拉格朗日中值定理-资料大全

罗尔定理柯西中值定理

微分中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理

泰勒中值定理罗尔（Rolle）定理

实际上,C点处的切线与弦AB平行.几何解释:把上图做一旋转，得到下图：C

C点处的切线与弦线AB平行.C拉格朗日（Lagrange）中值定理

弦AB斜率切线斜率此条件太苛刻有限增量公式推论1证推论2(C为常数)证拉格朗日中值定理函数单调性的判定法拉格朗日中值定理函数单调性的判定法引入新课新课讲授小结与作业导数的几何意义：y=f(x)0xy引入新课例题α引例.解：ABP0xy注：这个例题反映了一个一般事实，可以写成下面的定理。返回(A)一.拉格朗日中值定理推论：如果y=(x)在区间（a、b)内有f'(x)≡0则在此区间内f(x)≡c(常数）。定理：如果函数y=(x)满足，10.在（a、b)上连续

20.在（a、b)内可导，则至少存在一点使等式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)成立。注：这个推论是常数的导数是零的逆定理。例题与练习新课讲授(B)练习1：下列函数中在区间[-1、1]上满足拉格朗日中值定理条件的是______

(A)例1.求函数f(x)=x2+2x在区间[0、1]内满足拉格朗日中值定理的ξ值。解：f(1)-f(0)=3∴2ξ+2=3∴ξ1)f(x)=ln(1+x)2)f(x)=|x|4)f(x)=arctanx下一页二.函数单调性的判定法0xy0xyabABabAB几何特征：定理：设函数y=f(x)在[a、b]上连续,在（a、b)内可导.1）若在(a、b)内f’(x)>0，则y=f(x)在[a、b]上单调增加。2）若在(a、b)内f’(x)<0，则y=f(x)在[a、b]上单调减少。y=f(x)y=f(x)证明f'(x)>0f'(x)<0证明在(a、b)内任取两点x1,x2且x1<x2.则在[x1、x2]上函数y=f(x)满足拉格朗日中值定理的条件。∴f(x2)-f(x1)=f’(ξ)(x2-x1)ξ∈(x1、x2)若f’(x)>0,则f’(ξ)>0又x2-x1>0∴f(x2)>f(x1)∴y=f(x)在[a、b]上单调增加同理可证：若f'(x)<0,则函数f(x)在[a、b]上单调减少注：1）上述定理中间区间[a、b]若改为(a、b)或无限区间结论同样成立。2）若f(x)在(a、b)内的个别点的导数为零，其余的点都有f'(x)>0(或f'(x)<0)，则f(x)在(a、b)内满足单调增加(单调减少).例题(A)例1.判定y=x3的单调性y'=3x2当x=0时y'=0当x≠0时y'>0∴x∈(-∞,+∞)y单调增加0xy(A)例2.判断下列函数的单调性下一页解：解：1）定义域为(-∞、+∞)2)f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)3)列表：令f'(x)=0得x1=1x2=24）由表可知：函数的单调增区间为（-∞、1]∪[2、+∞）单调减区间为（1、2）。xy'y(-∞、1)+10（1、2）-+(2、+∞)20(B)练习2：确定函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间。下一页(C)例4：解：1）定义域为(-∞、-1)∪（-1、+∞).3)列表:(-∞、-2)+-20（-1、0）-00+(0、+∞)4）由表可知函数的单调增区间为(-∞、-2)∪(0、+∞)单调减区间为（-2、-1）∪（-1、0）。xy’y（-2、-1）-返回三.小结与作业1.拉格朗日中值定理及推论。2.函数单调性的判定方法与步骤。3.作业：<教与学>P40:

(A)1.(1)

(B)3.(3)(4)(C)3.(6)小结与作业返回拉格朗日中值定理函数单调性的判定法引入新课新课讲授小结与作业拉格朗日中值定理函数单调性的判定法拉格朗日中值定理几何直观教材分析教法分析教学目标教学过程评价反思一.教材分析

（1）教材的地位和作用

（2）重点难点

（3）课时安排

一.教材分析微积分学是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2500多年震撼人心的智力奋斗的结果，它开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，在微分学中占有很重要的地位.拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态，如单调性、变化快慢和极值等性态，这是本章的关键内容。（一）教材的地位和作用一.教材分析（二）重点与难点教学重点：探求和理解拉格朗日中值定理。教学难点：探求拉格朗日中值定理的条件；运用定理研究函数单调性。

一.教材分析拉格朗日中值定理和函数的单调性可安排两课时。本节作为第一课时，重在探求拉格朗日中值定理，理解拉格朗日中值定理的几何意义和定理的条件，体会该定理在研究函数性态应用中的作用。（三）课时安排二.教法分析（一）学情分析

（二）教学方法

（三）学法分析

（四）具体措施

二.教法分析（一）学情分析学生已经学习了导数的概念和导数的运算，对微分的定义及运算有了直观的认识和理解。通过体会导数的思想和实际背景，已经具备一定的微分思想，但是发现函数与其导数是两个不同的概念；而导数只是反映函数在一点的局部特征；而函数反映在其定义域上的整体性态，如何建立两者之间的联系呢？多数同学对此有相当的兴趣和积极性。学生在学习时可能会遇到以下困难，发现连接曲线两端点的直线段有时与曲线上某点的切线是平行的，但是又不知是否对所有曲线都满足?

二.教法分析（二）教学方法

1、多媒体辅助教学

借助多媒体教学手段引导学生发现存在某点的切线与连接两端点的线段是平行的，使问题变得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示这一过程，体会逼近的思想方法。2、探究发现法教学让学生通过动手操作课件，经历“实验、探索、论证、应用”的过程，体验从特殊到一般的认识规律，通过学生“动手、动脑、讨论、演练”增加学生的参与机会，增强参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学主体。二.教法分析（三）学法分析自主、合作、探究借助多媒体技术创设丰富的教学情境，激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性，倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。引导学生动手操作课件，指导学生讨论交流从而发现规律，培养学生探究问题的习惯和意识以及勇于探索、勤于思考的精神，提高学生合作学习和数学交流的能力。

二.教法分析（四）具体措施

根据以上的分析，本节课采用教师引导与学生自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉快的环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效率。教学中注重数形结合，从形的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流的合作意识。

三.教学目标通过实验探求拉格朗日中值定理条件，理解拉格朗日中值定理在研究函数性态中的作用，培养学生分析、抽象、概括等思维能力。掌握知识与技能三.教学目标体会过程与方法

在寻找存在某直线与连接曲线两端点的线段平行的过程中，使学生通过认识用导数来研究函数形态，发现数学的美，数学知识的融会贯通；通过数形结合的思想的具体运用来探讨定理的条件，使学生思维达到严谨，了解科学的思维方法。

三.教学目标培养情感态度与价值观在拉格朗日中值定理的探讨过程中，渗透逼近和数形结合的思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系，激发学生勇于探索、勤于思考的精神；通过讨论、交流、合作、实验操作等活动激发学生学习数学的兴趣；培养学生合作学习和数学交流的能力。

四.教学过程

（一）教学流程图

（二）教学过程与设计思路

（一）教学流程图类似“卡通形象”的教学流程图以“模块”为基本单元，从新课引入到概念建构，从技能演练到小结作业。层层展开，逐层突破。

情景引入复习引入几何意义具体应用小结概念建构作业演练教学程序及设计意图

（一）创设情景

引入新课提出问题：1、将连接曲线两端点的线段平行的移动是否发现有某点处的切线与其平行？

提出问题，由学生发现函数与导数之间的联系，那么如何在两者之间架起桥梁呢？让学生感受到进一步探究学习的重要性。教学过程设计意图2、可从特殊来引导一般，假如曲线两端点的函数值相等，将会有什么结果？设问引起学生的好奇心，激发学生的求知欲，教学中让学生就此探究进行思考展开讨论。利用认知迁移规律，从学生的“最近发展区”出发，引导学生利用已有的知识尝试解决问题，在学生已有的认知结构基础上进行新概念的建构。教学过程设计意图（二）动手操作探索求知1、课件操作：学生动手拖动点，观察过曲线端点的直线是否能成为某点处的切线，引导给出特殊情况下定理的内容。2、学生自主合作学习：学生分组讨论交流，计算过曲线两端点的直线的斜率和函数的导函数，自主合作探求直线的斜率和某点处导数的关系，教师在自主合作之后看学生得出的结论。通过逼近方法，知道在曲线上存在某点处的切线平行与过曲线端点的直线适用于处处有不垂直于x轴的切线的曲线，这一定理将函数与其导数建立起联系。

借助多媒体教学手段引导学生发现定理的几何意义，使问题变得直观，易于突破难点；学生在过程中，可以体会逼近的思想方法。最后的证明环节，能够同时从数与形两个角度强化学生对拉格朗日中值定理的理解。教学过程设计意图（三）灵活运用透析内涵求函数在[0,2]上满足拉格朗日中值定理条件的？解：，由拉格朗日中值定理得：这是学生思维上升的又一个层次，设计该题目的在于加深学生对导数刻画函数单调性的理解，通过它及时发现学生的问题，及时纠正，能对学生情况给予及时评价。教学过程设计意图（四）巩固知识，提升思维

已知导函数的下列信息：设函数在上连续，在内可导，则有：（1）如果在内，则在上单调增加；（2）如果在内，则在上单调减少；

设计这个问题的目的有三个：第一，让学生描述在一点附近曲线的变化情况，体会以直代曲的思想方法；第二，让学生深刻理解拉格朗日中值定理架起函数和导数之间的桥梁；第三，让学生观察、探讨函数的单调性与其导函数正负的关系。教学过程设计意图，

)(xf（五）自主小结整体把握（六）布置作业拓展提高(1)阅读作业：收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料(2)书面作业：1．2.(3)拓展作业：3.

启发学生自主小结，知识性内容的小结，可把课堂所学知识尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结，可使学生更清晰地梳理数学思想方法，并且逐渐养成科学的思维习惯。针对学生素质的差异进行分层训练，既注重“双基”，又兼顾提高，为学生指明课后继续学习的方向，同时为以后的学习留下悬念，激发学生探索的兴趣。教学过程设计意图1、知识技能小结2、思想方法小结小结提高拉格朗日中值定理直观理解内涵理解知识运用核心概念数学思想知识技能•思想方法五.评价与反思（一）设计说明

（二）过程反思

1、板书设计：

课题概念理解运用例题小结……投影屏幕五.说明和反思2、时间安排：新课引入约10分钟，探索求知约10分钟，灵活运用约20分钟，小结提高约5分钟。五.说明和反思情景引入复习引入几何意义具体运用小结概念建构作业演练本节课设计为一节“科学探究—合作学习”的活动课，在整个教学过程中学生以探索者的身份学习，在问题解决过程中，通过自身的体验对知识的认识从模糊到清晰，从直观感悟到精确掌握。

力求使学生体会微积分的基本思想，感受近似与精确的统一，运动和静止的统一，感受量变到质变的转化。希望利用这节课渗透辨证法的思想精髓。教师在这个过程中始终扮演学生学习的协作者和指导者。学生通过自身的情感体验，能够很快的形成知识结构，并将其转化为数学能力。过程反思请各位老师提出宝贵意见谢谢一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理第一节微分中值定理四、泰勒(Taylor)中值定理1费马（Fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理几何解释:证明:几何解释:2罗尔(Rolle)定理证由费马引理可知，注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,注2:若罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的.例如,XY-110例12）唯一性矛盾,由零点定理即为方程的正实根.证：1）存在性二、拉格朗日(Lagrange)中值定理几何解释:证分析:弦AB方程为化归证明法作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.推论1拉格朗日中值公式另外的表达方式：例2证由上式得三、柯西(Cauchy)中值定理几何解释:证作辅助函数例3证分析:结论可变形为1问题的提出四、泰勒(Taylor)中值定理不足问题1、精确度不高；2、误差不能估计。分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交3泰勒(Taylor)中值定理证明:定理1（带lagrange余项的泰勒定理）如果f(x)在点邻域内有n+1阶导数，则拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项定理2（带peano余项的泰勒定理）如果f(x)在点邻域内有n+1阶导数，则几点说明：（3）（麦克劳林公式）4常用n阶泰勒公式及其简单应用解解其它函数的麦克劳林公式误差传递公式:微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:★★CA例8.设由方程确定函数求正确解法:2.

设其中在因故正确解法:时,下列做法是否正确?在求处连续,例8.设由方程确定函数求解:方程组两边对t

求导,得故0.1函数的极值0.2函数的最值0.3费马定理问题：是不是所有的极值点都是驻点？0.3费马定理例如,一、罗尔定理几何解释:如何从理论上证明？证注意:1、若罗尔定理的三个条件i、闭区间上连续；ii、开区间内可导；iii、两端点函数值相等是定理成立充分条件；结论是存在导数为0的点导数为零的点的存在的时候，可能这三个条件都不成立注意:2、若罗尔定理的三个条件缺一不可：

即：其中任何一个不成立，均有可能使结果不成立例1证由零点定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理几何解释:分析:(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.令则拉格朗日中值公式又称有限增量公式.推论:若函数在区间I上满足则在

I上必为常数.证:在I

上任取两点日中值公式,得由的任意性知,在

I

上为常数.例2证例3证由上式得三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西