山东省2015年春季高考数学真题含解析

Page15山东省2015年春季高考数学真题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题20个小题，每题3分，共60分．在每题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母选出，填涂在答题卡上）1.假设集合，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据交集的定义求解即可.【详解】，，.故选：B.2.的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】应用公式法解绝对值不等式，即可求解集.【详解】由得：，解得.∴解集为.故选：B3.函数的定义域为（）A.且 B.C.且 D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.【详解】由函数解析式有意义可得且所以函数的定义域是且，故选：A.4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（）A.充分没必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由直线与圆相切等价条件，易判断【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”“直线与圆相切”，因此充分性成立；“直线与圆相切”“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件故选：C5.在等比数列中，，，则等于（）A. B.5 C. D.9【答案】D【解析】【分析】由等比数列的项求公比，进而求即可.【详解】由题设，，∴．故选：D6.如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量的线性运算，可得解【详解】由题意，．故选：B7.终边在轴的正半轴上的角的集合是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解【详解】终边在轴正半轴上的角的集合是故选：A8.关于函数，以下表达错误的选项是（）A.函数的最大值是1 B.函数图象的对称轴是直线C.函数的单调递减区间是 D.函数图象过点【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可.【详解】，最大值是1，A正确；对称轴是直线，B正确；单调递减区间是，故C错误；令的，故在函数图象上，故D正确，故选：C9.某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（）A.10 B.20 C.60 D.100【答案】A【解析】【分析】根据组合的定义计算即可.【详解】从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方式．（选取3人后剩下2名同窗干的活就定了）

故选：A10.如下图，直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线与轴交点为求解.【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率，所以直线与轴的交点为，所以直线的点斜式方程可得：，即．故选：D11.关于命题，，假设“为假命题”，且为真命题，那么（）A.，都是真命题 B.，都是假命题C.，一个是真命题一个是假命题 D.无法判定【答案】C【解析】【分析】根据逻辑联合词“或”，“且”连接的命题的真假性，容易判断出，的真假性.【详解】由是假命题可知，至少有一个假命题，由是真命题可知，至少有一个真命题，∴，一个是真命题一个是假命题.故选：C12.已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的性质即可求解.【详解】函数奇函数，当时，，.故选：A.13.已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据在函数的图象上代入可得，再利用向量的模长公式求解即可.【详解】∵点在函数的图象上，∴，，∴点坐标为，，．故选：D14.关于，的方程，给出以下命题；①当时，方程表示双曲线；②当时，方程表示抛物线；③当时，方程表示椭圆；④当时，方程表示等轴双曲线；⑤当时，方程表示椭圆．其中，真命题的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根据曲线方程，讨论m的取值确定对应曲线的类别即可.【详解】当时，方程表示双曲线；当时，方程表示两条垂直于轴的直线；当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程表示圆；当时，方程表示焦点在轴上的椭圆．∴①③⑤正确.故答案为：B15.的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）A.0 B. C. D.32【答案】D【解析】【分析】根据的二项展开式系数之和为求解即可【详解】的二项展开式中所有项的二项式系数之和为故选：D16.不等式组表示的区域（阴影部分）是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】用特殊点进行验证和边界的虚实线进行排除可得答案.【详解】将点代入不成立，则点不在不等式所表示的平面区域内，将点代入不成立，则点不在不等式所表示的平面区域内，所以表示的平面区域不包括原点，排除AC；不包括边界，用虚线表示，包括边界，用实线表示，故选：D.17.甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】应用古典概型的概率求法，求甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率即可.【详解】甲、乙两位同窗选取景点的种数为，其中甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的种数为2，∴甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率为．故选：D18.已知向量，，那么等于（）A. B. C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.【详解】，，.故选：A.19.已知，表示平面，，表示直线，以下命题中正确的选项是（）A.假设，，那么B.假设，，，那么C.假设，，那么D.假设，，，，那么【答案】C【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理，可判断A；根据面面平行的性质定理，可判断B、C；根据面面平行的判定定理，可判定D【详解】选项A：假设，，那么或在内，故选项A错误；选项B：假设，，，那么或与异面，故选项B错误；选项D：假设，，，，且、相交才能判定，故选项C错误；选项C：依照两平面平行的性质可知C正确．故选：C20.已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】易得的坐标为，设点坐标为，求得，由可得，然后由a，b，c的关系求得，最后求得离心率即可.【详解】的坐标为，设点坐标为，易得，解得，因为直线与轴垂直，且，所以可得，则，即，所以，离心率为．故选：A.第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5个题，每题4分，共20分，请将答案填在答题卡上相应题号的横线上）21.直棱柱的底面是边长为的菱形，侧棱长为，那么直棱柱的侧面积是______．【答案】【解析】【分析】直棱柱的四个侧面都是长为，宽为的矩形，依此计算侧面积即可.【详解】直棱柱的四个侧面都是长为，宽为的矩形，该直棱柱的侧面积为四个矩形面积之和，所以直棱柱侧面积是.故答案为：.22.在△中，，，，等于______．【答案】【解析】【分析】由和角正弦公式求函数值，再应用正弦定理求即可.【详解】，由正弦定理可知，，∴.故答案为：23.打算从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采纳系统抽样方式，为此将他们一一编号为1~500，并对编号进行分段，假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第五个号码段中抽出的号码应是______．【答案】42【解析】【分析】由题设，根据等距抽样的特点确定第五个号码段中抽出的号码即可.【详解】从500名学生中抽取50名，那么每两相邻号码之间的距离是10，第一个号码是2，那么第五个号码段中抽取的号码应是.故答案为：4224.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【解析】【分析】由于是圆，可得，通过圆心和半径计算，即得解【详解】由于是圆，即：圆其中圆心为，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即，，，那么短轴长为故答案为：25.集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：（1），；；（2）；（3）．计算____________________________________．【答案】或【解析】【分析】由题设条件求，，，，，的大小关系，再根据集合运算新定义求即可.【详解】，得；，得；∴，；同理，∴．由(1)(3)可得．∴，，．或．故答案为：或三、解答题（本大题共5个小题，共40分，请在答题卡相应的题号处写出解答进程）26.某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，而且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员．【答案】18【解析】【分析】根据已知条件，利用等差数列的前n项和公式求第一排的演员数量即可.【详解】由题意，各排人数组成等差数列，设第一排人数是，公差，前5项和，由知：，解得．∴第一排应安排18名演员.27.已知函数，，，函数的部分图象如下图，求（1）函数的最小正周期及的值：（2）函数的单调递增区间．【答案】（1）最小正周期；；（2），．【解析】【分析】（1）根据解析式可直接求出最小正周期，代入点可求出；（2）令可解出单调递增区间.【详解】（1）函数的最小正周期，因为函数的图象过点，因此，即，又因为，因此．（2）因为函数的单调递增区间是，．因此，解得，因此函数的单调递增区间是，28.已知函数（且）在区间上的最大值是16，（1）求实数的值；（2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）当时，由函数在区间上是减函数求解；，当时，函数在区间上是增函数求解；（2）根据的定义域是，由恒成立求解．【详解】（1）当时，函数在区间上是减函数，因此当时，函数取得最大值16，即，因此．当时，函数在区间上是增函数，当时，函数取得最大值16，即，因此．（2）因为的定义域是，即恒成立．则方程的判别式，即，解得，又因为或，因此．代入不等式得，即，解得，因此实数的取值范围是．29.如下图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，，．（1）求与所成角的余弦值；（2）求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】(1)由题意可得即为SA与BC所成的角，根据余弦定理计算即可；

(2)结合面面垂直的性质和线面垂直的性质即可证明.【详解】【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质【解】（1）因为，因此即为与所成的角，在中，，又在正方形中，因此，因此与所成角余弦值是．（2）因为平面平面，平面平面，在正方形中，，因此平面，又因平面，因此．30.已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是．（1）求抛物线的标准方程；（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，结合到焦点、轴的距离求，写出抛物线方程.（2）直线的斜率不存在易得与不垂直与题设矛盾，设直线方程联立抛物线方程，应用韦达定理求，，进