5.7++三角函数的应用+讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角函数的应用教学目标了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，掌握解决实际问题的方法【知识点框架】一、函数中，的物理意义（1）简谐运动的振幅是.（2）简谐运动的周期T=.（3）简谐运动的频率.（4）称为相位.x=0时的相位称为初相.二、运用三角函数模型解决问题的几种类型（1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式,例如:,然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中需要结合函数性质.（2）由图象研究函数性质：观察分析函数图象，求单调性、奇偶性、对称性、周期性.（3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题.思考：函数的振幅、周期、初相分别是多少?【例题练习】题型一：中参数的物理意义例1.已知函数.(1)用五点法作出它的简图；(2)填空回答问题：①振幅是.②周期是.③频率是.④相位是.⑤初相是.⑥定义域是.⑦值域是.⑧当x=时，ymax=；当x=时，ymin=.⑨单调递增区间是，单调递减区间是.⑩当x∈时,y＞0；x∈时,y＜0；x∈时,y＝0;⑪图象的对称轴方程为.⑫图象的对称中心坐标是.总结：利用图象求函数的解析式的基本步骤:（1）求；（2）求ω：根据图象得出最小正周期T，可得出；（3）求初相：将对称中心点、最高点或最低点的坐标代入函数解析式可求出的值.练习：1.已知函数，如果表示一个振动量，指出其最小正周期，频率及初相.2.函数的部分图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是()A.B.C.D.3.振动量的初相和频率分别是-π和,则它的相位是.题型二：三角函数在物理中的应用例2.已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为.用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少?(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少?(3)经过多长时间小球往复振动一次?总结：处理物理学问题的策略：(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性.(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.练习：1.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为.(1)作出函数的图象；(2)当单摆开始摆动(t=0)时，离开平衡位置的距离是多少?(3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少?(4)单摆来回摆动一次需多长时间?题型三：三角函数的实际应用例3.已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据.t/时03691215182124y/m1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y=f(t)可近似地看成是函数.(1)根据上表数据,求函数的最小正周期T、振幅A及函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度等于或高于1m时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内8时至20时之间，有多长时间可供冲浪爱好者进行运动.总结：(1)解三角函数应用问题的基本步骤：得出结论得出结论解答函数模型建立函数模型审清题意利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、生活常识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型将所得结论翻译成实际问题的答案读懂题目中的“文字”“图象”“符号”审清题意等语言，理解所反映的实际问题的背景，得出相应的数学问题（2）在日常生活中呈周期变化的现象，可利用三角函数模型描述其变化规律，并结合各参数的实际意义解决相关问题.练习：1.已知某地一天从4—16时的温度y(单位：℃)随时间x(单位：h)的变化曲线近似满足函数(1)求该地区这一段时间内的最大温差；(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间?【课后巩固】1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙点的位置将处于图中的()A.甲

B.乙C.丙

D.丁2.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是,则电流I变化的周期是()A.B.50C.D.1003.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角与时间t(s)满足函数关系式,则当t=0时角的大小及单摆的频率是()A.B.C.D.4.如图，某港口一天6时到18时的水深y(单位：m)随时间x(单位：时)的变化曲线近似满足函数,据此函数可知，这段时间水深的最大值为()A.5

B.6C.8

D.105.一根长cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为,其中g是