有理式因式分解

主要内容一

多项式的因式分解基本概念二

提公因式的因式分解三

公式法的因式分解四

因式分解提高篇

把写成的形式，叫做把因式分解

概念：

一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫把这个多项式因式分解．(也叫分解因式）即：一个多项式→几个整式的积一多项式的因式分解的基本概念整数乘法3×7=2121=3×7因数分解类比体验我们把x+1叫做x2－1的一个因式，同理，x－1也是x2－1

的一个因式．领悟概念x+1,x-1都叫做多项式x2－1的一个因式，x,x－y都叫做多项式x2－xy

的一个因式．概念1：一般地，对于两个整数f与g，如果有多项式h，使得h=f·g,那么f,g都叫做h的一个因式。3x(x-1)=__,3x2-3x3x2-3x=_________3x(x-1)整式的积多项式多项式整式的积整式乘法因式分解因式分解与整式乘法有什么关系？因式分解与整式乘法是互逆过程例1.下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？解（1）：是.解（2）：不是.试一试1:判断下列各式是不是因式分解1.4.2.3.因式分解:

一个多项式几个整式的乘积下列各式从左边到右边的变形是因式分解的用Yes，否则用No。（１）（２）（３）（４）（５）（６）（）（）（）（）（）（）YesNoNoNoYesNo判一判23、比较下面的两个等式，然后回答后面的问题：

A、

B、（1）、从左到右看，A式是________,B式是_______（2）、_______是把几个整式的积展开成一个多项式（3）、_______是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式（4）、整式乘法和因式分解都是_____变形，但变形的过程正好_______。整式乘法整式乘法因式分解因式分解恒等互逆注意：1.因式分解必须在整式范围内进行，否则不属于因式分解；2.利用整式的乘法可以验证因式分解是否正确.3.因式分解必须分解到不能再分解为止例2.检验下列因式分解是否正确.分析：检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的积与左边的多项式是否相等.①②有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为进而很容易把分数约分：分子与分母同除以6，得例如

同样地，每一个多项式可以表示成若干个最基本的多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁．例如，以后要学习的分式的约分，解一元二次方程等，常需要把多项式进行因式分解.为什么要把一个多项式因式分解呢？本课小结这节课我们学习了因式分解的概念一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解f=gh要明白因式分解其实是以前所学单项式,多项式乘法的逆运算以下几个多项式有什么共同的特征：（2）ma＋mb（3）cx－cy＋cz共同特征：各式中的每一项都含有一个相同的因数或因式想一想二

提公因式法多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。（1）2πR＋2πr（2）ma＋mb（1）2πR＋2π（3）cx－cy＋cz过关秘密武器：正确找出多项式各项公因式的关键是：公因式的系数是各项整数系数的最大公约数。定系数：取各项的相同的字母。相同字母的指数取次数最低的，即相同字母最低次幂。定字母：定指数：多项式公因式8x+12y8ax+12ay8a3bx+12a2b2y2x2+6x3合作探究用心观察，找出下列多项式的公因式44a4a2b2x2←不能漏掉例1：

8ab-12abc+ab323=ab(8ab-12bc+1)22×解:原式=ab当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1知识储备(8a2b-12b2c)知识储备例2：2a(b+c)-3(b+c)解：原式=(b+c)注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法(2a-3)例3：–

24x3+12x2–28x解：原式==当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“”号，使括号内第一项系数成为正数，在提出“”时，多项式的各项都要变号。知识储备小亮解的有误吗？试说明理由，并给出正解当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1错误注意：某项提出莫漏1。解：原式=x(3x-6y)把3x2-6xy+x分解因式正确解：原式=3x.x-6y.x+1.x=x(3x-6y+1)若多项式(a+b)xy+(a+b)x要分解因式,则要提取的公因式是

.把分解因式后得_________________

应用拓展先分解因式,再求解：已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.解：三公式法利用完全平方公式因式分解利用平方差公式因式分解复习回顾还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？平方差公式：完全平方公式：计算：=(999+1)(999–1)此处运用了什么公式?新课引入试计算：9992–112=1000×998=998000平方差公式逆用因式分解:（1）x2–;（2）y2–4252252=(x+2)(x–2)=(y+5)(y–5)

这些计算过程中都逆用了平方差公式即：此即运用平方差公式进行因式分解用文字表述为：

两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。

尝试练习(对下列各式因式分解)：①a2–9=___________________②49–n2=__________________③5s2–20t2=________________④100x2–9y2=_______________(a+3)(a–3)(7+n)(7–n)5(s+2t)(s–2t)(10x+3y)(10x–3y)=y2–4x2=(y+2x)(y–2x)=(x2)2–12

=(x2+1)(x2–1)②–4x2+y2③x4–1(x2–1)=–(4x2–y2)=–(2x+y)(2x–y)(x+1)(x–1)将前面②~⑥各式运用平方差公式进行因式分解例(2)因式分解一定要分解彻底!④x2–x6=x2–(x3)2=(x+x3)(x–x3)=x·(1+x2)·x·(1–x2)=x2(1+x2)(1+x)(1–x)将前面②~⑥各式运用平方差公式进行因式分解例(2)④x2–x6=x2(1–x4)=x2

(1+x2)(1–x2)=x2(1+x2)(1+x)(1–x)更简便！

在我们现学过的因式分解方法中，先考虑提取公因式，再考虑用公式法。⑤6x3–54xy2=6x(x2–9y2)=6x

(x+3y)(x–3y)⑥(x+p)2–(x–q)2=[(x+p)+(x–q)]·[(x+p)–(x–q)]=(2x+p–q)(p+q)将前面②~⑥各式运用平方差公式进行因式分解例(2)YXYXYX复习回顾还记得前面学的完全平方公式吗？计算：新课引入试计算：9992+1998+12×999×1=(999+1)2

=106此处运用了什么公式?完全平方公式逆用

就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解。即：这个公式可以用文字表述为：

两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

牛刀小试(对下列各式因式分解)：①a2+6a+9=_________________②n2–10n+25=_______________③4t2–8t+4=_________________④4x2–12xy+9y2=_____________(a+3)2(n–5)24(t–1)2(2x–3y)2完全平方式的特点：

1、必须是三项式（或可以看成三项的）

2、有两个同号的平方项

3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。将例(1)中的完全平方式利用完全平方公式进行因式分解例(2)①16x2+24x+9②–4x2+4xy–y2④4x2–8xy+4y2=(4x+3)2=–(4x2–4xy+y2)=–(2x–y)2=4(x2–2xy+y2)=4(x–y)2–2a2+⑥(p+q)2–12(p+q)+36将例(1)中的完全平方式利用完全平方公式进行因式分解例(2)a41=(a2–1)2=(a+1)2(a–1)2=[(a+1)

(a–1)]2=(p+q–6)2XXX四因式分解（高级篇）——因式分解的其他常用方法知识结构因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法待定系数法求根法……一、提公因式法

只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。提公因式法随堂练习：1）15(m–n)+13(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)二、公式法

只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。常用公式1、(a+b)(a–b)=a2–b2（平方差公式）2、(a±b)2=a2±2ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)及

a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程不要与(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆公式法随堂练习：1）(a2–10a+25)(a2–25)2）x3+3x2+3x+1二、公式法

只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。三、十字相乘法①前面出现了一个公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常数项3=1×3而一次项系数4=1+3∴原式=(x+1)(x+3)暂且称为p、q型因式分解例2：因式分解x2–7x+10可以看出常数项10=(–2)×(–5)而一次项系数–7=(–2)+(–5)∴原式=(x–2)(x–5)这个公式简单的说，就是把常数项拆成两个数的乘积，而这两个数的和刚好等于一次项系数十字相乘法①随堂练习：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2三、十字相乘法②试因式分解6x2+7x+2。这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)=–65x2–6xy–8y2试因式分解5x2–6xy–8y2。这里仍然可以用十字相乘法。15–244–10∴5x2–6xy–8y2=(x–2y)(5x+4y)简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。十字相乘法②随堂练习：1）4a2–9a+22）7a2–19a–63）2(x2+y2)+5xy四、分组分解法

要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab–ac)+(bd–cd)=a

(b–c)+d

(b–c)=(a+d)(b–c)还有别的解法吗？四、分组分解法

要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab+bd)–(ac+cd)=b

(a+d)–c

(a+d)=(a+d)(b–c)例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+x+1)=

(x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)立方和公式分组分解法随堂练习：1）xy–xz–y2+2yz–z22）a2–b2–c2–2bc–2a+1回顾例题：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1–x2)=(x+1)[(x2+1)2–x2]=

(x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)五*、拆项添项法怎么结果与刚才不一样呢？因为它还可以继续因式分解

拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的预见性，尝试较多，做题较繁琐。最好能根据现有多项式内的项猜测可能需要使用的公式，有时要根据形式猜测可能的系数。五*、拆项添项法例因式分解x4+4解：原式

=x4

+

4x2+4–4x2=(x2+2)2–(2x)2=(x2+2x+2)(x2–2x+2)都是平方项猜测使用完全平方公式完全平方公式平方差公式拆项添项法随堂练习：1）x4–23x2y2+y42）(m2–1)(n2–1)+4mn配方法

配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全平方式，再用平方差公式进行分解。因式分解a2–b2+4a+2b+3。解：原式=(a2+4a+4)–(b2–2b+1)=(a+2)2–(b–1)2=(a+b+1)(a–b+3)配方法(拆项添项法)分组分解法完全平方公式平方差公式