2018-2019三角函数综合复习含答案

三角函数综合复习一．选择题〔共5小题〕1．假设函数f〔*〕=*﹣sin2*+asin*在〔﹣∞，+∞〕单调递增，则a的取值围是〔〕A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]2．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinB+sinA〔sinC﹣cosC〕=0，a=2，c=，则C=〔〕A． B． C． D．3．函数f〔*〕=sin〔*+〕+cos〔*﹣〕的最大值为〔〕A． B．1 C． D．4．假设将函数y=2sin2*的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为〔〕A．*=﹣〔k∈Z〕 B．*=+〔k∈Z〕 C．*=﹣〔k∈Z〕 D．*=+〔k∈Z〕5．假设cos〔﹣α〕=，则sin2α=〔〕A． B． C．﹣ D．﹣二．填空题〔共7小题〕6．θ是第四象限角，且sin〔θ+〕=，则tan〔θ﹣〕=．7．α∈〔0，〕，tanα=2，则cos〔α﹣〕=．8．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设2bcosB=acosC+ccosA，则B=．9．函数f〔*〕=sin〔*+φ〕﹣2sinφcos*的最大值为．10．函数y=sin2*+cos2*的最小正周期为．11．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设cosA=，cosC=，a=1，则b=．12．在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=．三．解答题〔共9小题〕13．a，b，c分别是△ABC角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．〔Ⅰ〕假设a=b，求cosB；〔Ⅱ〕设B=90°，且a=，求△ABC的面积．14．tanα=2．〔1〕求tan〔α+〕的值；〔2〕求的值．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．〔Ⅰ〕证明：sinAsinB=sinC；〔Ⅱ〕假设b2+c2﹣a2=bc，求tanB．16．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=3，cosA=，B=A+．〔Ⅰ〕求b的值；〔Ⅱ〕求△ABC的面积．17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，•=2，cosB=，b=3，求：〔Ⅰ〕a和c的值；〔Ⅱ〕cos〔B﹣C〕的值．18．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC〔acosB+bcosA〕=c．〔Ⅰ〕求C；〔Ⅱ〕假设c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2〔tanA+tanB〕=+．〔Ⅰ〕证明：a+b=2c；〔Ⅱ〕求cosC的最小值．20．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．〔Ⅰ〕求∠B的大小；〔Ⅱ〕求cosA+cosC的最大值．21．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为．〔1〕求sinBsinC；〔2〕假设6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．三角函数综合复习参考答案与试题解析一．选择题〔共5小题〕1．假设函数f〔*〕=*﹣sin2*+asin*在〔﹣∞，+∞〕单调递增，则a的取值围是〔〕A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]【解答】解：函数f〔*〕=*﹣sin2*+asin*的导数为f′〔*〕=1﹣cos2*+acos*，由题意可得f′〔*〕≥0恒成立，即为1﹣cos2*+acos*≥0，即有﹣cos2*+acos*≥0，设t=cos*〔﹣1≤t≤1〕，即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在〔0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0〕递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的围是[﹣，]．另解：设t=cos*〔﹣1≤t≤1〕，即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的围是[﹣，]．应选：C．2．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinB+sinA〔sinC﹣cosC〕=0，a=2，c=，则C=〔〕A． B． C． D．【解答】解：sinB=sin〔A+C〕=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA〔sinC﹣cosC〕=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得=，∴sinC=，∵a=2，c=，∴sinC===，∵a＞c，∴C=，应选：B．3．函数f〔*〕=sin〔*+〕+cos〔*﹣〕的最大值为〔〕A． B．1 C． D．【解答】解：函数f〔*〕=sin〔*+〕+cos〔*﹣〕=sin〔*+〕+cos〔﹣*+〕=sin〔*+〕+sin〔*+〕=sin〔*+〕．应选：A．4．假设将函数y=2sin2*的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为〔〕A．*=﹣〔k∈Z〕 B．*=+〔k∈Z〕 C．*=﹣〔k∈Z〕 D．*=+〔k∈Z〕【解答】解：将函数y=2sin2*的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2〔*+〕=2sin〔2*+〕，由2*+=kπ+〔k∈Z〕得：*=+〔k∈Z〕，即平移后的图象的对称轴方程为*=+〔k∈Z〕，应选：B．5．假设cos〔﹣α〕=，则sin2α=〔〕A． B． C．﹣ D．﹣【解答】解：法1°：∵cos〔﹣α〕=，∴sin2α=cos〔﹣2α〕=cos2〔﹣α〕=2cos2〔﹣α〕﹣1=2×﹣1=﹣，法2°：∵cos〔﹣α〕=〔sinα+cosα〕=，∴〔1+sin2α〕=，∴sin2α=2×﹣1=﹣，应选：D．二．填空题〔共7小题〕6．θ是第四象限角，且sin〔θ+〕=，则tan〔θ﹣〕=．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin〔θ+〕=，∴cos〔θ+〕=．∴cos〔〕=sin〔θ+〕=，sin〔〕=cos〔θ+〕=．则tan〔θ﹣〕=﹣tan〔〕=﹣=．故答案为：﹣．7．α∈〔0，〕，tanα=2，则cos〔α﹣〕=．【解答】解：∵α∈〔0，〕，tanα=2，∴sinα=2cosα，∵sin2α+cos2α=1，解得sinα=，cosα=，∴cos〔α﹣〕=cosαcos+sinαsin=×+×=，故答案为：8．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设2bcosB=acosC+ccosA，则B=．【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin〔A+C〕=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=，故答案为：9．函数f〔*〕=sin〔*+φ〕﹣2sinφcos*的最大值为1．【解答】解：函数f〔*〕=sin〔*+φ〕﹣2sinφcos*=sin*cosφ+sinφcos*﹣2sinφcos*=sin*cosφ﹣sinφcos*=sin〔*﹣φ〕≤1．所以函数的最大值为1．故答案为：1．10．函数y=sin2*+cos2*的最小正周期为π．【解答】解：∵函数y=sin2*+cos2*=sin2*+=sin〔2*+〕+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．11．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设cosA=，cosC=，a=1，则b=．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin〔A+C〕=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．12．在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=2．【解答】解：直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0化为y直线*﹣y﹣1=0．圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，∴*2+y2=2*，配方为〔*﹣1〕2+y2=1，可得圆心C〔1，0〕，半径r=1．则圆心C在直线上，∴|AB|=2．故答案为：2．三．解答题〔共9小题〕13．a，b，c分别是△ABC角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．〔Ⅰ〕假设a=b，求cosB；〔Ⅱ〕设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【解答】解：〔I〕∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得〔bk〕2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．〔II〕由〔I〕可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．∴S△ABC==1．14．tanα=2．〔1〕求tan〔α+〕的值；〔2〕求的值．【解答】解：tanα=2．〔1〕tan〔α+〕===﹣3；〔2〕====1．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．〔Ⅰ〕证明：sinAsinB=sinC；〔Ⅱ〕假设b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解答】〔Ⅰ〕证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin〔A+B〕=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，〔Ⅱ〕解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．16．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=3，cosA=，B=A+．〔Ⅰ〕求b的值；〔Ⅱ〕求△ABC的面积．【解答】解：〔Ⅰ〕∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin〔A+〕=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．〔Ⅱ〕∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin〔π﹣A﹣B〕=sin〔A+B〕=sinAcosB+cosAsinB=×〔﹣〕+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，•=2，cosB=，b=3，求：〔Ⅰ〕a和c的值；〔Ⅱ〕cos〔B﹣C〕的值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵•=2，cosB=，∴c•acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；〔Ⅱ〕在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cosC===，则cos〔B﹣C〕=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．18．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC〔acosB+bcosA〕=c．〔Ⅰ〕求C；〔Ⅱ〕假设c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：〔Ⅰ〕∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0等式利用正弦定理化简得：2cosC〔sinAcosB+sinBcosA〕=sinC，整理得：2cosCsin〔A+B〕=sinC，即2cosCsin〔π﹣〔A+B〕〕=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；〔Ⅱ〕由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴〔a+b〕2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴〔a+b〕2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2〔tanA+tanB〕=+．〔Ⅰ〕证明：a+b=2c；〔Ⅱ〕求cosC的最小值．【解答】解：〔Ⅰ〕证明：由得：；∴两边同乘以cosAcosB得，2〔sinAcosB+cosAsinB〕=sinA+sinB；∴2sin〔A+B〕=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC〔1〕；根据正弦定理，；∴，带入〔1〕得：；∴a+b=2c；〔Ⅱ〕a+b=2c；∴〔a+b〕2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．20．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．〔Ⅰ〕求∠B的大小；〔Ⅱ〕求cosA+cosC的最大值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵在△ABC中，a2+c2=b2+ac．∴a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∴B=〔Ⅱ〕由〔I〕得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos〔﹣A〕=cosA﹣cosA+sinA=cosA+sinA=sin〔A+〕．∵A∈〔0，〕，∴A+∈〔，π〕，故当A+=时，sin〔A+〕取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．21．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为．〔1〕求sinBsinC；〔2〕假设6cosBcosC=1，a=3，求△ABC