（概率论与数理统计）古典概型

古典概型一、古典概型的定义二、古典概型计算公式五、几何概型及其计算三、古典概型计算步骤四、古典概型计算举例下页排列与组合选排列当

时，称为全排列，计算公式为从

个不同的元素中,任取

个元素,按照一定的顺序排成一列，全部排列个数为全排列组合从

个不同的元素中,任取

个元素并成一组，全部组合数为取数与次序有关排列的特点取数与次序无关组合的特点加法原理第一类方法有

种方法第二类方法有

种方法

第

类方法有

种方法……做一件事共有

类方法完成这件事的方法总数乘法原理第一步有

种方法第二步有

种方法

第步有

种方法……做一件事共有

个步骤完成这件事的方法总数

古典概型1.古典概型

若试验E具有以下两个特征：

(1)所有可能的试验结果(样本点)为有限个，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；

(2)每个样本点发生的可能性相同，即P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)．则称这类试验的数学模型为等可能概型（古典概型）．２.古典概型中事件概率的计算公式设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及事件A分别为：

Ω={ω1，ω2，…，ωn}A={ωi1，ωi2，…，ωik}则随机事件A的概率为：

下页3.古典概型的概率计算步骤(1)指出样本点(样本点)；(2)计算样本空间中样本点(样本点)总数n；(3)指出事件A；(4)计算事件A中样本点(样本点)总数k；(5)计算事件A的概率P(A)．下页4.1古典概型的概率计算举例（“数一数”法）例1.

抛一枚硬币，问硬币落地后正面向上的概率是多少？解：显然，样本点为：{正面向上}，{反面向上}，因而样本空间Ω={{正面向上}，{反面向上}}，所以Ω的样本点总数为2．设A=“正面向上”[或设A表示“正面向上”事件]，则A包含的样本点为{正面向上}，即它包含的样本点总数为1．所以，P(A)=1/2=0.5．例2.

将一枚硬币抛两次，问试验后有一次正面向上的概率是多少？解：样本点为：{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}，因而样本空间Ω={{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}}，所以Ω的样本点总数为4．下页4.1古典概型的概率计算举例（“数一数”法）例2.

将一枚硬币抛两次，问试验后有一次正面向上的概率是多少？解：样本点为：{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}，因而样本空间Ω={{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}}，所以Ω的样本点总数为4．

设A=“有一次正面向上”，则A={{正,反},{反,正}}，显然A包含的样本点总数为2．所以，P(A)=2/4=0.5．下页4.1古典概型的概率计算举例（“数一数”法）例3.

口袋中有100只球，编号依次为1,2,3,…,100，现从中任取一球，问取得的球编号不超过20的概率？解：样本点为：{1号球},{2号球},…,{100号球}，因而样本空间Ω={{1号球},{2号球},…,{100号球}}，所以Ω的样本点总数为100．设A=“取得的球编号不超过20”，则A={{1号球},{2号球},…,{20号球}}，显然A包含的样本点总数为20．所以，P(A)=20/100=0.2．问题：在本例中，取得的球编号为5的倍数的概率是多少？下页4.2古典概型的概率计算举例（“算一算”法）例4.7件产品中有3件次品，现从中任取3件．问3件中恰有1件次品的概率？解：7件产品中任意3件的一个组合，是一个样本点，即是一个可能的基本结果(说明这一点很重要！)，因此，所有可能的基本事件总数(即样本空间中的样本点总数)为设A=“3件中恰有1件次品”,则A包含的样本点总数为从而，P(A)=下页4.2古典概型的概率计算举例（“算一算”法）例5.

一套5卷的选集随机地排放在书架上，问：(1)第1卷放在最左边的概率？(2)从左到右正好按卷号排成12345的概率？解：5卷选集在5个位置上的任一种排列，是一个样本点，因此，所有可能的样本点总数(即样本空间中的样本点总数)为5！．

设A=“第1卷放在最左边”,B=“从左到右正好按卷号排成12345”．则A包含的样本点总数为1*4!，B包含的样本点总数为1．从而，P(A)=4!/5!，P(B)=1/5!．小结：计算样本空间所含样本点总数，有时用排列有时用组合，那么何时用排列何时用组合？一般来讲，当考虑“顺序”时用排列，不考虑“顺序”时用组合．另外，当考虑“顺序”时，样本空间及所关心的事件A所包含的样本点总数的计算，都要用排列，反之亦然．下页4.3古典概型的概率计算举例（利用运算性质）例6.口袋中有6只球，其中白球4只，黑球2只．现从中任取1只(取后不放回)，然后再任取1只，求：(1)取到2只白球的概率?(2)取到两个颜色相同的球的概率?(3)至少取到1只白球的概率?解：6只球中的任意2只球的一种排列，是一个样本点，因此，所有可能的样本点总数为A62．

设A=“取到2只白球”,B=“取到2只黑球”,C=“取到两个颜色相同的球”,D=“至少取到1只白球”．则A包含的样本点总数为A42，B包含的样本点总数为A22，则P(A),P(B)可求．而显然，C=A∪B=A+B；D+B=Ω（即D与B互逆），从而有，P(C)=P(A)+P(A)；P(D)=1-P(B)．下页4.4古典概型的概率计算举例（经典问题）例7.设有n个球，随机的放到m个盒子中去，(n≤m)，求下列事件的概率．(1)A=“指定的n个盒子中各有一个球”；(2)B=“恰有n个盒子各有一个球”．解：

n个球在个m位置上的任一种放法是一个样本点．所以,Ω中的样本点总数为mn个．(1)指定的n个盒子各放入一个球，就是n个球在n个指定的盒子中的排列，即A中的样本点数为n!，从而P(A)可求．

(2)因为没有指定是哪n个盒子，这n个盒子可以从m个盒子中任意选取，共有Cmn种选法，即B中的样本点数为Cmn

×n!，于是P(B)可求．下页例8．可化为分球入盒的问题（１）生日问题：a)宿舍住着６名同学，求６个人生日的月份互不相同的概率；b)一个班有30名同学，求至少有2人的生日在同１天的概率．提示：a)设Ａ＝“６人生日月份各不相同”．将每一个月份看作１个盒子，共有１２个盒子，将每１个学生看作１个球，共有６个球．b)设B＝“至少有２人生日在同１天”若有５０人，概率为0.97．例8．可化为分球入盒的问题（２）抽签问题：设有a个白球，b个黑球，由a+b个同学依次抽１个，求第k个人抽到黑球的概率．提示：设Ａ＝“第k个人抽到黑球”．将a+b个人看作a+b个盒子．将a+b个球放入a+b盒中，每盒１个．问题化为，求第k个盒放入的是黑球的概率．说明：事实上[例8(2)]有许多解法，下面再给出一种比较简捷的解法．另解：解法的关键是把注意力放在第k次取球上．即第k次出现的事件为样本点，显然，第k次取球共有a+b种取法(即样本点总数)，而第k次取到黑球，只有b种取法(即事件A包含的样本总数)，于是，P(A)=b/(a+b)．小结:试验的样本空间并不唯一，样本空间究竟是什么，这完全取决于你赋予样本点的意义．至于怎样指派样本点，很难给出固定的规则，依赖于观察问题的角度，这正是初学者感到困难的地方．也正是因为这样，古典概型的问题才具有很强的挑战性，并使不少人对此产生浓厚兴趣．

下页

当试验结果为无限时，会比古典概率复杂得多．这里讨论无限样本空间中具有某种“等可能性”的一类问题．

设Ω为某个区域（可以是一维，也可以是二维、三维）测度为m(Ω）；A为Ω的子区域，测度为m(A)．任意向Ω中投掷的点落在A中的可能性与A的测度成正比，但与A的形状和A在Ω中的位置无关．则我们规定

Ω

A5.几何概型下页例9.甲、乙两艘轮船要在某个舶位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机的到达．试求这两艘船中至少有一艘在停靠舶位时必须等待的概率．解：设x为甲到达的时刻(0≤x<24)，y为乙到达的时刻(0≤y≤24)．A={两艘船中至少有一艘在停靠舶位时必须等待}须

因此Ω＝{(x,y):0≤x<24,0≤y<24},m(Ω)=242

A＝{(x,y):，m(A)=242-(24-6)2所以o24624下页01：1,2,310：1,4,519：2,3,728：3,4,702：1,2,411：1,4,620：2,4,529：3,5,603：1,2,512：1,4,721：2,4,630：3,5,704：1,2,613：1,5,622：2,4,731：3,6,705：1,2,714：1,5,723：2,5,632：4,5,606：1,3,415：1,6,724：2,5,733：4,5,707：1