人教版高一数学必修一各章节同步练习(含答案)

第一章1.11.1.1集合的含义与表示基础巩固一、选择题1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是()A．② B．③C．②③ D．①②③[答案]C[解析]高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C.2．已知集合A＝{x|x≤10}，a＝eq\r(2)＋eq\r(3)，则a与集合A的关系是()A．a∈A B．a∉AC．a＝A D．{a}∈A[答案]A[解析]由于eq\r(2)＋eq\r(3)＜10，所以a∈A.3．(2015·山东临沂检测)集合{x∈N*|x－2＜3}的另一种表示形式是()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}[答案]B[解析]由x－2＜3，得x＜5，又x∈N*，所以x＝1,2,3,4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}．4．方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝2,2x－3y＝27))的解集是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－7))B．{x，y|x＝3且y＝－7}C．{3，－7}D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}[答案]D[解析]解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝2,2x－3y＝27))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－7))，用描述法表示为{(x，y)|x＝3且y＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D.5．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形[答案]D[解析]由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，故选D.6．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数mA．2 B．3C．0或3 D．0或2或3[答案]B[解析]因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m二、填空题7．用符号∈与∉填空：(1)0________N*；eq\r(3)________Z；0________N；(－1)0________N*；eq\r(3)＋2________Q；eq\f(4,3)________Q.(2)3________{2,3}；3________{(2,3)}；(2,3)________{(2,3)}；(3,2)________{(2,3)}．(3)若a2＝3，则a________R，若a2＝－1，则a________R.[答案](1)∉∉∈∈∉∈(2)∈∉∈∉(3)∈∉[解析](1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{(2,3)}的元素；同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的数是±eq\r(3)，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．8．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，则b－a＝________.[答案]2[解析]显然a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1，b－a＝2.三、解答题9．已知集合A含有a－2,2a2＋5a,12三个元素，且－3∈A，求[解析]∵－3∈A，则－3＝a－2或－3＝2a2＋5∴a＝－1或a＝－eq\f(3,2).当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，∴当a＝－eq\f(3,2)时，经检验，符合题意．故a＝－eq\f(3,2).[注意](1)分类讨论意识的建立．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识，如本例按照元素－3与a－2,2a2＋5a(2)注意集合中元素的互异性．求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求，如本例在求出a的值后，需代入验证是否满足集合中元素的互异性．10．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．(1)若A是单元素集合，求集合A；(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．[分析]将求集合中元素问题转化为方程根问题．(1)集合A为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程ax2－3x＋2＝0可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．[解析](1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝{eq\f(2,3)}，符合题意；当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，则Δ＝9－8a＝0，解得a＝eq\f(9,8)，此时A＝{eq\f(4,3)}，符合题意．综上所述，当a＝0时，A＝{eq\f(2,3)}，当a＝eq\f(9,8)时，A＝{eq\f(4,3)}．(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{eq\f(2,3)}符合题意；当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，则Δ＝9－8a≥0，解得a≤eq\f(9,8)且a≠0.综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤eq\f(9,8).[点评]“a＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是“a＝0”，即它是一元一次方程；二是“a≠0”，即它是一元二次方程，只有在这种情况下，才能用判别式“Δ”来解决．能力提升一、选择题1．(2015·河北衡水中学期末)下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}[答案]B[解析]{x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.2．下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．能表示方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0，,x－y＋3＝0))的解集的是()A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤C．②⑤ D．②⑤⑥[答案]C[解析]方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0，,x－y＋3＝0))的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2.))故选C.3．已知x，y，z为非零实数，代数式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)＋eq\f(z,|z|)＋eq\f(|xyz|,xyz)的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．0∉M B．2∈MC．－4∉M D．4∈M[答案]D[解析]当x＞0，y＞0，z＞0时，代数式的值为4，所以4∈M，故选D.4．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为()A．3 B．4C．5 D．6[答案]B[解析]当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素．二、填空题5．已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是________．[答案]{k|5＜k≤6}[解析]x只能取3,4,5，故5＜k≤6.6．(2015·湖南郴州模拟)用列举法写出集合{eq\f(3,3－x)∈Z|x∈Z}＝________.[答案]{－3，－1,1,3}[解析]∵eq\f(3,3－x)∈Z，x∈Z，∴3－x为3的因数．∴3－x＝±1，或3－x＝±3.∴eq\f(3,3－x)＝±3，或eq\f(3,3－x)＝±1.∴－3，－1,1,3满足题意．三、解答题7．数集A满足条件：若a∈A，则eq\f(1＋a,1－a)∈A(a≠1)．若eq\f(1,3)∈A，求集合中的其他元素．[分析]已知a∈A，eq\f(1＋a,1－a)∈A，将a＝eq\f(1,3)代入eq\f(1＋a,1－a)即可求得集合中的另一个元素，依次，可得集合中的其他元素．[解析]∵eq\f(1,3)∈A，∴eq\f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3))＝2∈A，∴eq\f(1＋2,1－2)＝－3∈A，∴eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2)∈A，∴eq\f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)∈A.故当eq\f(1,3)∈A时，集合中的其他元素为2，－3，－eq\f(1,2).8．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”．(1)判断集合A＝{－1,1,2}是否为可倒数集；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．[解析](1)由于2的倒数为eq\f(1,2)不在集合A中，故集合A不是可倒数集．(2)若a∈A，则必有eq\f(1,a)∈A，现已知集合A中含有3个元素，故必有一个元素有a＝eq\f(1,a)，即a＝±1，故可以取集合A＝{1,2，eq\f(1,2)}或{－1,2，eq\f(1,2)}或{1,3，eq\f(1,3)}等．第一章1.11.1.2集合间的基本关系基础巩固一、选择题1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是()A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A[答案]C[解析]“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.2．下列命题中，正确的有()①空集是任何集合的真子集；②若AB，BC，则AC；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B.A．①② B．②③C．②④ D．③④[答案]C[解析]①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性；故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确，故选C.3．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则()A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D[答案]B[解析]∵正方形必为矩形，∴C⊆B.4．下列四个集合中，是空集的是()A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}[答案]B[解析]选项A、C、D都含有元素．而选项B无元素，故选B.5．若集合A⊆{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有()A．3个 B．4个C．5个 D．6个[答案]D[解析]集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．6．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若AB，则实数a的取值范围为()A．a≥2 B．a≤1C．a≥1 D．a≤2[答案]A[解析]在数轴上表示出两个集合(图略)，因为AB，所以a≥2.二、填空题7．用适当的符号填空：(1){x|x是菱形}________{x|x是平行四边形}；{x|x是三角形}________{x|x是斜三角形}．(2)Z________{x∈R|x2＋2＝0}；0________{0}；Ø________{0}；N________{0}．[答案](1)(2)∈[解析](1)判断两个集合之间的关系，可以根据子集的定义来加以判断，特别要注意判断出包含关系后，还要进一步判断是否具有真包含关系．(2)集合{x∈R|x2＋2＝0}中，由于实数范围内该方程无解，因此{x∈R|x2＋2＝0}＝Ø；0是集合{0}中的元素，它们之间是属于关系；{0}是含有一个元素0的集合；Ø是不含任何元素的集合，故Ø{0}；自然数集N中含有元素0，但不止0这一个元素．8．(2012·大纲全国改编)已知集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B⊆A，则m＝________.[答案]0或2或－1[解析]由B⊆A得m∈A，所以m＝m3或m＝2，所以m＝2或m＝－1或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互异性知m≠1.所以m＝0或2或－1.三、解答题9．判断下列集合间的关系：(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．[解析](1)∵A＝{x|x－3＞2}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－5≥0}＝{x|x≥eq\f(5,2)}，∴利用数轴判断A、B的关系．如图所示，AB.(2)∵A＝{x∈Z|－1≤x<3}＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x＝|y|，y∈A，∴B＝{0,1,2}，∴BA.10．已知集合M＝{x|x＝m＋eq\f(1,6)，m∈Z}，N＝{x|x＝eq\f(n,2)－eq\f(1,3)，n∈Z}，P＝{x|x＝eq\f(p,2)＋eq\f(1,6)，p∈Z}，试确定M，N，P之间的关系．[解析]解法一：集合M＝{x|x＝m＋eq\f(1,6)，m∈Z}，对于集合N，当n是偶数时，设n＝2t(t∈Z)，则N＝{x|x＝t－eq\f(1,3)，t∈Z}；当n是奇数时，设n＝2t＋1(t∈Z)，则N＝{x|x＝eq\f(2t＋1,2)－eq\f(1,3)，t∈Z}＝{x|x＝t＋eq\f(1,6)，t∈Z}．观察集合M，N可知MN.对于集合P，当p是偶数时，设p＝2s(s∈Z)，则P＝{x|x＝s＋eq\f(1,6)，s∈Z}，当p是奇数时，设p＝2s－1(s∈Z)，则P＝{x|x＝eq\f(2s－1,2)＋eq\f(1,6)，s∈Z}＝{x|x＝s－eq\f(1,3)，s∈Z}．观察集合N，P知N＝P.综上可得：MN＝P.解法二：∵M＝{x|x＝m＋eq\f(1,6)，m∈Z}＝{x|x＝eq\f(6m＋1,6)，m∈Z}＝{x|x＝eq\f(3×2m＋1,6)，m∈Z}，N＝{x|x＝eq\f(n,2)－eq\f(1,3)，n∈Z}＝{x|x＝eq\f(3n－2,6)，n∈Z}＝{x|x＝eq\f(3n－1＋1,6)，n－1∈Z}，P＝{x|x＝eq\f(p,2)＋eq\f(1,6)，p∈Z}＝{x|x＝eq\f(3p＋1,6)，p∈Z}，比较3×2m＋1,3(n－1)＋1与3p＋1可知，3(n－1)＋1与3p∴N＝P,3×2m＋1只相当于3p＋1中当p∴MP＝N.综上可知MP＝N.能力提升一、选择题1．(2015·瓮安一中高一期末试题)设集合M＝{x|x＝eq\f(k,2)＋eq\f(1,4)，k∈Z}，N＝{x|x＝eq\f(k,4)＋eq\f(1,2)，k∈Z}，则()A．M＝N B．MNC．MN D．M与N的关系不确定[答案]B[解析]解法1：用列举法，令k＝－2，－1,0,1,2…可得M＝{…－eq\f(3,4)，－eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，eq\f(3,4)，eq\f(5,4)…}，N＝{…0，eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，1…}，∴MN，故选B.解法2：集合M的元素为：x＝eq\f(k,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(2k＋1,4)(k∈Z)，集合N的元素为：x＝eq\f(k,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(k＋2,4)(k∈Z)，而2k＋1为奇数，k＋2为整数，∴MN，故选B.[点评]本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k是任意整数，则k＋m(m是一个整数)也是任意整数，而2k＋1,2k－1均为任意奇数，2k为任意偶数．2．(2015·湖北孝感期中)集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝1,x＋4y＝5))))，则下列结论中正确的是()A．1∈A B．B⊆AC．(1,1)⊆B D．Ø∈A[答案]B[解析]B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝1,x＋4y＝5))))＝{(1,1)}，故选B.3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则a的值不可能是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]D[解析]由题意知，a＝0时，B＝Ø，满足题意；a≠0时，由eq\f(2,a)∈A⇒a＝1,2，所以a的值不可能是3.4．集合P＝{3,4,5}，Q＝{6,7}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为()A．7 B．12C．32 D．64[答案]D[解析]集合P*Q的元素为(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6个，故P*Q的子集个数为26＝64.二、填空题5．已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝Ø，则实数m[答案]m≥1[解析]∵M＝Ø，∴2m≥m＋1，∴m6．集合eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋2，,y＝\f(1,2)x＋2))))))⊆{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.[答案]2[解析]解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋2,y＝\f(1,2)x＋2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝2))，代入y＝3x＋b得b＝2.三、解答题7．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠Ø且B⊆A，求实数a、b的值．[解析]∵B中元素是关于x的方程x2－2ax＋b＝0的根，且B⊆{－1,1}，∴关于x的方程x2－2ax＋b＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ＝0.∵B＝{x|x2－2ax＋b＝0}⊆A＝{－1,1}，且B≠Ø，∴B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1,1}．当B＝{－1}时，Δ＝4a2－4b＝0且1＋2a＋解得a＝－1，b＝1.当B＝{1}时，Δ＝4a2－4b＝0且1－2a＋解得a＝b＝1.当B＝{－1,1}时，有(－1)＋1＝2a，(－1)×1＝b解得a＝0，b＝－1.8．设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．[解析](1)当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝Ø，满足B⊆A当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使B⊆A只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤5，))即2≤m≤3.综上，当B⊆A时，m的取值范围是{m|m≤3}．(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴集合A的非空真子集个数为28－2＝254.(3)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m又不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，∴当B＝Ø，即m＋1>2m－1，得m当B≠Q，即m＋1≤2m－1，得meq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m＋1>5，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,2m－1<－2，))解得m>4.综上，所求m的取值范围是{m|m<2或m>4}．第一章1.11.1.3基础巩固一、选择题1．下面四个结论：①若a∈(A∪B)，则a∈A；②若a∈(A∩B)，则a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，则a∈(A∩B)；④若A∪B＝A，则A∩B＝B.其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4[答案]C[解析]①不正确，②③④正确，故选C.2．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x>3}，则M∪N＝()A．{x|x>－3} B．{x|－3<x≤5}C．{x|3<x≤5} D．{x|x≤5}[答案]A[解析]在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x>－3}．3．(2015·全国高考卷Ⅰ文科，1题)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2[答案]D[解析]A∩B＝{8,14}，故选D.4．(2015·浙江省期中试题)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝()A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}[答案]D[解析]A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故选D.5．若A∪B＝Ø，则()A．A＝Ø，B≠Ø B．A≠Ø，B＝ØC．A＝Ø，B＝Ø D．A≠Ø，B≠Ø[答案]C6．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝Ø，则实数a的取值集合为()A．{a|a<2} B．{a|a≥－1}C．{a|a<－1} D．{a|－1≤a≤2}[答案]C[解析]如图．要使A∩B＝Ø，应有a<－1.二、填空题7．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.[答案]0,1或－2[解析]由已知得B⊆A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性知x≠2，∴x＝0,1或－2.8．已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m＝________.[答案]6[解析]用数轴表示集合A、B如图所示．由于A∩B＝{x|5≤x≤6}，得m＝6.三、解答题9．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a[解析]∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.∵a2＋1≠－3，∴①若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，∴a≠0.②若2a－1＝－3，则a此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}．综上可知a＝－1.10．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．[解析](1)∵B＝{x|x≥2}，A＝{x|－1≤x＜3}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．(2)∵C＝{x|x＞－eq\f(a,2)}，B∪C＝C⇔B⊆C，∴－eq\f(a,2)<2，∴a＞－4.能力提升一、选择题1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M且a≠b}，则M∪N＝()A．{0,1} B．{－1,0}C．{－1,0,1} D．{－1,1}[答案]C[解析]由题意可知，集合N＝{－1,0}，所以M∪N＝M.2．若集合M＝{(x，y)|x＋y＝0}，P＝{(x，y)|x－y＝2}，则M∩P等于()A．(1，－1) B．{x＝1或y＝－1}C．{1，－1} D．{(1，－1)}[答案]D[解析]M∩P的元素是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0,x－y＝2))的解∴M∩P＝{(1，－1)}．3．(2015·衡水高一检测)若集合A，B，C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C之间的关系为()A．CA B．ACC．C⊆A D．A⊆C[答案]D[解析]∵A∩B＝A，∴A⊆B，又B∪C＝C，∴B⊆C，∴A⊆C，故选D.4．当x∈A时，若x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M＝{0,1,3}的孤星集为M′，集合N＝{0,3,4}的孤星集为N′，则M′∪N′＝()A．{0,1,3,4} B．{1,4}C．{1,3} D．{0,3}[答案]D[解析]由条件及孤星集的定义知，M′＝{3}，N′＝{0}，则M′∪N′＝{0,3}．二、填空题5．以下四个推理：①a∈(A∪B)⇒a∈A；②a∈(A∩B)⇒a∈(A∪B)；③A⊆A⇒A∪B＝B；④A∪B＝A⇒A∩B＝B.其中正确的为________．[答案]②③④[解析]①是错误的，a∈(A∪B)时可推出a∈A或a∈B，不一定推出a∈A.6．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|x2－px－2q＝0}，且A∩B＝{－1}，则A∪B＝________.[答案]{－2，－1,4}[解析]因为A∩B＝{－1}，所以－1∈A，－1∈B，即－1是方程x2＋px＋q＝0和x2－px－2q＝0的解，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－12－p＋q＝0，,－12＋p－2q＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝3，,q＝2，))所以A＝{－1，－2}，B＝{－1,4}，所以A∪B＝{－2，－1,4}．三、解答题7．已知A＝{x|2a＜x≤a＋8}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，A∪B＝R，求a[解析]∵B＝{x|x＜－1或x＞5}，A∪B＝R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＜－1，,a＋8≥5，))解得－3≤a＜－eq\f(1,2).8．设A＝{x|x2＋8x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋2)x＋a2－4＝0}，其中a∈R.如果A∩B＝B，求实数a的取值范围．[解析]∵A＝{x}x2＋8x＝0}＝{0，－8}，A∩B＝B，∴B⊆A.当B＝Ø时，方程x2＋2(a＋2)x＋a2－4＝0无解，即Δ＝4(a＋2)2－4(a2－4)＜0，得a＜－2.当B＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式Δ＝4(a＋2)2－4(a2－4)＝0，得a＝－2.将a＝－2代入方程，解得x＝0，∴B＝{0}满足．当B＝{0，－8}时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,－2a＋2＝－8，,a2－4＝0，))可得a＝2.综上可得a＝2或a≤－2.[点评](1)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时，要考虑B＝Ø的情形，切不可漏掉．(2)利用集合运算性质化简集合，有利于准确了解集合之间的关系．第一章1.11.1.3基础巩固一、选择题1．(2015·重庆三峡名校联盟)设全集I＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,2}，则(∁IB)∩A为()A．{2} B．{3,5}C．{1,3,4,5} D．{3,4,5}[答案]B[解析]因为全集I＝{1,2,3,4,5}，集合B＝{1,2}，则∁IB＝{3,4,5}．所以(∁IB)∩A为{3,5}．故选B.[易错警示]本小题的关键是先求出集合B的补集，再求交集．集合的运算是集合关系的基础知识，要理解清楚，可能渗透在一个大题中，不熟练会导致整体看不懂或理解错误．2．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则∁UA的所有非空子集的个数为()A．4 B．3C．2 D．1[答案]B[解析]∵∁UA＝{2,4}，∴非空子集有22－1＝3个，故选B.3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．(∁RP)⊆Q D．Q⊆∁RP[答案]C[解析]∵P＝{x|x＜1}，∴∁RP＝{x|x≥1}．又Q＝{x|x＞－1}，∴(∁RP)⊆Q，故选C.4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于()A．M∪N B．M∩NC．(∁UM)∪(∁UM) D．(∁UM)∩(∁UN)[答案]D[解析]∵M∪N＝{1,2,3,4}，∴(∁UM)∩(∁UN)＝∁U(M∪N)＝{5,6}，故选D.5．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，那么集合A∪(∁UB)等于()A．{x|－2≤x≤4}B．{x|x≤3，或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1}D．{x|－1≤x≤3}[答案]A[解析]由题意可得∁UB＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∪(∁UB)＝{x|－2≤x≤4}，故选A.6．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x＜2}，且A∪(∁RB)＝R，则a满足()A．a≥2 B．a＞2C．a＜2 D．a≤2[答案]A[解析]∁RB＝{x|x≥2}，则由A∪(∁RB)＝R得a≥2，故选A.二、填空题7．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________.[答案]58．U＝R，A＝{x|－2<x≤1或x>3}，B＝{x|x≥4}，则∁UA＝________，∁AB＝________.[答案]{x|x≤－2或1<x≤3}{x|－2<x≤1或3<x<4}三、解答题9．已知全集U＝{2,3，a2－2a－3}，A＝{2，|a－7|}，∁UA＝{5}，求a[解析]解法1：由|a－7|＝3，得a＝4或a＝10.当a＝4时，a2－2a－3＝5，当a＝10时，a2－2a－3＝77∉U，∴解法2：由A∪∁UA＝U知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a－7|＝3,a2－2a－3＝5))，∴a＝4.10．(2015·唐山一中月考试题)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．[分析]利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出∁UA及∁UB，然后求解．[解析]如图所示，∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，∴∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}．∴A∩B＝{x|－2<x≤2}，(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}．[点评](1)数轴与Venn图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行数集的交、并、补运算时，经常借助数轴求解．(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集．能力提升一、选择题1．如图，阴影部分用集合A、B、U表示为()A．(∁UA)∩B B．(∁UA)∪(∁UB)C．A∩(∁UB) D．A∪(∁UB)[答案]C[解析]阴影部分在A中，不在B中，故既在A中也在∁UB中，因此是A与∁UB的公共部分．2．设S为全集，则下列说法中，错误的个数是()①若A∩B＝Ø，则(∁SA)∪(∁SB)＝S；②若A∪B＝S，则(∁SA)∩(∁SB)＝Ø；③若A∪B＝Ø，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]借助文氏图可知，①②正确，对于③于由A∪B＝Ø，∴A＝Ø，B＝Ø，∴A＝B，故选A.3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T＝{2}，(∁US)∩T＝{4}，(∁US)∩(∁UT)＝{1,5}则有()A．3∈S,3∈T B．3∈S,3∈∁UTC．3∈∁US,3∈T D．3∈∁US,3∈∁UT[答案]B[解析]若3∈S,3∈T，则3∈S∩T，排除A；若3∈∁US，3∈T，则3∈(∁US)∩T，排除C；若3∈∁US,3∈∁UT，则3∈(∁US)∩(∁UT)，排除D，∴选B，也可画图表示．4．(2008·北京)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩(∁UB)等于()A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x<－1} D．{x|－1≤x≤3}[答案]D[解析]∁UB＝{x|－1≤x≤4}，A∩∁UB＝{x|－1≤x≤3}，故选D.二、填空题5．已知全集为R，集合M＝{x∈R|－2＜x＜2}，P＝{x|x≥a}，并且M⊆∁RP，则a的取值范围是________．[答案]a≥2[解析]M＝{x|－2＜x＜2}，∁RP＝{x|x＜a}．∵M⊆∁RP，∴由数轴知a≥2.6．已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁UA＝{x|x＜3或x＞4}，则ab＝________.[答案]12[解析]∵A∪(∁UA)＝R，∴a＝3，b＝4，∴ab＝12.三、解答题7．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足(∁UA)∩B＝{2}，A∩(∁UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．[提示]由2∈B,4∈A，列方程组求解．[解析]∵(∁UA)∩B＝{2}，∴2∈B，∴4－2a＋b＝0.又∵A∩(∁UB)＝{4}，∴4∈A，∴16＋4a＋12b＝0.联立①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－2a＋b＝0，,16＋4a＋12b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(8,7)，,b＝－\f(12,7).))经检验，符合题意：∴a＝eq\f(8,7)，b＝－eq\f(12,7).[点评]由题目中所给的集合之间的关系，通过分析得出元素与集合之间的关系，是解决此类问题的关键．8．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a<x<a＋3}，且B⊆∁RA，求a[分析]本题从条件B⊆∁RA分析可先求出∁RA，再结合B⊆∁RA列出关于a的不等式组求a的取值范围．[解析]由题意得∁RA＝{x|x≥－1}．(1)若B＝Ø，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA(2)若B≠Ø，则由B⊆∁RA，得2a≥－1且2a<即－eq\f(1,2)≤a<3.综上可得a≥－eq\f(1,2).第一章1.11.1.3基础巩固一、选择题1．(2015·全国高考卷Ⅱ文科，1题)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∩B＝()A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<0}C．{x|0<x<2} D．{x|2<x<3}[答案]A[解析]A∪B＝{x|－1<x<3}，故选A.2．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁UB)等于()A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}[答案]B[解析]画出数轴，如图所示，∁UB＝{x|x≤1}，则A∩∁UB＝{x|0＜x≤1}，故选B.3．图中阴影部分所表示的集合是()A．B∩(∁U(A∪C))B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁UB)D．[∁U(A∩C)]∪B[答案]A[解析]阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩(∁U(A∪C))，故选A.4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－2或x＞4}，那么集合(∁UA)∩(∁UB)等于()A．{x|3＜x≤4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|3≤x＜4} D．{x|－1≤x≤3}[答案]A[解析]方法1：∁UA＝{x|x＜－2或x＞3}，∁UB＝{x|－2≤x≤4}∴(∁UA)∩(∁UB)＝{x|3＜x≤4}，故选C.方法2：A∪B＝{x|x≤3或x＞4}，(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{x|3＜x≤4}．故选A.5．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|－1≤x≤a}，且(A∪B)⊆(A∩B)，则实数a＝()A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析]∵(A∪B)⊆(A∩B)，∴(A∪B)＝(A∩B)，∴A＝B，∴a＝1.6．设U为全集，对集合X，Y定义运算“*”，X*Y＝∁U(X∩Y)，对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z＝()A．(X∪Y)∩∁UZB．(X∩Y)∪∁UZC．(∁UX∪∁UY)∩ZD．(∁UX∩∁UY)∪Z[答案]B[解析]X*Y＝∁U(X∩Y)(X*Y)*Z＝∁U[∁U(X∩Y)∩Z]＝∁U(∁U(X∩Y))∪∁UZ＝(X∩Y)∪∁UZ，故选B.二、填空题7．(河北孟村回民中学2014～2015学年高一九月份月考试题)U＝{1,2}，A＝{x|x2＋px＋q＝0}，∁UA＝{1}，则p＋q＝________.[答案]0[解析]由∁UA＝{1}，知A＝{2}即方程x2＋px＋q＝0有两个相等根2，∴p＝－4，q＝4，∴p＋q＝0.8．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x－1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若m∈A，m∈B，则m为________．[答案](4,7)[解析]由m∈A，m∈B知m∈(A∩B)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1,y＝x＋3))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝7))，∴A∩B＝{(4,7)}．三、解答题9．已知全集U＝R，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}，求：(1)(∁RA)∩(∁RB)(2)∁R(A∪B)(3)(∁RA)∪(∁RB)(4)∁R(A∩B)[分析]在进行集合运算时，充分利用数轴工具是十分有效的手段，此例题可先在数轴上画出集合A、B，然后求出A∩B，A∪B，∁RA，∁RB，最后可逐一写出各小题的结果．[解析]如图所示，可得A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}．∁RA＝{x|x<2或x≥5}，∁RB＝{x|x<3或x≥7}．由此求得(1)(∁RA)∩(∁RB)＝{x|x<2或x≥7}．(2)∁R(A∪B)＝{x|x<2或x≥7}．(3)(∁RA)∪(∁RB)＝{x|x<2或x≥5}∪{x<3或x≥7}＝{x|x<3或x≥5}．(4)∁R(A∩B)＝{x|x<3或x≥5}．[点评]求解集合的运算，利用数轴是有效的方法，也是数形结合思想的体现．10．已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(∁UA)∩B＝{2}，(∁UB)∩A＝{4}，求A∪B.[分析]先确定p和q的值，再明确A与B中的元素，最后求得A∪B.[解析]∵(∁UA)∩B＝{2}，∴2∈B且2∉A.∵A∩(∁UB)＝{4}，∴4∈A且4∉B.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(42＋4p＋12＝0，,22－5×2＋q＝0.))解得p＝－7，q＝6，∴A＝{3,4}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{2,3,4}．能力提升一、选择题1．设A、B、C为三个集合，(A∪B)＝(B∩C)，则一定有()A．A⊆C B．C⊆AC．A≠C D．A＝Ø[答案]A[解析]∵A∪B＝(B∩C)⊆B，又B⊆(A∪B)，∴A∪B＝B，∴A⊆B，又B⊆(A∪B)＝B∩C，且(B∩C)⊆B，∴(B∩C)＝B，∴B⊆C，∴A⊆C.2．设P＝{3,4}，Q＝{5,6,7}，集合S＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则S中元素的个数为()A．3 B．4C．5 D．6[答案]D[解析]S＝{(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)}共6个元素，故选D.3．(2015·陕西模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪BA．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]因为集合A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，所以∁U(A∪B)＝{3,5}．4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，且B∩(∁UA)≠Ø，则()A．k＜0 B．k＜2C．0＜k＜2 D．－1＜k＜2[答案]C[解析]∵U＝R，A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁UA＝{x|1＜x＜3}．∵B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，∴当B∩(∁UA)＝Ø时，有k＋1≤1或k≥3(不合题意，舍去)，如图所示，∴k≤0，∴当B∩(∁UA)≠Ø时，0＜k＜2，故选C.二、填空题5．(2014·福建，理)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2，④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．[答案]6[解析]根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4)；(3)若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；(4)若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(4,1,3,2)，(3,1,4,2)．所以共有6个．故答案为6.6．设数集M＝{x|m≤x≤m＋eq\f(3,4)}，N＝{x|n－eq\f(1,3)≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．[答案]eq\f(1,12)[解析]如图，设AB是一长度为1的线段，a是长度为eq\f(3,4)的线段，b是长度为eq\f(1,3)的线段，a，b可在线段AB上自由滑动，a，b重叠部分的长度即为M∩N的“长度”，显然，当a，b各自靠近线段AB两端时，重叠部分最短，其值为eq\f(3,4)＋eq\f(1,3)－1＝eq\f(1,12).三、解答题7．已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，试探求a取何实数时，(A∩B)Ø与A∩C＝Ø同时成立．[解析]B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{2，－4}，由A∩BØ与A∩C＝Ø同时成立可知，3是方程x2－ax＋a2－19＝0的解，将3代入方程得a2－3a－10＝0，解得a＝5或a当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，此时A∩C＝{2}，与此题设A∩C＝Ø矛盾，故不适合．当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，此时(A∩B)Ø与A∩C＝Ø同时成立，则满足条件的实数a＝－2.8．设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．(1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A－B与B－A是否一定相等？说明理由；(3)已知A＝{x|x>4}，B＝{x|－6<x<6}，求A－(A－B)和B－(B－A)．[解析](1)如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A－B＝{1}．(2)不一定相等，由(1)B－A＝{4}，而A－B＝{1}，故A－B≠B－A.又如，A＝B＝{1,2,3}时，A－B＝Ø，B－A＝Ø，此时A－B＝B－A，故A－B与B－A不一定相等．(3)因为A－B＝{x|x≥6}，B－A＝{x|－6<x≤4}，A－(A－B)＝{x|4<x<6}，B－(B－A)＝{x|4<x<6}．第一章1.21.2.1函数的概念基础巩固一、选择题1．下列四种说法中，不正确的是()A．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B．函数的定义域和值域一定是无限集合C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素[答案]B2．f(x)＝eq\r(1＋x)＋eq\f(x,1－x)的定义域是()A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]C．R D．[－1,1)∪(1，＋∞)[答案]D[解析]eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x≥0,1－x≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－1，,x≠1，))故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.3．各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是()[答案]A[解析]因为垂直x轴的直线与函数y＝f(x)的图象至多有一个交点，故选A.4．(2015·曲阜二中月考试题)集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是()A．fx→y＝eq\f(1,2)x B．fx→y＝eq\f(1,3)xC．fx→y＝eq\f(2,3)x D．fx→y＝eq\r(x)[答案]C[解析]对于选项C，当x＝4时，y＝eq\f(8,3)＞2不合题意．故选C.5．下列各组函数相同的是()A．f(x)＝eq\f(x2－1,x－1)与g(x)＝x＋1B．f(x)＝eq\r(－2x3)与g(x)＝x·eq\r(－2x)C．f(x)＝2x＋1与g(x)＝eq\f(2x2＋x,x)D．f(x)＝|x2－1|与g(t)＝eq\r(t2－12)[答案]D[解析]对于A.f(x)的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g(x)的定义域是R，定义域不同，故不是相同函数；对于B.f(x)＝|x|·eq\r(－2x)，g(x)＝x·eq\r(－2x)的对应法则不同；对于C，f(x)的定义域为R与g(x)的定义域是{x|x≠0}，定义域不同，故不是相同函数；对于D.f(x)＝|x2－1|，g(t)＝|t2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相同函数，故选D.6．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数有()A．必有一个 B．一个或两个C．至多一个 D．可能两个以上[答案]C[解析]当a在f(x)定义域内时，有一个交点，否则无交点．二、填空题7．已知函数f(x)＝eq\f(1,1＋x)，又知f(t)＝6，则t＝________.[答案]－eq\f(5,6)[解析]f(t)＝eq\f(1,t＋1)＝6.∴t＝－eq\f(5,6)8．用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2＜x≤4}＝________；(3){x|x＞－1且x≠2}＝________.[答案](1)[1，＋∞)(2)(2,4](3)(－1,2)∪(2，＋∞)三、解答题9．求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y＝eq\f(x＋12,x＋1)－eq\r(1－x)；(2)y＝eq\f(\r(5－x),|x|－3).[分析]eq\x(列出满足条件的不等式组)⇒eq\x(解不等式组)⇒eq\x(求得定义域)[解析](1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0,1－x≥0，))解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x≥0,|x|－3≠0))，解得x≤5，且x≠±3，即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．[规律总结]定义域的求法：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．10．已知函数f(x)＝eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋2).(1)求函数的定义域；(2)求f(－3)，f(eq\f(2,3))的值；(3)当a＞0时，求f(a)，f(a－1)的值．[解析](1)使根式eq\r(x＋3)有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式eq\f(1,x＋2)有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}，所以这个函数的定义域是{x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3，且x≠－2}．(2)f(－3)＝eq\r(－3＋3)＋eq\f(1,－3＋2)＝－1；f(eq\f(2,3))＝eq\r(\f(2,3)＋3)＋eq\f(1,\f(2,3)＋2)＝eq\r(\f(11,3))＋eq\f(3,8)＝eq\f(3,8)＋eq\f(\r(33),3).(3)因为a＞0，故f(a)，f(a－1)有意义．f(a)＝eq\r(a＋3)＋eq\f(1,a＋2)；f(a－1)＝eq\r(a－1＋3)＋eq\f(1,a－1＋2)＝eq\r(a＋2)＋eq\f(1,a＋1).能力提升一、选择题1．给出下列从A到B的对应：①A＝N，B＝{0,1}，对应关系是：A中的元素除以2所得的余数②A＝{0,1,2}，B＝{4,1,0}，对应关系是f：x→y＝x2③A＝{0,1,2}，B＝{0,1，eq\f(1,2)}，对应关系是f：x→y＝eq\f(1,x)其中表示从集合A到集合B的函数有()个．()A．1 B．2C．3 D．0[答案]B[解析]由于③中，0这个元素在B中无对应元素，故不是函数，因此选B.2．(2012·高考安徽卷)下列函数中，不满足：f(2x)＝2f(xA．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x[答案]C[解析]f(x)＝kx与f(x)＝k|x|均满足：f(2x)＝2f(x3．(2014～2015惠安中学月考试题)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是()[答案]B[解析]A、C、D的值域都不是[1,2]，故选B.4．(2015·盘锦高一检测)函数f(x)＝eq\f(1,\r(1－2x))的定义域为M，g(x)＝eq\r(x＋1)的定义域为N，则M∩N＝()A．[－1，＋∞) B．[－1，eq\f(1,2))C．(－1，eq\f(1,2)) D．(－∞，eq\f(1,2))[答案]B二、填空题5．若函数f(x)的定义域为[2a－1，a＋1]，值域为[a＋3,4a]，则[答案](1,2)[解析]由区间的定义知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1＜a＋1，,a＋3＜4a))⇒1＜a＜2.6．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．[答案][－3,0]∪[2,3][1,2)∪(4,5][解析]观察函数图象可知f(x)的定义域是[－3,0]∪[2,3]；只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5]．三、解答题7．求下列函数的定义域：(1)y＝eq\f(3,1－\r(1－x))；(2)y＝eq\f(x＋10,|x|－x)；(3)y＝eq\r(2x＋3)－eq\f(1,\r(2－x))＋eq\f(1,x).[解析](1)要使函数有意义，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,1－\r(1－x)≠0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤1，,x≠0))⇔x≤1且x≠0，所以函数y＝eq\f(3,1－\r(1－x))的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,|x|－x≠0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－1，,|x|≠x，))∴x＜0且x≠－1，∴原函数的定义域为{x|x＜0且x≠－1}．(3)要使函数有意义，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3≥0，,2－x＞0，,x≠0.))解得－eq\f(3,2)≤x＜2且x≠0，所以函数y＝eq\r(2x＋3)－eq\f(1,\r(2－x))＋eq\f(1,x)的定义域为[－eq\f(3,2)，0)∪(0,2)．[点评]求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出使函数有意义的x所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．8．已知函数f(x)＝eq\f(1＋x2,1－x2)，(1)求f(x)的定义域．(2)若f(a)＝2，求a的值．(3)求证：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)．[解析](1)要使函数f(x)＝eq\f(1＋x2,1－x2)有意义，只需1－x2≠0，解得x≠±1，所以函数的定义域为{x|x≠±1}．(2)因为f(x)＝eq\f(1＋x2,1－x2)，且f(a)＝2，所以f(a)＝eq\f(1＋a2,1－a2)＝2，即a2＝eq\f(1,3)，解得a＝±eq\f(\r(3),3).(3)由已知得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2)＝eq\f(x2＋1,x2－1)，－f(x)＝－eq\f(1＋x2,1－x2)＝eq\f(x2＋1,x2－1)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)．第一章1.21.2.2基础巩固一、选择题1．已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝－eq\f(1,x)C．y＝eq\f(2,x) D．y＝－eq\f(2,x)[答案]C[解析]设y＝eq\f(k,x)，由1＝eq\f(k,2)得，k＝2，因此，y关于x的函数关系式为y＝eq\f(2,x).2．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为()A．y＝20－2x B．y＝20－2x(0＜x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10)[答案]D[解析]由题意得y＋2x＝20，∴y＝20－2x.又∵2x＞y，∴2x＞20－2x，即x＞5.由y＞0，即20－2x＞0得x＜10，∴5＜x＜10.故选D.3．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的解析式是()A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7[答案]B[解析]∵g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3，∴令x＋2＝t，则x＝t－2，g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1.∴g(x)＝2x－1.4．(2015·安丘一中月考)某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：考试次数x12345成绩y(分)90102106105106则下列说法正确的是()A．成绩y不是考试次数x的函数B．成绩y是考试次数x的函数C．考试次数x是成绩y的函数D．成绩y不一定是考试次数x的函数[答案]B5．如果二次函数的二次项系数为1，图象开口向上，且关于直线x＝1对称，并过点(0,0)，则此二次函数的解析式为()A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝－(x－1)2＋1C．f(x)＝(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1[答案]D6．(2015·武安中学周测题)若f(x)满足关系式f(x)＋2f(eq\f(1,x))＝3x，则f(2)的值为()A．1 B．－1C．－eq\f(3,2) D.eq\f(3,2)[答案]B[解析]eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2＋2f\f(1,2)＝6①,f\f(1,2)＋2f2＝\f(3,2)②))①－②×2得－3f∴f(2)＝－1，选B.二、填空题7．某班连续进行了4次数学测验，其中元芳同学的成绩如下表所示，则在这个函数中，定义域是________，值域是________.次序1234成绩145140136141[答案]{1,2,3,4}{145,140,136,141}8．已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，则函数值f(3)＝________.[答案]11[解析]∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋2，∴f(x)＝x2＋2，∴f(3)＝32＋2＝11.三、解答题9．已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：(1)函数p＝f(m)的定义域；(2)函数p＝f(m)的值域；(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应．[解析](1)由图知定义域为[－3,0]∪[1,4]．(2)由图知值域为[－2,2]．(3)由图知：p∈(0,2]时，只有唯一的值与之对应．10．(2015·济宁高一检测)已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．求函数f(x)的解析式．[解析]∵f(x)＝ax2＋bx，且方程f(x)＝x有两个相等的实数根，∴Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1，又∵f(2)＝0，∴4a∴a＝－eq\f(1,2)，∴f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋x.能力提升一、选择题1．(2015·福建泉州一中期中)已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝x2－2x－1 B．f(x)＝x2－2x＋1C．f(x)＝x2＋2x－1 D．f(x)＝x2＋2x＋1[答案]D[解析]令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，即f(x)＝x2＋2x＋1.2．(2015·河北衡水中学期末)已知g(x)＝1－2x，f(g(x))＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，则f(eq\f(1,2))等于()A．1 B．3C．15 D．30[答案]C[解析]令g(x)＝1－2x＝eq\f(1,2)，∴x＝eq\f(1,4)，∴f(g(x))＝eq\f(1－x2,x2)＝eq\f(1－\f(1,4)2,\f(1,4)2)＝15，选C.3．(2015·山东青岛二中期末)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)等于()A．12 B．6C．3 D．2[答案]B[解析]令x＝1，y＝1，则f(2)＝f(1)＋f(1)＋2＝6，令x＝2，y＝1，则f(3)＝f(2)＋f(1)＋4＝12，令x＝0，y＝0，则f(0)＝0，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)－2x2，∴f(－x)＝f(0)－f(x)＋2x2，∴f(－3)＝f(0)－f(3)＋2×32＝0－12＋18＝6，选B.4．(2015·安徽望江期末)观察下表：x－3－2－1123f(x)41－1－335g(x)1423－2－4则f[g(3)－f(－1)]＝()A．3 B．4C．－3 D．5[答案]B[解析]由题表知，g(3)－f(－1)＝－4－(－1)＝－3，∴f[g(3)－f(－1)]＝f(－3)＝4.二、填空题5．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)131x123g(x)321则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．[答案]12[解析]∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示.x123f(g(x))131g(f(x))313∴f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2.6．已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F(eq\f(1,3))＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________．[答案]F(x)＝3x＋eq\f(5,x)[解析]设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝eq\f(m,x)(m≠0)，则F(x)＝kx＋eq\f(m,x).由F(eq\f(1,3))＝16，F(1)＝8，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)k＋3m＝16,k＋m＝8))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝3,m＝5))，所以F(x)＝3x＋eq\f(5,x).三、解答题7．设二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，对于x∈R恒成立，且f(x)＝0的两个实数根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．[解析]设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(x)图象过(0,3)点，∴f(0)＝3，即c＝3.又f(2＋x)＝f(2－x)，∴a(2＋x)2＋b(2＋x)＋3＝a(2－x)2＋b(2－x)＋3，整理解得：(4a＋b)x＝0，∴4a＋b＝0即b＝－∴f(x)＝ax2－4ax＋3.∵ax2－4ax＋3＝0的两个实数根的平方和为10，∴10＝xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－eq\f(6,a)，∴a＝1，∴f(x)＝x2－4x＋3.8．(2015·山海关一中测试)若函数y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下面图中画出此函数的图象．[解析]本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．第一章1.21.2.2基础巩固一、选择题1．下列从集合A到集合B的对应中为映射的是()A．A＝B＝N＋，对应关系f：x→y＝|x－3|B．A＝R，B＝{0,1}，对应关系f：x→y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≥0，,1，x＜0.))C．A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝±eq\r(x)D．A＝Z，B＝Q，对应关系f：x→y＝eq\f(1,x)[答案]B[解析]对A选项，当x＝3时，y＝0∉B，排除A选项；对于C选项，对x的每一个值y有两个值与之对应，排除C选项；对于D选项，当x＝0时，在B中没有元素与之对应，排除D选项；只有B选项符合映射的概念，故选B.2．下列给出的函数是分段函数的是()①f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，1<x≤5，,2x，x≤1，))②f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x∈R，,x2，x≥2，))③f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3，1≤x≤5，,x2，x≤1，))④f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3，x＜0，,x－1，x≥5.))A．①② B．①④C．②④ D．③④[答案]B[解析]对于②取x＝2，f(2)＝3或4，对于③取x＝1，f(1)＝5或1，所以②、③都不合题意．3．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x＞0，,fx＋1，x≤0，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))等于()A．－