兰大《线性代数》二VIP

线性代数二、单项选择题（每题4分，共20分）1.设矩阵A=[00`0001则A-1等于37B）A.’300120、001B.r0、0V012000J）001001C.D.00300、001\J.设两个向量组αι,α2,∙∙∙,α3口βι,β2,∙∙∙,βs均线性相关，则（D）A.有不全为0的数λ1,λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和入1β1+λ2β2+…λβs=0B.有不全为0的数人1，入2，・：入,使λ1（ɑ1+81）+λ2（ɑ2+82）+∙∙∙+λs（&）8「=0C.有不全为0的数人1，入2，…,λs使λ1（ɑ1-81）+λ2（ɑ2-82）+…+λsJ-Bs）=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…，λs和不全为0的数μ1,μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+∙∙∙+λsɑs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0.设A；=b是一非齐次线性方程组，η1,η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（aA.η1+η2是Ax=O的一个解B.1η1+1η是Ax=b的一个解2 12 2C.η1-η2是Ax=O的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解4.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（BA.|A|2必为1C.A-1=ATB.∣A∣必为1D.A的行（列）向量组是正交单位向量组5.下列矩阵中是正定矩阵的为（C）V34JB.'23、（3』02310-35111D.120Jo2J、填空题（每题4分，共20分）a1.若11a21a11a2103a 0123a 0226 1a22[1001[10012.设A为三阶可逆阵，A-1=210，则A*=—210v321Jv32"「00]210 321kɔNj√.若A为m义n矩阵，则齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是__R（A）＜n .设矩阵A=[1「210-310（21已知&=-1是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为ɔV2J1.5,若α=GkI)T与β=G-21>正交，则k=_1三、计算题（每题15分，共45分）1.试计算行列式31—12—513—4201—11—53—31.解3—5211—1130 1—53—4 —11—3 —51 —1 11 3 —10 1 0—5 3 0a12=1,则61-3J，2 5035 1 1=—111—1—5—50511-620—5—50—6—52=30+10=40.—52.设A=[31-1242(23—1、,0,B= .求(1)ABt；(2)|4A1-240)(12.解(1)ABt=34IT201(21八—1’10)(8 6]=1810.1310j(2)∣4A∣=43∣A∣=64∣A∣，而120∣A∣=340=—2.—121所以∣4A∣=64•(-2)=-128一(0-22L………工—……

3.设矩阵A=-2—34的全部特征值为1,1和-8.求正父矩阵T和对角矩阵D,、2 4—3√T-1AT=D.使解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=(2,-1,0)τ,ξ2=(2,0,1)τ.经正交标准化，(245/5]得η1=-J/5/50kʊ7,η:L2俨5/15、4石/15.石/3< 7λ=-8的一个特征向量为(1、ξ3=2，经单位化得η3、-2j(1/3、2/3

1-2/37(2<5/5所求正交矩阵为T=—%'15/5、02<15/154^5/15v5/3、-2/37对角矩阵D=J0:0<00-8,（也可取T=/_Ip-一2,5/5

0[W/52√15∕15

—/5/3

-4R/15_、1/32/3-2/3,.)四、证明题（15分）设η为AX=b（b≠0）的一个解，ξ,ξ……ξ为对应齐次线性方程组AX=0的基

12 --r础解系，证明ξ,ξ……ξ,η线性无关。1 2 n-r证：由ξ,ξ……ξ为对应齐次线性方程组AX=0的基础解系，则ξ,ξ……ξ线12 n-r 12 n-r性无关。（3分）反证法：设ξ,ξ……ξ,η线性相关，则η可由ξ,ξ……ξ线性表示，即:12 n- 12 n-rη=λξ+…+λξ （8分）11 rr因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故η必是AX=0的解。这与已知条件η为AX=b（b≠0%勺一个解相矛盾。（9分）.有上可知，ξ,ξ……ξ,η线性1 2 n-r无关。（15分）一、单项选择题（每题4分，共20分）1.设矩阵A=[000]，则A-1等于<003?B)j3A0]001020110B.012000013)O01-20101-30O/IC.O1-301-20OD..设两个向量组α1,α2,∙∙∙,α3口β1,β2,∙∙∙,βs均线性相关，则（D）A.有不全为0的数λ1,λ2,∙∙∙,λs使λ1α1+λ2α『…+λsαs=0和λ1β1+λ2β式…入sβs=0B.有不全为0的数人1，入2，・：入,使λ1（ɑ1+81）+λ2（ɑ2+82）+∙∙∙+λs（&）8「=0C.有不全为0的数人1，入2,….As使λ1（ɑ1-81）+λ2J-82）+…+λsQ-Bs）=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…，λs和不全为0的数μ1,μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+∙∙∙+λsɑs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0.设A；=b是一非齐次线性方程组，η1,η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（aA.η1+η2是Ax=O的一个解η1+-1η是Ax=b的一个解2 12 2C.η1-η2是Ax=O的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（BA.|A|2必为1 B.∣A∣必为1C.A-1=Aτ D.A的行（列）向量组是正交单位向量组.下列矩阵中是正定矩阵的为（C）(234)6)(10 0]02-310-35)、填空题(每题4分,共20分)a3aaa11121.若1112=1,则a3aaa212221220611120J02)00=3（1.设A为三阶可逆阵，A-1=2300[则A*=—(100)21021)321kɔNɪ) .若A为mXn矩阵，则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R（A）＜n(0106、4.设矩阵A=1V-2108J（2A已知&=-1是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为ɔV2J1.5,若α=Gk1>与β=G-21>正交，则k=1三、计算题（每题15分，共45分）1∙设矩阵A=(12V-12O］，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.3j解AB=A+2B即(A-2E)B=A，而(A-2E)(2I-；3]-1(1V-1-4-3、I5IJ所以(1B=(A-2E)-1A=1V-1-4-5

6-3](411V-12IJ1J212OJ(3-8-6]2-9-6V-2129J2.试判断ɑ解一(-12

0给定向量组α(-2、(1](3](0)1-30-1=，αC=，αr=，ɑ=10，22，32，44V3jV4JV-LV9J⅛B若是，4是否为αι,\o"CurrentDocument"1 3 0 ]-3 0 -12 2 44 -1 9Jα2,α3的线性组合;(0一53-2]一1-30-10112V013-112J则求出组合系数。(10 3›01 1(1035]>0011V00-14-14JV0000J5、28(1002]>0101

0011V0000J解二所以&4=2\+%+&3，组合系数为(2,考虑α4=x1α1+x2α2+x3ɑ3，1,1).即—2X[+XG+3xɔ=01 2 3χ1—3x2=-12x2+2x3=43x1+4x°—XQ=9.、 1 2 3方程组有唯一解（2,1,1）T，组合系数为（2,1,1）.(1—2—10213.设矩阵A=-2[24—1326—6023334)求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。解对矩阵A施行初等行变换A >(1—2—102）0006—20328—2k0963—2) V(1 —2 —1 0 2)0 3 2 8 —30 0 0 6 —2、0 0 0 —21 7) V(1 —2 —1 0 2)0 3 2 8 —3=B0 0 0 3 —1、00 000)>>（1）秩（B）=3,所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）四、证明题（15分）\o"CurrentDocument"a a11 12设三阶矩阵A= a