1）的结果，由错位相减法，即可求出；设，先由题中得到的通项，再由分组求和法计算，根据求，进而可得.【详解】（1）因为，，，所以，又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此；（2）由（1）可得①，则②，①②得，则；设，则，所以；；因此.7．（2021·湖北高三其他模拟）在等比数列{an}中，公比，其前n项和为Sn，且S2=6，___________.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，且数列{cn}满足c1=1，cn+1﹣cn=bn+1bn，求数列{cn}的通项公式.从①.S4=30，②.S6﹣S4=96，③.a3是S3与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）选条件①时，利用等比数列的定义和性质的应用求出数列的通项公式;选条件②时，利用等比数列的定义和性质的应用求出数列的通项公式；选条件③时，利用等差中项的应用求出数列的通项公式.（2）由（1），得,则，利用累加法结合裂项相消法，可求出数列{cn}的通项公式.【详解】解：(1)若选条件①时，由S2=6及S4=30，得a1+a2=6，a1+a2+a3+a4=30，两式相减，得a3+a4=24，即q2(a1+a2)=24，所以q2=4，由，解得，代入a1+a2=6，得a1+2a1=6，解得a1=2，所以数列{an}的通项公式为.若选条件②时，S6﹣S4=96.因为S6﹣S4=a5+a6=96，a1+a2=6，所以，a1+a1q=6，两式相除，得q4=16，结合q>0，得q=2，所以a1+2a1=6，解得a1=2，所以数列{an}的通项公式为.若选条件③时，a3是S3与2的等差中项.由a3是S3与2的等差中项，得2a3=S3+2，则2a3=a1+a2+a3+2，由a1+a2=6，得a3=8，由通项公式，得a1+a1q=6，，消去a1，得3q2﹣4q﹣4=0，结合q>0，解得q=2，代入a1+a1q=6，得a1=2，所以数列{an}的通项公式为.（2）由（1），得，，所以当时，cn=c1+(c2﹣c1)+(c3﹣c2)+(c4﹣c3)++(cn﹣cn﹣1).又c1=1也适合上式，故数列{cn}的通项公式是.8．（2021·全国高三其他模拟）从①，②，③中任选一个填入下面的空中，并解答．设等比数列的公比，且____．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】（1）根据可得关于的方程，两个方程解出两个未知数；（2）若选①②，结合表达式的特点，可用错位相减法求和，若选③，，可用分组求和法解题.【详解】（1）设的公比为，因为，故，即，解得或舍去，所以（2）设的前项和为，若选①，，两式相减得所以若选②，两式相减得，所以．若选③当为偶数时，当为奇数时，，所以9．（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{}满足，且=，n∈（是等比数列，是等差数列）