2022-2023学年河北省石家庄市大吾乡大吾中学高三数学理联考试卷含解析

2022-2023学年河北省石家庄市大吾乡大吾中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知下列三个命题：①棱长为2的正方体外接球的体积为4；②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；③直线被圆截得的弦长为2．其中真命题的序号是(

)。

(A)①②

(B)②③

(C)①⑤

(D)①②③参考答案：C2.正六棱锥中，为的中点，则三棱锥与三棱锥体积之比为(

)A.1：1

B.1：2

C.2：1

D.3：2参考答案：C略3.设U=R，M={y|y=2x+1，﹣≤x≤}，N={x|y=lg（x2+3x）}，则（?UM）∩N=（）A．（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U=R，先求出CUM，再由集合N能够求出N∩（?UM）．【解答】解：∵全集U=R，M={y|y=2x+1，﹣≤x≤}=[0，2]，∴CUM=（﹣∞，0）∪（2，+∞），∵x2+3x＞0，解得x＞0或x＜﹣3∴集合N=（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）∴N∩（?UM）=（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）故选C．4.某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该四棱锥的体积（单位：cm3）是A．

B．

C．4

D．8参考答案：B5.已知集合，则(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：B6.已知集合，，则 （

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B7.已知函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，图象的相邻两条对称轴之间的距离为个单位长度，则函数图象的一个对称中心为（

）A． B．C． D．参考答案：C由已知得，函数的最小正周期为，则，解得，所以，由，解得，所以函数图象的对称中心为，显然当时，图象的一个对称中心为．8.已知a为实数，若复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．分析；复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，可得，解得a．又i4=1，可得i2015=（i4）503?i3=﹣i，代入即可得出．解：复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，∴，解得a=1．又i4=1，∴i2015=（i4）503?i3=﹣i，则====﹣i．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了计算能力，属于中档题．9.有7张卡片分别写有数字1，1，1，2，2，3，4，从中任取4张，可排出的四位数有（）个．A．78 B．102 C．114 D．120参考答案：C【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分四种情况讨论：①、取出的4张卡片种没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，②、取出的4张卡片种有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，③若取出的4张卡片为2张1和2张2，④、取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分四种情况讨论：①、取出的4张卡片种没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，此时有A44=24种顺序，可以排出24个四位数；②、取出的4张卡片种有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，在2、3、4中取出2个，有C32=3种取法，安排在四个位置中，有A42=12种情况，剩余位置安排数字1，可以排出3×12=36个四位数，同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；③、若取出的4张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有C42=6种情况，剩余位置安排两个2，则可以排出6×1=6个四位数；④、取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1，在2、3、4中取出1个卡片，有C31=3种取法，安排在四个位置中，有C41=4种情况，剩余位置安排1，可以排出3×4=12个四位数；则一共有24+36+36+6+12=114个四位数；故选C．【点评】本题考查排列组合的运用，解题时注意其中重复的数字，要结合题意，进行分类讨论．10.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率（）A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.。参考答案：2略12.的展开式中的常数项为

.

参考答案：-160【知识点】二项式定理．解析：二项式的展开式的通项公式为Tr+1=?26﹣r??（﹣1）r?=（﹣1）r??26﹣r?．令6﹣2r=0，解得r=3，故展开式中的常数项为﹣?23=﹣160，故答案为-160．【思路点拨】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．13.设变量x，y满足约束条件，则其目标函数z=2x+y的最大值为

．参考答案：7【考点】简单线性规划．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形0CAB及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=3且y=1时，z=2x+y取得最大值7．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形0CAB及其内部，其中A（3，1），B（0，4），C（2，0），0（0，0）设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（2，1）=2×3+1=7故答案为：7【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．14.已知函数的定义域为．若常数，对，有，则称函数具有性质．给定下列三个函数：

①；

②；

③．其中，具有性质的函数的序号是______．参考答案：①③．由题意可知当时，恒成立，若对，有。①若，则由得，即，所以，恒成立。所以①具有性质P.②若，由得，整理，所以不存在常数，对，有成立，所以②不具有性质P。③若，则由得由，整理得，所以当只要，则成立，所以③具有性质P，所以具有性质的函数的序号是①③。15.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点）的面积为，则

▲

．参考答案：

16.若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．参考答案：(－∞，0)17.若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．参考答案：9【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x﹣y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x﹣y有最大值9．【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的两个焦点分别为F1、F2，，点Q在椭圆上，且的周长为6.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P的坐标为(2,1)，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线，求的最大值.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）根据焦距和焦点三角形周长可求得，利用求得，从而可得椭圆的方程；（Ⅱ）当直线斜率不存在时，可判断出，，三点不共线，不符合题意；所以可假设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出和；由三点共线得到斜率相等关系，从而可求得；利用弦长公式和点到直线距离公式求得和，代入可整理出：，可知当时取最大值.【详解】（Ⅰ）由题意得：，解得：，

椭圆的方程为（Ⅱ）设，当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点在轴上，且与点不重合显然，，三点不共线，不符合题设条件故可设直线的方程由，消去整理得：……①则，

点的坐标为，，三点共线

此时方程①为：，则

则，又当时，的最大值为【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、直线与椭圆综合应用中的求解最值的问题，解决直线与椭圆综合问题时，常采用联立的方式整理出韦达定理的形式，利用韦达定理表示出所求的距离或弦长，从而将所求问题转变为函数最值的求解问题.19.（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间.参考答案：解：，

……………1分令．（Ⅰ）当时，函数，，．曲线在点处的切线的斜率为．

…………2分从而曲线在点处的切线方程为，即．

………………4分（Ⅱ）函数的定义域为．设，（1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减．……………6分（2）当时，，（ⅰ）若，由，即，得或；……………8分由，即，得．………9分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．

……11分（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时

在上单调递增．………………13分

20.（13分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1,0)、B(1,0),动点C满足条件：△ABC的周长为.记动点C的轨迹为曲线W.(Ⅰ)求W的方程；(Ⅱ)经过点（0,）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；

（Ⅲ）已知点M（），N（0,1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.参考答案：解析：(Ⅰ)设C（x,y）,∵,,∴,∴由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆除去与x轴的两个交点.∴.

∴.∴W:

.……………2分(Ⅱ)设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.

整理，得.

①…………5分

因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

，解得或.∴满足条件的k的取值范围为…………7分

（Ⅲ）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则＝（x1+x2，y1+y2),

由①得.

②

又

③

因为，，所以.………11分

所以与共线等价于.

将②③代入上式，解得.

所以不存在常数k，使得向量与共线.……13分21.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中,是边长为2的正三角形.若平面,平面平面,,且（1）求证：//平面;（2）求证：平面平面.参考答案：证明:(1)取的中点,连接、,因为，且所以,,.又因为平面⊥平面