2024届山东省恒台第一中学高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届山东省恒台第一中学高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏让沙漏在偏离平衡位置一定角度后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．设线长为，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是，．若，要使沙漏摆动的最小正周期是，则线长约为（）A.5m B.C. D.20m2．已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则实数的值为（）A. B.10C. D.53．根据表格中的数据，可以判定函数的一个零点所在的区间为．A. B.C. D.4．已知向量，满足，，且与的夹角为，则（）A. B.C. D.5．设，满足约束条件，则的最小值与最大值分别为（）A.， B.2，C.4，34 D.2，346．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b其中真命题的序号是()A.①② B.③C.①③ D.②7．在空间坐标系中，点关于轴的对称点为（）A. B.C. D.8．给定函数：①；②；③；④，其中在区间上单调递减函数序号是（）A.①② B.②③C.③④ D.①④9．已知两点，点在直线上，则的最小值为（）A. B.9C. D.1010．已知函数的定义域是且满足如果对于,都有不等式的解集为A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．的值是__________12．已知，，则的值为_______.13．梅州城区某公园有一座摩天轮，其旋转半径30米，最高点距离地面70米，匀速运行一周大约18分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第12分钟时，他距地面大约为___________米.14．设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是______15．一个扇形的中心角为3弧度，其周长为10，则该扇形的面积为__________16．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某城市2021年12月8日的空气质量指数（AirQualityInex，简称AQI）与时间（单位：小时）的关系满足下图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为103．当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数（且）图象的一部分，根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于100时，空气就属于污染状态（1）求函数的解析式；（2）该城市2021年12月8日这一天哪个时间段空气属于污染状态？并说明理由18．计算或化简：（1）；（2）19．已知集合，（1）时，求及；（2）若时，求实数a的取值范围20．已知函数.（1）利用“五点法”完成下面表格，并画出函数在区间上的图像.（2）解不等式.21．已知函数的图象过点（1）求的值并求函数的值域；（2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围；（3）若为偶函数，求实数的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】根据余弦函数的周期公式计算，即可求得答案.【题目详解】因为函数最小正周期是，故，即，解得（m）,故选：A2、A【解题分析】由向量的线性运算，求得，根据三点共线，得到，列出方程组，即可求解.【题目详解】由，，可得，因为，，三点共线，所以，所以存在唯一的实数，使得，即，所以，解得，.故选：A.3、D【解题分析】函数，满足.由零点存在定理可知函数的一个零点所在的区间为.故选D.点睛：函数的零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0,

这个c也就是方程f(x)＝0的根．由此可判断根所在区间.4、A【解题分析】根据向量的数量积运算以及运算法则，直接计算，即可得出结果.【题目详解】因为，，且与的夹角为，所以，因此.故选：A.5、D【解题分析】画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，判断最大值与最小值时的位置求出最值即可【题目详解】解：由，满足约束条件表示的可行域如图，由，解得的几何意义是点到坐标原点的距离的平方，所以的最大值为，的最小值为：原点到直线的距离故选D【题目点拨】本题考查简单的线性规划的应用，表达式的几何意义是解题的关键，考查计算能力，属于常考题型.6、D【解题分析】因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，①中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是a⊥c，所以①错误；②若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以②正确；③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；故选D7、C【解题分析】两点关于轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，竖坐标互为相反数，由此可直接得出结果.【题目详解】解：两点关于轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，竖坐标互为相反数，所以点关于轴的对称点的坐标是.故选：C.8、B【解题分析】①，为幂函数，且的指数，在上为增函数；②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数；③，在上为减函数，④为指数型函数，底数在上为增函数，可得解.【题目详解】①，为幂函数，且的指数，在上为增函数，故①不可选；②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数，故②可选；③，在上为减函数，在上为增函数，故③可选；④为指数型函数，底数在上为增函数，故④不可选；综上所述，可选的序号为②③，故选B.【题目点拨】本题考查基本初等函数的单调性，熟悉基本初等函数的解析式、图像和性质是解决此类问题的关键，属于基础题.9、C【解题分析】根据给定条件求出B关于直线的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答.【题目详解】依题意，若关于直线的对称点，∴，解得，∴，连接交直线于点，连接，如图，在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段，则有，当且仅当点与重合时取等号，∴，故的最小值为.故选：C10、D【解题分析】令x=，y=1，则有f（）=f（）+f（1），故f（1）=0；令x=，y=2，则有f（1）=f（）+f（2），解得，f（2）=﹣1，令x=y=2，则有f（4）=f（2）+f（2）=﹣2；∵对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），∴函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，故f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2可化为f（﹣x（3﹣x））≥f（4），故，解得，﹣1≤x＜0．∴不等式的解集为故选D点睛：本题重点考查了抽象函数的性质及应用，的原型函数为的原型函数为，.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】分析：利用对数运算的性质和运算法则，即可求解结果.详解：由.点睛：本题主要考查了对数的运算，其中熟记对数的运算法则和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.12、－.【解题分析】将和分别平方计算可得.【题目详解】∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴,故答案为：－.【点晴】此题考同脚三角函数基本关系式应用，属于简单题.13、55【解题分析】建立平面直角坐标系，第分钟时所在位置的高度为，设出其三角函数的表达式，由题意，得出其周期，求出解析式，然后将代入，可得答案.【题目详解】如图设为地面，圆为摩天轮，其旋转半径30米，最高点距离地面70米.则摩天轮的最低点离地面10米，即以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第分钟时所在位置的高度为则由题意，,则，所以当时，故答案为：5514、【解题分析】作出f(x)的图像，当时，，当时，.令，则，则该关于t的方程有两个解、，设＜，则，.令，则，据此求出a的范围，从而求出b的范围【题目详解】当时，，当时，，当时，，则f(x)图像如图所示：当时，，当时，令，则，∵关于x的方程恰有六个解，∴关于t的方程有两个解、，设＜，则，，令，则，∴且，要存a满足条件，则，解得故答案为：15、6【解题分析】利用弧长公式以及扇形周长公式即可解出弧长和半径，再利用扇形面积公式即可求解.【题目详解】设扇形的半径为，弧长为，则，解得，所以，答案为6.【题目点拨】主要考查弧长公式、扇形的周长公式以及面积公式，属于基础题.16、【解题分析】利用函数的图象变换规律，先放缩变换，再平移变换，从而可得答案【题目详解】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数的图象；再将的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是的图象，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）当天在这个时间段，该城市的空气处于污染状态，理由见解析【解题分析】（1）先用待定系数法求得时的解析式，再算得当时的函数值，再由待定系数法可得时的解析式；（2）根据，分段解不等式即可.【小问1详解】当时，，将代入得，∵时，，∴由的图象是一条连续曲线可知，点在的图象上，当时，设，将代入得，∴【小问2详解】由题意可知，空气属于污染状态时，∴或，∴或，∴，∴当天在这个时间段，该城市的空气处于污染状态18、（1）（2）1【解题分析】（1）根据指数幂的运算算出答案即可；（2）根据对数的运算算出答案即可.【小问1详解】【小问2详解】19、（1），（2）【解题分析】（1）先求出集合，，，然后结合集合的交、并运算求解即可；（2）由，得，然后结合集合的包含关系对B是否为空集进行分讨论，即可求解【小问1详解】∵由，得由题可知∴或∴∴；【小问2详解】∵，∴分两种情况考虑：时，，解得：时，则，解得：所以a取值范围为20、（1）表格、图象见解析；（2），.【解题分析】（1）根据正弦函数的性质，在坐标系中描出上或的点坐标，再画出其图象即可.（2）由正弦函数的性质得，，即可得解集.【小问1详解】由正弦函数的性质，上的五点如下表：0000函数图象如下：【小问2详解】由，即，故，，所以，，故不等式解集为，.21、（1）（2）（3）【解题分析】（1）函数图象过，代入计算可求出的值，结合对数函数的性质可求出函数的值域；（2）构造函数，求出它在上的值