上海市松江区2023届高考数学一模试题

高三数学第届上海市松江区高考一模数学试题（满分150分，完卷时间120分钟）考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分．2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号．3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位．一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，第12题第一个空格2分，第二个空格3分．1．已知集合，则=▲．2．函数的最小正周期为▲．3．已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则▲．4．记为等差数列的前项和．若，则公差▲．5．已知函数为奇函数，则实数▲．6．已知圆锥的母线长为,侧面积为,则此圆锥的体积为▲（结果中保留）．7．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为▲．8．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为▲．9．已知集合，设函数的值域为，若，则实数的取值范围为▲．10．已知、是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，线段的延长线交于点，是坐标原点．若，则双曲线的渐近线方程为▲．11．动点在棱长为1的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为▲．12．已知数列的各项都是正数，.若数列为严格增数列，则首项的取值范围是______；当时，记，若，则整数▲．二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分．13．下面四个条件中，使成立的充要条件为（） (A)(B)(C)(D)14．函数图像可能为（）(A)(B)(C) (D)15．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）(A) (B) (C) (D)16．已知函数．若函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为（）(A) (B) (C)(D)三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知平面，．(1)求证：平面平面；(2)若，求直线与平面所成的角的大小．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在三角形中，内角、、所对边分别为、、，已知．（1）求角的大小；（2）若，三角形的面积为，求三角形的周长．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上、桥与平行，为铅垂线(在上)．经测量，山谷左侧的轮廓曲线上任一点到的距离(米)与到的距离(米)之间满足关系式；山谷右侧的轮廓曲线上任一点到的距离(米)与到的距离(米)之间满足关系式．已知点到的距离为40米．（1）求谷底到桥面的距离和桥的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中在上(不包括端点)．桥墩每米造价为(万元)、桥墩每米造价为(万元)()．问为多少米时，桥墩与的总造价最低?20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆（）的长轴长为，离心率为．直线与椭圆有两个不同的交点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值；（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．若点、和点三点共线，求直线的斜率值．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知定义在上的函数(是自然对数的底数)，记的导函数为，满足，且．删除无穷数列，，，，，中的第项，第项，，第项，（），余下的项按原来顺序组成一个新数列．记数列前项和为.（1）求函数的解析式；（2）已知数列的通项公式是，求函数的解析式；（3）设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意，都有，则称为集合的一个“阈度”．记集合，试问集合存在“阈度”吗？若存在，求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，试说明理由．第8页（共9页）松江区高三数学一模试卷参考答案一、填空题1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．8．；9．；10．；11．；12．①.（0，2）②.二、选择题13．B14．C15．A16．A三.解答题17．解：（1）∵AB⊥面BCD，

由三垂线定理得：

，…2分又∵BC⊥CD且AB∩BC＝B，平面，∴CD⊥面ABC，…2分∵平面ACD,∴平面ACD⊥平面ABC．……………2分（2）∵DC⊥面ABC，∴∠CAD即为直线AD与平面ABC所成的角，………2分∵BC＝CD＝，∠BCD＝90°，∴BD＝，又AB＝1，∴AD＝3，∴在中，.…3分即直线AD与平面ABC所成角的大小为．…2分注：用空间向量求解，请相应给分.18．解：（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，……2分可得．……2分又因为，可得．……2分（2）因为的面积为，所以，解得，……2分所以．由余弦定理，可得，解得．……4分所以的周长为……2分19．解：（1）由题意得：……2分……2分米……2分所以，谷底到桥面的距离为160米，桥的长度为120米。（2）设总造价为万元，，设，……4分(0舍去)当时，；当时，，因此当时，取最小值.……4分答：当米时，桥墩CD与EF的总造价最低.20.解：（1）由题意得，所以……1分又因为，所以，所以，……2分所以椭圆的标准方程为．……1分（2）由题意得关于直线：的对称点，……2分代入椭圆方程，得：，化简得：，所以或……2分当时，与点M重合，舍。所以。……2分（3）设，，，，则①，②，又，所以可设，直线的方程为，由消去可得，……2分则，即，又，代入①式可得，所以，所以，同理可得．……4分故，，因为，，三点共线，所以，将点，的坐标代入化简可得，即直线的斜率值为2．……2分21.解：（1）由得=恒成立，所以．…2分又由得b=1，所以．…………2分（2）数列的奇数项依次够成以为首项，以为公比的等比数列，偶数项依次够成以为首项，以为公比的等比数列．…………2分所以.……………………2分所以.所以.…………………2分（3）令．当n为偶数时，,…