2024届青岛第二十六中学高一数学第一学期期末预测试题含解析

2024届青岛第二十六中学高一数学第一学期期末预测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已如集合，，，则（）A. B.C. D.2．函数的定义域是（）A.（-2，] B.（-2，）C.（-2，＋∞） D.（，＋∞）3．若角满足，，则角所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4．将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，则正数的最小值是（）A. B.C. D.5．已知函数的值域是（）A. B.C. D.6．设，若，则的最小值为A. B.C. D.7．已知，求的值（）A. B.C. D.8．已知定义在R上的奇函数满足：当时，.则（）A.2 B.1C.-1 D.-29．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A. B.C D.10．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且满足，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数部分图象如图所示，则函数的解析式为：____________12．函数（且）的图象过定点___________.13．已知满足任意都有成立，那么的取值范围是___________.14．如图，扇形的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角的弧度数为______15．不等式的解集为__________.16．已知点在角的终边上，则___________；三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．对于两个函数：和，的最大值为M，若存在最小的正整数k，使得恒成立，则称是的“k阶上界函数”.（1）若，是的“k阶上界函数”.求k的值；（2）已知，设，，.（i）求的最小值和最大值；（ii）求证：是的“2阶上界函数”.18．已知函数的部分图像如图所示（1）求函数f（x）的解析式，并写出其单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且a、b是方程的两个实数根，试求△ABC的周长及其外接圆的面积19．已知函数fx（1）求实数a的值；（2）当a>0时，①判断fx②对任意实数x，不等式fsin2x+20．为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.（1）当时，求海报纸的面积；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？21．已知是小于9的正整数，，，求（1）（2）（3）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】根据交集和补集的定义可求.【题目详解】，故，故选：C.2、B【解题分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解【题目详解】解：由，解得函数的定义域是故选：B【题目点拨】本题考查函数的定义域及其求法，属于基础题3、C【解题分析】根据，，分别确定的范围，综合即得解.【题目详解】解：由知，是一、三象限角，由知，是三、四象限角或终边在y轴负半轴上，故是第三象限角故选：C4、A【解题分析】图象关于轴对称，则其为偶函数，根据三角函数的奇偶性即可求解.【题目详解】将的图象向左平移个单位后得到，此时图象关于轴对称，则，则，当时，取得最小值故选：A.5、B【解题分析】由于，进而得，即函数的值域是【题目详解】解：因为,所以所以函数的值域是故选：B6、D【解题分析】依题意，，根据基本不等式，有.7、A【解题分析】利用同角三角函数的基本关系，即可得到答案；【题目详解】，故选：A8、D【解题分析】由奇函数定义得，从而求得，然后由计算【题目详解】由于函数是定义在R上的奇函数，所以，而当时，，所以，所以当时，，故.由于为奇函数，故.故选：D.【题目点拨】本题考查奇函数的定义，掌握奇函数的概念是解题关键．9、A【解题分析】求得每个选项中函数的定义域，结合对应关系是否相等，即可容易判断.【题目详解】对于A：，，定义域均为，两个函数的定义域和对应关系都相同，表示同一函数；对于B：的定义域为R，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一函数；对于：的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一函数；对于D：的定义域为，的定义域为或，两个函数的定义域不同，不是同一函数.故选：A.【题目点拨】本题考查函数相等的判断，属简单题；注意函数定义域的求解.10、D【解题分析】先作函数和的图象，利用特殊值验证A错误，再结合对数函数的性质及二次函数的对称性，计算判断BCD的正误即可.【题目详解】作函数和的图象，如图所示：当时，，即，解得，此时，故A错误；结合图象知，，当时，可知是方程，即的二根，故，，端点取不到，故BC错误；当时，，即，故，即，所以，故，即，所以，故D正确.故选：D.【题目点拨】方法点睛：已知函数有零点个数求参数值(取值范围)或相关问题，常先分离参数，再作图象，将问题转化成函数图象的交点问题，利用数形结合法进行分析即可.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】先根据图象得到振幅和周期，即求得，再根据图象过，求得，得到解析式.【题目详解】由图象可知，，故，即.又由图象过，故，解得，而，故，所以.故答案为：.12、【解题分析】由可得图像所过的定点.【题目详解】当时，，故的图像过定点.填.【题目点拨】所谓含参数的函数的图像过定点，是指若是与参数无关的常数，则函数的图像必过.我们也可以根据图像的平移把复杂函数的图像所过的定点归结为常见函数的图像所过的定点（两个定点之间有平移关系）.13、【解题分析】由题意可知，分段函数在上单调递减，因此分段函数的每一段都是单调递减，且左边一段的最小值不小于右边的最大值，即可得到实数的取值范围.【题目详解】由任意都有成立，可知函数在上单调递减，又因，所以，解得.故答案为：.14、【解题分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.【题目详解】由题意，设扇形所在圆的半径为，扇形的弧长为，因为扇形的面积是1，它的弧长是2，由扇形的面积公式和弧长公式，可得，解得，.故答案为2.【题目点拨】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15、【解题分析】由不等式，即，所以不等式的解集为.16、##【解题分析】根据三角函数得定义即可的解.【题目详解】解：因为点在角的终边上，所以.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）（i）时，，；时，，；时，，；（ii）证明部分见解析.【解题分析】（1）先求，的范围，再求的最大值，利用恒成立问题的方式处理；（2）分类讨论对称轴是否落在上即可；先求的最大值，需观察发现最值在取得，不要尝试用三倍角公式，另外的最大值必定在端点或者在顶点处取得，通过讨论的范围，证明即可【小问1详解】时，单调递增，于是，于是，则最大值为，又恒成立，故，注意到是正整数，于是符合要求的为.【小问2详解】（i）依题意得，为开口向上，对称轴为的二次函数，于是在上递减，在上递增，由于，，下分类讨论：当，即时，，；当，即时，，；当，即当，在上递减，，.（ii），则，当，即取等号，，，则，下令，只需说明时，即可，分类如下：当时，，且注意到，此时，显然时，单调递减，于是；当，由基本不等式，，且，，即，此时，而，时，由基本不等式，，故有：综上，时，，即当时，最小正整数【题目点拨】本题综合的考查了分类讨论思想，函数值域的求法等问题，特别是观察分析出的最大值，若用三倍角公式反倒会变得更加复杂.18、（1），（2），【解题分析】（1）根据图像可得及函数的周期，从而求得，然后利用待定系数法即可求得，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的增区间；（2）根据可求得角，利用韦达定理可得，再利用余弦定理可求得边，再利用正弦定理可得外接圆的半径，即可得出答案.【小问1详解】解：由函数图象知，又由函数图象知，所以，得，∴，因为图象过点（0，1），所以，所以，又因为，所以，所以函数f（x）的解析式为，令，则，所以单调递增区间为：；【小问2详解】，结合，则，所以，又由题设，得，所以，所以，∴三角形ABC的周长，∵外接圆的直径，∴，∴外接圆的面积.19、（1）a=1或a=-1（2）①fx在R【解题分析】（1）依题意可得fx（2）①根据复合函数的单调性判断可得；②根据函数的单调性与奇偶性可得sin2x+cosx<2m-3在R上恒成立，由【小问1详解】解：因为函数fx所以fx+f(-x)=0，即可得1+x2+ax则(1-a2)x2【小问2详解】①因为a>0，所以a=1．函数fx=ln因为y=1+x2+x与y=ln②对任意实数x，f(sin2x+由①知函数fx在R可得sin2x+cos因为sin2所以2m-3>54于是正整数m的最小值为320、（1）（2）当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少【解题分析】（1）根据已知条件，先求出梯形长的底边，再分别求出，，即可求解；（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解【小问1详解】宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，则梯形长的