少自由度并联机构的自由运行

少自由度并联机构的自由运行

0从受约束到有约束的机构自由3、4和5个低规模的联合空间组织机构是国际机器人学术界和工业界的研究热点。自由度分析属于机构学中的基本科学问题。然而,少自由度并联机构的自由度计算长期以来没有有效的方法和公式,一般机构自由度计算使用的Grübler-Kutzbach公式很难被正确应用于少自由度并联机器人上。正如文献中指出:很难为闭环运动链定义一个通用的自由度计算公式。自由度分析这一基本理论问题的难以解决,制约了现代空间机构学的发展,例如机型综合以及实际应用。各国研究者或以复杂的运动学分析,或经过繁琐的概念推理来导出少自由度机构的自由度性质,或靠经验直观来推断机构的自由度数和性质。少自由度并联机构动平台自由度的减少本质上是因为受到了分支施加的结构约束的影响,因此通过约束分析即机构的受力分析来讨论机构的自由度应该是最直接有效的方法。然而传统的受力分析难以描绘复杂的空间受力状态,从几何的角度看,少自由度并联机构中具有多个结构约束,可以力偶、力线矢或者力螺旋的形式存在,彼此呈空间分布的关系。同时其位置和方向随机构的运动而变化,如何在连续运动中去描述和分析仍未得到解决。本文引入螺旋理论描述单个分支约束及所有分支约束的合成,并从几何上直接分析约束的线性相关性,判别出机构自由度的性质,同时给出公共约束,冗余约束存在的几何条件和相应的判别计算公式,在此基础上得到普遍适用于少自由度并联机构自由度计算的修正Grübler-Kutzbach计算公式和一种等价的完全依靠约束分析的自由度计算公式。笔者提出的方法不仅适用于对称少自由度并联机构,也适用于非对称少自由度并联机构。1机构约束螺旋的合成在螺旋理论中,单位螺旋$=(s;r×s)=(lmn;abc)可用来表示一个转动副或一个力线矢,式中s是螺旋轴线方向的单位矢量,r是螺旋轴线上任意一点的位置矢量,式中l,m,n表示转动副轴线或力线矢轴线的3个方向余弦。一个移动副或一个力偶矢量可以表示为$=(0;s)=(000;lmn)。当两个螺旋$=(s;s0)和$r=(sr;s0r)的互易积为零时,即:$。$r=s·s0r+sr·s0=0称$和$r互为反螺旋或互逆。当$表示一个运动螺旋,而$r表示一个力螺旋时,上式的意义为力螺旋$r对运动螺旋$所表示的运动做功为零,即不约束该运动。自由度的减少是因为受到了约束。在对称少自由度并联机构中,每个分支施加给动平台一个或几个结构约束,所有分支结构约束的合成就决定了动平台失去的自由度。可以运用螺旋理论分别在分支和机构两级来描述这种结构约束。当分支运动链中所有的运动副都用单位运动螺旋表示,则这些单位运动螺旋构成分支运动螺旋系,和分支运动螺旋系中所有螺旋相逆的全部线性无关的反螺旋构成分支约束螺旋系,描述分支运动链对动平台施加的结构约束。所有分支约束螺旋的合成构成机构约束螺旋系,对应于机构被约束的自由度。如以单位运动螺旋表示机构的自由度,则这些螺旋构成机构运动螺旋系。注意到螺旋系的相关性已被证明与坐标系的选择无关。由于运动螺旋和力螺旋是瞬时量,在进行约束分析时就需要判别机构自由度是否为瞬时。只需通过辨别机构约束螺旋系在动平台发生可行的任意连续运动后是否改变即可。如机构约束螺旋系不改变,则机构自由度不为瞬时。一般通过对机构各分支中运动副轴线间的几何关系进行简单的分析和观察就可得到结果。在本文中,用$ij表示第i个分支中第j个运动副对应的单位运动螺旋;$rijrij表示第i个分支施加给动平台的第j个约束螺旋;$rmjrmj表示机构约束螺旋系中第j个约束螺旋。2机构约束螺旋系在1997年,黄真等用螺旋理论重新定义公共约束,给出阶的计算方法,解释了用Grübler-Kutzbach公式计算自由度的基本原理。公共约束可以定义为:当机构所有的运动副均以运动螺旋$m表示,构成一个螺旋系A,若存在一个与螺旋系A中每一个螺旋$m均相逆的反螺旋$r,这就是该机构的一个公共约束。所有线性无关的反螺旋$r构成约束螺旋系B,则机构的公共约束数λ为:λ=Rank(B)=Rank({$r|$r。$m=0,$m∈A})(1)式(1)中Rank(B)表示求螺旋系B的最大线性无关数或维数。则机构的阶数为:d=6-λ(2)在对称的少自由度并联机构中,各分支对动平台施加的约束种类和数目都相同。根据前面的定义,这里可以得到公共约束存在的几何条件:如果每个分支对动平台施加的同类约束在空间满足共轴的几何条件,则构成一个螺旋1系,成为机构的一个公共约束。考虑一个具有p个相同结构的分支,且自由度数为M(M<6)的对称并联机构,每个分支向动平台施加q个结构约束,则机构约束螺旋系由p·q个约束螺旋构成,且在非奇异位形下机构约束螺旋系的维数必须是6-M。除了构成公共约束的结构约束,剩余的l个约束构成一个螺旋k(k≤l)系,则冗余约束数v可由式(3)给出:v=l-k(3)显然,施加于动平台上所有分支约束数p·q应该等于生成公共约束所需的约束数λ·p和剩余的约束数l的总和,即:p·q=λ·p+l(4)把式(3)代入式(4),消去l后可得:p·q=λ·p+v+k(5)根据式(5)可得冗余约束数v为:v=p·q-λ·p-k(6)3机构约束自由度分析机构约束螺旋系决定机构在瞬时被约束的自由度。如果机构约束螺旋系在机构发生任意可行连续运动后不变,则该机构被约束的自由度不会改变,从而可知该机构的自由度。考虑了冗余约束的一般Grübler-Kutzbach公式为:Μ=d(n-g-1)+g∑i=1fi+v(7)M=d(n−g−1)+∑i=1gfi+v(7)这样式(1)、(2)、(6)和式(7)共同构成了修正的Grübler-Kutzbach公式,普遍适用于少自由度并联机构的自由度计算。注意到机构被约束的自由度数为机构约束螺旋系的维数6-M,每一个公共约束约束掉机构的一个自由度,而除了公共约束后剩余的l个约束中线性无关的k个约束约束掉机构的k个自由度,因此有式(8)成立:k=6-M-λ(8)把式(8)代入式(6),消去k整理后可得:M=6-p·q+λ(p-1)+v(9)式(9)即为基于约束分析的少自由度并联机构自由度计算公式。下面证明式(7)和修正的Grübler-Kutzbach公式是等价的。为便于分析,把多自由度的运动副或铰链看作是单自由度运动副的组合。考虑一个自由度数为M(M<6)的对称并联机构,每个分支中含有w个单自由度运动副,则分支约束数为:q=6-w(10)机构中运动副的总数g可由下式(11)给出:g=pw(11)显然,g同时也是机构中所有运动副具有的自由度数的总和,即:g∑i=1fi=g(12)∑i=1gfi=g(12)分支中的杆件数n可由式(13)给出:n=p(w-1)+2(13)把式(2)、式(11)、式(12)、式(13)代入式(7)整理后有:M=6-6p-λ+λp+pw+v(14)把式(10)代入式(9)整理后同样可得:M=6-6p-λ+λp+pw+v(15)可见式(14)和式(15)是相同的,因此可证明式(7)和修正的Grübler-Kutzbach公式是等价的。基于螺旋理论的少自由度并联机构的自由度分析的具体步骤可归纳如下:步骤1在初始位形下,写出分支运动螺旋系,对其求反螺旋可得分支约束螺旋系。步骤2分析分支约束在不同几何条件下的线性相关性,确定机构的公共约束λ,冗余约束v,并得到机构约束螺旋系。步骤3检查机构约束螺旋系在动平台发生连续运动后是否改变,如不改变,则机构不是瞬时机构,由机构约束螺旋系可知动平台被约束的自由度。步骤4用式(7)或式(9)验证结果。4机构约束和公共约束图1所示为一种三分支的非对称并联机构,其中M表示动平台,B表示定平台;(RRR)表示三个轴线交于一点的转动副,称为3R球面子链;(RR)表示两个轴线交于一点的转动副,称为2R球面子链;RRR表示三个轴线相互平行的转动副;RR表示两个轴线相互平行的转动副。在分支1中,第一个移动副$11平行于定平台;第二个转动副的轴线$12垂直于定平台;第三、四、五个转动副轴线$13、$14、$15交于一点,构成一个3R球面子链。在分支2中,前三个转动副轴线$21、$22和$23均垂直于定平台,后两个转动副轴线$24、$25交于一点,构成一个2R球面子链。在分支3中,第一个移动副$31平行定平台;第二、三转动副轴线$32和$33垂直于定平台;最后两个转动副轴线$34、$35交于一点,构成一个2R球面子链。称分支中2R或3R球面子链的中心点为分支中心点,在装配时保证三个分支中心点重合为一点,称为机构中心点。选取机构中心点为参考系坐标O-XYZ原点,参考坐标系Z轴垂直于定平台向上。分支1的运动螺旋系为:$11=(000;l1m10)$12=(001;a2b20)$13=(l3m3n3;000)$14=(l4m4n4;000)$15=(l5m5n5;000)(16)对式(16)求反螺旋可得分支1的约束螺旋系为:$r11=(001;000)(17)式(17)中$r11表示一个过机构中心点且垂直于定平台的约束力。分支2的运动螺旋系为:$21=(001;a1b10)$22=(001;a2b20)$23=(001;a3b30)$24=(l4m4n4;000)$25=(l5m5n5;000)(18)对式(18)求反螺旋可得分支2的约束螺旋系和分支1的约束螺旋系相同,即$r21=$r11。分支3的运动螺旋系为:$31=(000;l1m10)$32=(001;a2b20)$33=(001;a3b30)$34=(l4m4n4;000)$35=(l5m5n5;000)(19)对式(19)求反螺旋可得分支3的约束螺旋系和分支1的约束螺旋系相同,即$r31=$r11。显然尽管三个分支运动链结构不同,它们对动平台施加的结构约束相同。三个分支约束力线矢满足共轴的几何条件,构成一个公共约束,即λ=1。且此公共约束即为机构约束螺旋系,约束动平台沿Z轴方向的移动。由式(2)可知,d=5。容易看出分支运动链中各运动副轴线间的几何关系在动平台发生连续运动时并不改变,因此各分支运动螺旋系和约束螺旋系也不改变。由于三个分支中心点重合为机构中心点,从而保证三个分支约束力线矢始终共轴,即机构约束螺旋系在动平台发生连续运动后不变。因此该机构不是瞬时机构,具有三个转动自由度和两个XY平面内的移动自由度。由于三个分支约束力线矢构成了公共约束,没有剩余的约束,即有l=0,k=0。由式(6)可得:v=3·1-1·3-0=0(20)由式(9)可得:M=6-3·1+1(3-1)+0=5(21)5机构约束螺旋系图2所示为4-RPRRR并联机构,其中第一个转动副轴线$i1和第三个转动副轴线$i3平行于定平台;第二个移动副$i2垂直于$i1和$i3;最后两个转动副轴线$i4和$i5都垂直于动平台。初始位形下,动平台平行于定平台。取第i个分支的第一个转动副的中心点为第i个分支坐标系的原点,xi轴和第一个转动副轴线重合,zi轴垂直于定平台向上。则第i个分支运动螺旋系为:$i1=(100;000)$i2=(000;0m2n2)$i3=(100;0b3c3)$i4=(001;a4b40)$i5=(001;a5b50)(22)对式(23)求反螺旋可得第i个分支约束螺旋系为:$ri1=(000;010).(23)式(23)表明一个RPRRR分支对动平台施加一个yi方向的约束力偶。全部四个分支一共施加四个力偶,都平行于定平台,满足共面的几何条件。在此几何条件下,这四个力偶线性相关,等价于两个力偶,即:$rm1=(000;100)$rm2=(000;010).(24)式(25)中两个力偶构成机构约束螺旋系,约束动平台在XY平面内的两个转动自由度。动平台在发生任意可行连续运动后仍平行于定平台,分支运动链中各运动副轴线间的几何关系在动平台发生连续运动时并不改变,因此各分支运动螺旋系和约束螺旋系也不改变。即机构约束螺旋系在动平台发生连续运动后不变。因此该机构不是瞬时机构,具有三个移动自由度和一个绕Z轴的转动自由度。由于没有共轴的约