（概率论与数理统计）数理统计的基本概念

绪言：概率论与数理统计的关系概率论是数理统计的理论基础；数理统计是概率论的应用.数理统计概论

概率论是在（总体）Ｘ分布已知的情况下，研究Ｘ的性质及统计规律性．数理统计是在（总体）Ｘ分布未已知（或部分未知）的情况下，对总体Ｘ的分布作出推断和预测.数理统计的研究方法

通过从总体抽取部分个体（样本），通过对样本的研究，对总体作出推断或预测．是一种由部分推测整体的方法．样本及抽样分布下页数理统计研究方法流程图：

数理统计以概率论为基础，研究如何搜集资料，并对统计资料进行整理和分析，对整体的某些性质作出推断．数理统计内容丰富，应用广泛．本书介绍了数理统计初步知识：参数估计；假设检验[；方差分析；回归分析]．下页总体X样本统计量对总体X作出推断采集数据加工处理对统计量分析第六章样本及抽样分布§6.1数理统计的基本概念一、总体、个体与样本

总体：研究对象的全体称为总体（母体）.个体：组成总体的每个研究对象称为个体.总体分为有限总体和无限总体.数理统计的核心问题是由样本推断总体，即统计推断问题.

注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况.这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体，或研究对象的某项数量指标的值的全体就是总体.某批灯泡的寿命该批灯泡寿命的全体就是总体下页是一个随机变量.用X表示.样本：从总体X中按一定的规则抽出的个体的全部称为样本，用X1，X2，…，Xn表示．样本容量：样本中所含个体的个数称为样本容量，用n表示．根据n

的大小样本有大样本、小样本之分．

为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程为“抽样”从国产轿车中抽5辆进行耗油量试验样本容量为5下页

一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数(x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值.

样本是随机变量.抽到哪5辆是随机的容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1,X2,…,Xn).下页2.简单随机抽样：要求抽取的样本满足下面两点由简单随机抽样抽得的样本：X1,X2,…,Xn称为简单随机样本．（样本）简单随机样本：

显然，样本就是来自总体X的n

个相互独立的且与总体同分布的随机变量X1,X2,…,Xn

．可看成n

维随机向量（X1,X2,…,Xn

）．

简单随机抽样即为随机地独立地抽取，如：有放回抽样；无放回抽样当总体很大，样本容量较小时，认为是近似的简单随机抽样．2.独立性：X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.1.代表性：

X1,X2,…,Xn中每一个与总体X有相同的分布.若总体的分布函数为F(x)，则简单样本的联合分布函数为F(x1)F(x2)…F(xn)下页二、统计量

1.定义设X1，X2，…，Xn为来自总体X的一个样本，g(X1，X2，…，Xn）是一个不含任何未知参数的连续函数，称(X1，X2，…，Xn）为统计量.下页设（X1,X2,…,Xn

）为来自总体X的简单随机样本.常用于估计总体分布的均值，或检验有关总体分布均值的假设.样本均值:2.常用统计量——样本矩设（X1,X2,…,Xn

）为来自总体X的简单随机样本．常用于估计总体分布的均值，或检验有关总体分布均值的假设．样本方差：

用于估计总体分布的方差．式中的n－1称为S2的自由度（式中含有独立变量的个数），S称为样本标准差，又称为标准误．样本矩：K阶原点矩：K阶中心矩：样本均值:下页定理1

设总体X的分布形式未知，E(X)=μ，D(X)=σ2，下页(X1,X2,…,Xn

)为X的一样本,和分别是样本均值与样本方差，则有证(X1,X2,…,Xn

)为X的一样本,则X1,X2,…,Xn独立且与总体X同分布，因而有由数学期望和方差的性质得E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2(i=1,2,…,n)下页三、分位点1.定义设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，实数a满足的数l1和l2为F(x)的双侧a分位点（或双侧a分位数）.说明的数xa为F(x)的上侧a分位点，也称为上侧a分位数；称同时满足和下页0<a<1,我们称满足

的点uα为N(0，1)分布的上侧α分位点．2.标准正态分布的分位点P{X＞ua}=a，xu1－αuααα0（1）称满足条件

记－ua=u1－a由于（2）称满足条件设X~N(0，1)，对给定的a(0＜a＜1）

的点为N(0，1)分布的双侧α分位点．1－αx0∵∴下页查正态分布表得：==1.96又如，α=0.05，则==，附：ua的值的确定－查《标准正态分布表》法P{X＞u0.05}=0.05，即P{X＜u0.05}=0.95，查表得：u0.05=1.645P{X＞u0.01}=0.01，即P{X＜u0.01}=0.99，查表得：u0.01=2.33例如，下页三、常用统计量的分布1.

分布(1)定义设X～N(0,1)，（X1，X2，…，Xn）为X的一个样本，令

可见：n个独立同服从N(0,1)分布的随机变量的平方和，为自由度为n

的分布．则服从参数（自由度）为n

的分布．记作～0f(y)n=1n=4n=10y(2)

分布的概率密度且E()=n,D()=2n下页若且它们相互独立，则(3)

分布的可加性(4)分布的分位点(a)设对给定的a(0＜a＜1),称满足条件0f(y)αy满足0yf(y)例a=0.1，n=25，查分布表得：下页的点为分布的上侧a分位点．(b)分布的双侧a分位点为和,例2．设总体X~N（0，0.32）,n=10,求解：∵X/0.3~N(0,1)，∴下页2.t分布0f(t)n=5

n=3

t为服从自由度为n的t（Student）分布，记作t~t(n)．(2)t分布的概率密度为且(1)定义设X~N(0,1)，且X与Y相互独立，则称随机变量E（T）=0，下页1－αt0f(t)αt1－α(n)t0f(t)αtα(n)由对称性：t1-a(n)=-ta(n).(3)t分布的分位点(a)设t~t(n)，对给定的a(0＜a＜1),称满足条件的点ta(n)为t分布的上侧a分位点．的点为t分布的双侧a分位点．(b)称满足例如，α=0.05,n=15，查《t分布表》得，下页t0.05(15)=1.7531，3.F分布(2)F分布的概率密度

且U与V独立，则称随机变量为服从自由度为（m,n）的F分布，记作F~F（m,n）．(1)定义设下页设F~F(m,n)，对给定的a（0＜α＜1）(a)称满足的点Fa(m,n)为F分布的上侧a百分位点．0f(y)αFα(m,n)y(b)F分布的双侧a分位数和，满足0f(y)y为F分布的双侧a分位点．(3)F分布的分位点下页3.F分布且U与V独立，则称随机变量为服从自由度为（m,n）的F分布，记作F~F（m,n）．(1)定义设(4)F分布的性质例如：查《F分布表》得F0.05(15,12)=2.62F0.95(15,12)=0f(y)αFα(m,n)y下页设X:X1，X2，…，Xn1.2.若X~N（0，1），则小结下页Xi~N（μ，σ2）(1)(2)(3)3.若X~N（μ，σ2），则与

s2相互独立．下页Y~N(μ2,σ2

2)：Y1，Y2，…,Yn2，它们相互独立.X~N(μ1,σ12)：X1，X2，…,Xn1(1)(2)当σ12=σ22=σ2时，(3)4.两个正态总体当σ12,σ22已知时，下页2．设总体X~N（μ，σ2），X1，X2，…，X8为一个样本，则（）成立．练习1．设总体X~N（8，4），X1，X2，…，X5为一个样本，则P{X>9}=（）；P{>9}=（）(2)~t(7)（1）~t(8)(4)~t(8)(3)~t(7)3．设是来自正态总体N(μ，σ2）的样本，是样本均值，记则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是

．下页二、统计量

统计量是样本的函数，也是随机变量，具有概率分布．把统计量的概率分布称为抽样分布.

1.定义设X1，X2，…，Xn为来自总体X的一个样本，g(X1，X2，…，Xn）是一个不含任何未知参数的连续函数，称(X1，X2，…，Xn）为统计量.下页（1）若（X1，X2，…，Xn）是正态总体N(μ，