数字图像处理-傅立叶变换

图像变换的作用傅立叶变换离散傅立叶变换傅立叶变换的性质二维傅立叶变换图像变换

一.图像变换的作用

图像变换的定义是将图像从空域变换到其它域（如频域）的数学变换

图像变换的作用我们人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面。

1.方便处理

2.便于抽取特性常用的变换傅立叶变换FourierTransform2.离散余弦变换DiscreteCosineTransform3.沃尔什－哈达玛变换Walsh-HadamardTransform二.傅立叶变换

傅立叶变换的作用（1）可以得出信号在各个频率点上的强度。（2）可以将卷积运算化为乘积运算。（3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复和重构的重要手段。（4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两个不同的角度来看待图像的问题，有时在空间域无法解决的问题在频域却是显而易见的。

傅立叶变换的定义傅立叶变换若f(x)为一维连续实函数，则它的傅里叶变换可定义为：傅立叶逆变换定义如下：

函数f(x)和F(u)被称为傅立叶变换对。即对于任一函数f(x)，其傅立叶变换F(u)是惟一的；反之，对于任一函数F(u)，其傅立叶逆变换f(x)也是惟一的。傅里叶变换的条件

傅里叶变换在数学上的定义是严密的，它需要满足如下狄利克莱条件：(1)具有有限个间断点；

(2)具有有限个极值点；

(3)绝对可积;F(u)可以表示为如下形式：|F(u)|称为F(u)的模，也称为函数f(x)的傅立叶谱，称为F(u)的相角。称为函数f(x)的能量谱或功率谱。高斯函数的定义为：例1高斯函数的傅立叶变换根据傅立叶变换的定义可得：令x+ju=t，上式可以化为：结论:与即，高斯函数的傅立叶变换依然是高斯函数为傅立叶变换函数对。例2.矩形函数

矩形函数形式如下:

根据傅立叶变换的定义，其傅立叶变换如下：可得矩形函数f(x)的傅立叶频谱为：几何图形如下页图(b)所示线性系统与傅立叶变换傅立叶变换在图像滤波中的应用首先，我们来看Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。因此，我们可以在Fourier变换图中，选择所需要的高频或是低频滤波。傅立叶变换在卷积中的应用直接进行时域中的卷积运算是很复杂的。傅立叶变换将时域的卷积变换为频域的乘积。三.离散傅立叶变换

离散傅立叶变换的定义

要在数字图像处理中应用傅立叶变换，还需要解决两个问题：一是在数学中进行傅立叶变换的f(x)为连续（模拟）信号，而计算机处理的是数字信号（图像数据）；二是数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常，将受这种限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT)。

离散傅立叶变换

离散傅立叶变换的定义离散傅立叶正变换:离散傅立叶逆变换:四.傅立叶变换的性质加法定理位移定理相似性定理卷积定理能量保持定理

加法定理

位移定理

相似性定理结论：一个“窄”的函数有一个“宽”的频谱

旋转不变性

由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转θ角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。离散傅立叶变换的旋转不变性如图所示。(a)(b)(d)(c)图离散傅立叶变换的旋转不变性（a）原始图像；（b）原始图像的傅立叶频谱；（c）旋转45°后的图像；（d）图像旋转后的傅立叶频谱

卷积定理能量保持定理五.二维傅立叶变换1.二维连续函数傅立叶变换的定义二维傅立叶正变换:二维傅立叶逆变换:2.二维离散函数傅立叶变换的定义

根据一维离散傅立叶变换的定义和二维连续傅立叶变换理论，对于一个