圆的标准方程

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xyO圆的原则方程学习目的1、掌握圆的原则方程，能根据圆心、半径写出圆的原则方程。2、用待定系数法及几何法求圆的原则方程。3、能精确判断点与圆的位置关系。生活中的圆评价分析教法分析问题一：初中时我们是怎样给圆下定义的？平面上到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。Ar

一、复习提问、导入新课评价分析教材析目的分析

定点----圆心------拟定圆的位置在平面直角坐标系中，两点拟定一条直线，那么拟定一种圆需要哪些条件呢？2、直线能够用一种方程表达，圆是否也能够用一种方程来表达呢？假如能够，那么它方程形式又是怎样的呢?定长----半径------拟定圆的大小问题三：圆心是A(a,b),半径是r的圆的方程是什么？xyOAM(x,y)P={M

||MA|=r

}圆上全部点的集合(x-a)2+(y-b)2=r2设点M(x,y)为圆A上任一点，由定义知|MA|=r。探究新知xyOAM(x,y)圆心A(a,b),半径r

尤其地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：原则方程知识点一：圆的原则方程问题:圆的原则方程有什么特征?（1）有两个变量x、y，且系数都为1；（2）有a、b、r三个参数；

（3）方程的右边一定是正数。圆的原则方程

(x-a)2

+(y-b)2

=r2特点：1、明确给出了圆心坐标和半径。2、拟定圆的方程必须具有三个独立条件,即a、b、r.3、是有关x、y的二元二次方程。1.求下列圆的方程:(1)圆心在原点,半径为3.(2)以O（0,0），A(6,8)为直径的圆.(3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).小试牛刀2.说出下列圆的圆心和半径:(1)(x+1)2+(y-1)2=1；(2)x2+(y+4)2=7；(3)(x+1)2+(y+2)2=m2（m≠0）;圆心A(-1,1),r=1圆心A（0，-4），r=圆心A(-1,-2),r=(4)x2+y2

4x+10y+28=0练习：求过点A(6，0)，且圆心为B(3，2)的圆的方程．解：因为圆的半径r＝|AB|＝所以所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝13．

例1

写出圆心为，半径长等于5的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上。

解：圆心是，半径长等于5的圆的标准方程是：经典例题

把点的坐标代入此方程，左右两边不相等，点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上．

把的坐标代入方程左右两边相等，点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上；训练已知两点M(3,8)和N(5,2)．(1)求以MN为直径的圆C的方程；(2)试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在圆内，还是在圆外？知识探究二：点与圆的位置关系

探究：在平面几何中，怎样拟定点M（x0，y0）与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系？MO|OM|<r|OM|=rOMOM|OM|>r点在圆内点在圆上点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2<r2(x0-a)2+(y0-b)2=r2(x0-a)2+(y0-b)2>r2几何法代数法(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外;(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.点与圆的位置关系:练习.请判断点A(m,4)与圆x2+y2=16的位置关系是（）

A、圆内B、圆上

C、圆外D、圆上或圆外D待定系数法解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上所求圆的方程为例2的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。1.设出原则方程；2.根据条件列出有关a、b、r的方程组；3.解出a、b、r，代入原则方程。求圆的方程常用待定系数法。用待定系数法求圆的环节：A(5,1)EDOC(2,-8)B(7,-3)yxR几何措施L1L27解法二：l2l1因为A(5,1)和B(7,-3)，所以线段AB的中点的坐标为(6,-1)，直线AB的斜率所以线段AB的垂直平分线l1的方程是：即：所以，圆心为C的圆的原则方程是：因为B(7,-3)和C(2,-8)，所以线段BC的中点的坐标为(4.5,-5.5)，直线BC的斜率所以线段BC的垂直平分线l2的方程是：即：△ABC的外接圆的圆心O的坐标是方程组的解解得：即O(2,-3)圆O的半径长：几何法练习⊿AOB的顶点的坐标分别是A(4,0),

B(0,3),O(0,0),求它的外接圆的方程。圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点xyOCA(1,1)B(2,-2)弦AB的垂直平分线例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2)，且圆心C在直线l：x－y+1=0上，求圆心为C的圆的原则方程．D经典例题解:∵A(1,1),B(2,-2)己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的原则方程.xyOCA(1,1)B(2,-2)D跟踪练习线段AB的中点D的坐标线段AB的垂直平分线的方程是即解方程组得圆的半径长圆心C的坐标是所以圆的原则方程己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的原则方程.圆经过A(1,1),B(2,-2)解2:设圆C的方程为∵圆心在直线l:x-y+1=0上跟踪练习例3：判断下列点与圆的位置关系(1)判断点P(-4,1),Q(0,0),M(1,-2)与圆(x-3)2+(y＋4)2=25位置关系(2)若M是圆上一动点，试求P,M两点间距离的最大值和最小值。变：r为何值时，直线L：y=k(x-1)+3与圆(x-2)2+(y＋1)2=r2恒有交点例3如图所示，一座圆拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？【分析】建立坐标系求解．【解】以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，则由已知得A(6，－2)．设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2