高中数学一轮复习考点专题74 利用几何关系求解圆锥曲线问题 (含解析)

PAGE微专题74利用几何关系求解最值问题一、基础知识：1、利用几何关系求最值的一般思路:（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关（2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到。因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值。所以只有共线时才有可能达到最值。要注意动点与定点相对位置关系。一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上。（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置。2、常见的线段转移：（1）利用对称轴转移线段（详见例1）（2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移。（3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的相互转化。（4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径（5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径（注意点在双曲线的哪一支上）3、与圆相关的最值问题：（1）已知圆SKIPIF1<0及圆外一定点SKIPIF1<0，设圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0则圆上点到SKIPIF1<0点距离的最小值为SKIPIF1<0，最大值为SKIPIF1<0（即连结SKIPIF1<0并延长，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与圆的交点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0延长线与圆的交点（2）已知圆SKIPIF1<0及圆内一定点SKIPIF1<0，则过SKIPIF1<0点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦SKIPIF1<0解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0最小，则SKIPIF1<0要取最大，在圆中SKIPIF1<0为定值，在弦绕SKIPIF1<0旋转的过程中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小（3）已知圆SKIPIF1<0和圆外的一条直线SKIPIF1<0，则圆上点到直线距离的最小值为SKIPIF1<0，距离的最大值为SKIPIF1<0（过圆心SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，其反向延长线交圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0（4）已知圆SKIPIF1<0和圆外的一条直线SKIPIF1<0，则过直线SKIPIF1<0上的点作圆的切线，切线长的最小值为SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0，则若SKIPIF1<0最小，则只需SKIPIF1<0最小即可，所以SKIPIF1<0点为过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂线的垂足时，SKIPIF1<0最小SKIPIF1<0过SKIPIF1<0作圆的切线，则切线长SKIPIF1<0最短4、与圆锥曲线相关的最值关系：（1）椭圆：设椭圆方程为SKIPIF1<0①焦半径：焦半径的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0②焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为SKIPIF1<0，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直（2）双曲线：设双曲线方程为SKIPIF1<0①焦半径：焦半径的最小值为SKIPIF1<0，无最大值②焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为SKIPIF1<0，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直（3）抛物线：设抛物线方程为SKIPIF1<0①焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即SKIPIF1<0②焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为SKIPIF1<0二、典型例题：例1：已知在平面直角坐标系中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴上一动点，则SKIPIF1<0的最小值为___________思路：从所求可联想到三点不共线时，三角形两边之和大于第三边（而三点共线时可能相等），由已知可得：SKIPIF1<0，但从图像上发现无论SKIPIF1<0在何处，SKIPIF1<0，无法取到等号。（即使SKIPIF1<0共线时等号也不成立），为了取到最值。考虑利用对称转移所求线段。作SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0，可知当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小炼有话说：（1）三点共线取得最值的条件：动点位于两定点之间时，则距离和取到最小值。同理；当动点位于两定点同一侧时，距离差的绝对值取到最大值。（2）处理线段和（差）最值问题时，如果已知线段无法找到最值关系，则可考虑利用“线段转移法”，将某一线段替换成另一长度相等线段，从而构造出取得最值的条件例2：设抛物线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0到此抛物线准线的距离为SKIPIF1<0，到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：通过作图可观察到直接求SKIPIF1<0的最值比较困难，所以考虑转移某个距离，由已知可得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0到准线的距离，所以可根据抛物线定义转移为SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是抛物线的焦点，SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，观察图像可得：SKIPIF1<0答案：A例3：已知过抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0的弦与抛物线交于SKIPIF1<0两点，过SKIPIF1<0分别作SKIPIF1<0轴的垂线，垂足分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________思路：设抛物线的准线为SKIPIF1<0，由抛物线SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，观察图像可知SKIPIF1<0。而由抛物线定义可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即要求出SKIPIF1<0的最小值，只需求出SKIPIF1<0的最小值，即抛物线焦点弦的最小值，由抛物线性质可知当SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0最小，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例4：已知点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0的准线上，过点SKIPIF1<0作抛物线的切线，若切点SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0是抛物线的焦点，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最小值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：由图像可知，固定SKIPIF1<0点，则圆SKIPIF1<0上到SKIPIF1<0距离的最小值SKIPIF1<0，所以只需在直线上找到与圆心SKIPIF1<0距离最小的点，即SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离。需要确定抛物线方程和SKIPIF1<0点坐标，由SKIPIF1<0可得准线方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，抛物线方程为SKIPIF1<0，焦点SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，切线斜率SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0方程：SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0答案：A例5：抛物线SKIPIF1<0上的点到直线SKIPIF1<0距离的最小值是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路一：直接利用点到直线距离公式得到距离关于SKIPIF1<0的函数，设抛物线上的点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以最小值为SKIPIF1<0思路二：本题也可将直线进行平移，平移至与抛物线相切，则两直线之间的距离即为所求最小值。所以只需求与已知直线平行且与抛物线相切的直线，设切点坐标为SKIPIF1<0，所求函数的导数SKIPIF1<0，因为切线与SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0，故切线方程为：SKIPIF1<0，整理后可得：SKIPIF1<0，所以两直线距离SKIPIF1<0，即抛物线上的点到距离的最小值答案：B例6：已知点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0的一点，SKIPIF1<0为抛物线的焦点，SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最小值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：本题含两个动点SKIPIF1<0，先固定一个点不动，寻找最小值的规律。考虑固定SKIPIF1<0，则圆上距离SKIPIF1<0最近的点为SKIPIF1<0与圆的交点，即SKIPIF1<0，所以只需考虑SKIPIF1<0的最小值即可，通过移动SKIPIF1<0可知，无论SKIPIF1<0位于何处，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是最小值。考虑转移线段，抛物线的准线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（即SKIPIF1<0到准线的距离，所以SKIPIF1<0答案：C例7：已知动点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，若点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：由椭圆方程可知SKIPIF1<0即为椭圆的焦点，由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为圆心，半径为1的圆上的点，SKIPIF1<0在圆外，且由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即为圆上的切线，SKIPIF1<0的最小值即切线长的最小值，由圆的性质可得：SKIPIF1<0，所以只需找到SKIPIF1<0的最小值即可，由椭圆性质可知：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0答案：B例8：设SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左焦点，SKIPIF1<0是椭圆上的任意一点，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为___________思路：先作出椭圆图像，标出定点SKIPIF1<0的位置，若从SKIPIF1<0入手，则由图发现无论SKIPIF1<0在何处，SKIPIF1<0。与所求最大值不符。考虑进行线段转移，发现SKIPIF1<0为左焦半径，所以考虑作出右焦点SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0进行线段转移。即SKIPIF1<0，只需求出SKIPIF1<0，结合图像可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，从而可得：SKIPIF1<0答案：15例9：设SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0分别是两圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0SKIPIF1<0上的点，则SKIPIF1<0的最小值和最大值分别为（）A.4,8B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：本题有三个动点SKIPIF1<0，但观察可得SKIPIF1<0之间没有联系，所以若SKIPIF1<0达到最小，则只需SKIPIF1<0分别达到最小即可。固定SKIPIF1<0点，可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0恰好为椭圆两个定点，所以由椭圆定义可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：A例10：设SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和椭圆SKIPIF1<0上的点，则SKIPIF1<0两点间的最大距离是___________思路：本题中SKIPIF1<0均为动点，所以考虑先固定一点不动，比如SKIPIF1<0点，寻找此时达到最值时SKIPIF1<0位置的规律，进而再让SKIPIF1<0运动起来，找到最值。观察图像可得SKIPIF1<0点固定时，SKIPIF1<0达到的最大值时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0延长线与SKIPIF1<0的交点处，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以只需找到SKIPIF1<0的最大值即可，设SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，代入消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0三、历年好题精选1、（2014，安徽）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知向量SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0，区域SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为两段分离的曲线，则（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<02、已知直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0，则抛物线SKIPIF1<0上一动点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离之和的最小值是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<03、已知点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上一动点，则SKIPIF1<0的最大值为_________4、已知点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0的准线上，过点SKIPIF1<0作抛物线的切线，若切点SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0是抛物线的焦点，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最小值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<05、已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分别是圆SKIPIF1<0上的动点,SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴上的动点,则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<06、（2016，绵阳二模）已知点P在单位圆SKIPIF1<0上运动，点P到直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的距离分别记为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0最小值为_________．7、已知点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的右支上一点，SKIPIF1<0分别是圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上的点，则SKIPIF1<0的最大值为_________习题答案：1、答案：A解析：由SKIPIF1<0的特点可以以SKIPIF1<0所在直线为坐标轴建系，则有SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0上点的坐标为SKIPIF1<0，即圆心是原点的单位圆；另一方面SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0区域为以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆环。通过数形结合可得若SKIPIF1<0为两段分离的曲线，意味着以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆均与单位圆相交。所以SKIPIF1<02、答案：A解析：观察直线SKIPIF1<0的方程恰好是抛物线的准线，所以想到SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离与SKIPIF1<0相等（SKIPIF1<0是抛物线的焦点）。以此为突破口进行线段转移，所以SKIPIF1<0，通过作图观察可得SKIPIF1<0（等号成立条件：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0