2022-2023学年江苏省镇江市丹阳市高一年级下册学期5月质量检测数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省镇江市丹阳市高一下学期5月质量检测数学试题一、单选题1．已知为虚数单位，若，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，由复数的运算即可得到，再求出其模长即可得到结果.【详解】因为，则，所以.故选：B2．已知，，，若，则（

）A．1 B．5 C．8 D．11【答案】D【分析】首先求出，的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为，，，所以，，因为，所以，解得.故选：D3．若向量，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出、，再根据投影向量的定义计算可得.【详解】因为，，所以，，所以在上的投影向量为.故选：C4．魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正4576边形，求出圆周率约为，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破.若已知的近似值还可以表示成，则的值为（

）A． B． C．8 D．【答案】C【分析】将的近似值代入，利用倍角公式和诱导公式进行化简即可.【详解】的近似值还可以表示成，，故选：C.5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（

）A．若平面，，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】D【分析】由面面垂直的判定定理可判断A、B；线面垂直的性质定理可判断C；由面面平行的判定定理可判断D.【详解】对于A，因为平面，，所以平面，又因为，所以，故A正确；对于B，若，，则，又因为，所以，故B正确；对于C，若，，则，故C正确；对于D，若，，则可能与相交，故D错误.故选：D.6．已知中，角，，的对边分别为，，，的面积为，，，，则（

）A．或 B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，由三角形的面积公式即可得到角，再由正弦定理即可得到结果.【详解】因为，所以，即，且，所以，又，，由正弦定理可得，，因为，为锐角，所以.故选：B7．在长方体中，已知，，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用线面垂直以及线线平行可得为直线与平面所成角的线面角，又三角形边角关系即可求解，或者建立空间直角坐标系，利用线面角公式即可求解．【详解】方法一：连接相交于，取中点，中点为,连接，则,,由于底面，平面，所以,又,平面，所以平面，所以平面,因此为直线与平面所成角，,,所以,则,

方法二：建立如图空间直角坐标系，则,2,,,2,,,0,，,2,，,0,，

由于所以平面的法向量为,2,，设直线与平面所成角为，则，则直线与平面所成角的余弦值为．故选：B．8．在三角形中，，，，若点满足，则（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件结合平面向量数量积的线性运算求解即可.【详解】，，因为，，，所以.故选：D.

二、多选题9．关于复数的命题正确的有（

）A．若复数，则B．若复数为纯虚数，则C．若，则的最小值为1D．若，则【答案】AC【分析】根据复数的分类即可判断AB,根据复数模长的计算，结合三角函数的性质即可判断C，根据模长公式即可判断D.【详解】由复数定义可知，若复数，则，，A正确；若复数为纯虚数，则，则，B错误；设，的几何意义是的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，令，，则，即的最小值为1，C正确；若，但不一定成立，比如，则，，D错误．故选：AC．10．下列关于平面向量的说法中，正确的是（

）A．对于任意向量、，有恒成立B．若平面向量，满足，则的最大值是5C．若向量，为单位向量，，则向量与向量的夹角为D．若非零向量，满足，且，不共线，则【答案】ABD【分析】由平面向量的线性运算的几何性质可判断A，根据模长的计算公式即可判断B，数由夹角公式即可利用模长求解C，根据共线的性质即可判断D.【详解】对于A，由向量减法的三角形法则及三角形两边之差小于第三边知恒成立，故A正确；对于B，，，故B正确；对于C，向量，为单位向量，，，，，对于D，，不共线，当时，由，则，此时与，不共线矛盾，若时，此，也与，不共线矛盾，故，故D正确．故选：ABD．11．已知，，其中，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据三角函数相关知识进行等量代换即可求得答案.【详解】，∴，∴A正确；∴，∴B错误；，，∴，∴∴D正确；∴C正确.故选:ACD.12．如图，在正方体中，，分别为线段，的中点，在棱上.则下列命题正确的是（

）

A．直线直线B．直线平面C．直线平面D．设直线与直线所成的角为，则【答案】BCD【分析】根据题意作出辅助线结合线面垂直及平行的判定定理证明A、B、C，取的中点，连接、、，则即为直线与直线所成的角，再由锐角三角函数计算即可判断D.【详解】对于A：连接交于点，连接、，根据正方体的性质可得为的中点，又为的中点，所以，设正方体的棱长为，所以，，，所以，显然，故直线与直线不垂直，故A错误；

对于B：由正方体的性质可得，平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以，同理可证，，平面，所以直线平面，故B正确；

对于C：连接，交于点，连接，由正方体的性质且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，故C正确；

对于D：取的中点，连接、、，因为，，所以，则即为直线与直线所成的角，即，设正方体的棱长为，，则，则，，所以，因为，所以，，即，，，，即，故D正确.

故选：BCD三、填空题13．若复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据复数除法的运算性质，结合复数在复平面内对应的点的特征进行求解即可.【详解】因为复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于第三象限，所以有，故答案为：14．中国古典神话故事《白蛇传》中“水漫金山寺”中的金山寺位于镇江金山公园内，唐宋时期，寺里有南北相向的两座宝塔，一名荐慈塔，一名荐寿塔，后双塔毁于火，明代重建该塔，当年值逢慈禧60大寿，地方官员以此塔作为贺礼进贡，故取名慈寿塔.某校高一研究性学习小组为了实地测量该塔的高度，选取与塔底中心在同一个水平面内的两个测量基点与，在点测得：塔顶的仰角为，在的北偏东处，在的正东方向41米处，且在点测得与的张角为，则慈寿塔的高度约为米（四舍五入，保留整数）.

【答案】【分析】在中利用正弦定理求出，依题意为等腰直角三角形，即可得到.【详解】由题意可得在中，，，米，所以，在中利用正弦定理可得，所有，因为，所以为等腰直角三角形，所以米．故答案为：．四、双空题15．在边长为2的正方体中，是的中点，那么过点、、的截面图形为（在“三角形、矩形、正方形、菱形”中选择一个）；截面图形的面积为.【答案】菱形【分析】利用直线与直线的平行关系确定截面；再利用菱形的面积公式求截面面积.【详解】

如图，取的中点为，连接,因为且,所以四边形为菱形，所以过点、、的截面图形为菱形；连接,则,所以截面图形的面积为，故答案为:菱形；.五、填空题16．已知，，，则的值为.【答案】【分析】先对已知条件变形，从而得到关于的方程，解出，从而求得.【详解】因为，，，所以，解得，又因为，所以，所以.故答案为：.六、解答题17．已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)若，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）依题意可得，再由诱导公式及二倍角公式计算可得.【详解】（1）因为，由，，解得，，故的单调递增区间为，.（2）因为，所以，所以，所以.18．已知，，其中，均为锐角.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出，即可求出，再由二倍角正切公式计算可得；（2）根据同角三角函数的基本关系求出，，再根据利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】（1）因为且为锐角，所以，所以，所以.（2）因为、均为锐角，所以，又，所以，又且，解得，（负值舍去），所以.19．如图，和都垂直于平面，且，是的中点

(1)证明：直线//平面；(2)若平面平面，证明：直线平面.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）取中点，连接，由中位线定理可得，，进而可得为平行四边形，由线面平行的判定定理，即可证明；（2）过作于，利用面面垂直的性质可得，结合垂直于平面即可证明．【详解】（1）证明：取中点，连接，，因为为的中点，所以，，因为，均垂直面，所以，因为，所以且，所以为平行四边形，所以，面，面，所以面．（2）如图，过作于，平面平面，且两平面的交线为,平面,平面，由平面，．平面，平面，，又平面，平面．.

20．条件①；②；③（其中为的外接圆半径）.在这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足__________.(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值.（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个计分）【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，可求，进而可得的值；若选②，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合，可求的值；若选③，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合，可求的值．（2）由题意利用余弦定理以及基本不等式可求的最大值，进而利用三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）若选①，因为，由正弦定理可得，因为，可得，可得，又为三角形内角，，所以，可得，因为，可得，所以，可得；若选②，因为，由正弦定理可得，可得，又为三角形内角，，可得，因为，所以；若选③，因为（其中为的外接圆半径），又由正弦定理可得，所以，可得，又为三角形内角，，所以，因为，所以．（2）因为，，所以余弦定理可得，可得，当且仅当时取等号，所以的面积，当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为．21．如图，在正方形中，，分别是，的中点，为的中点，若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为.

(1)在四面体中，请写出不少于3对两两垂直的平面，并证明其中的一对；(2)若正方形的边长为4，求点到平面的距离.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）依题意可得，，，根据面面垂直的判定定理证明即可；（2）根据，利用等体积法计算可得.【详解】（1）依题意可得平面平面，平面平面，平面平面．证明如下：在折前正方形中，，，折成四面体后，，，又，平面，平面．平面，平面，平面平面；因为平面，平面平面；又令正方体的边长为，则，，所以，所以，，平面，所以，因为平面，所以平面平面.

（2）若正方形的边长为，则，，，所以，由（1）可知平面，所以，设点到平面的距离为，又，所以，即，解得．22．已