2024届上海市上海中学东校区高一上数学期末统考试题含解析

2024届上海市上海中学东校区高一上数学期末统考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，函数有四个不同的的零点，，，，且，则（）A.a的取值范围是(0,) B.的取值范围是(0,1)C. D.2．给定函数①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数的序号是（）A.①② B.②③C.③④ D.①④3．在内，不等式解集是（）A. B.C. D.4．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题的序号是A.① B.②和③C.③和④ D.①和④5．借助信息技术画出函数和（a为实数）的图象，当时图象如图所示，则函数的零点个数为（）A.3 B.2C.1 D.06．向量“，不共线”是“|+|<||+||”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．函数y＝的单调增区间为A.（-，） B.（，+）C.(－1，] D.[，4）8．若将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为 B.在区间上单调递减C.图象的一条对称轴为直线 D.图象的一个对称中心为9．已知向量，，且，那么（）A.2 B.-2C.6 D.-610．已知，则的最大值为（）A. B.C.0 D.2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数的图象经过定点，若为正整数，那么使得不等式在区间上有解的的最大值是__________.12．化简求值（1）化简（2）已知：，求值13．____.14．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为____.15．若，则____________.16．过点且在轴，轴上截距相等的直线的方程为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知直线经过点和点.（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）若圆的圆心在直线上，并且与轴相切于点，求圆的方程18．已知二次函数满足对任意，都有；；的图象与轴的两个交点之间的距离为.（1）求的解析式；（2）记，（i）若为单调函数，求的取值范围；（ii）记的最小值为，若方程有两个不等的根，求的取值范围.19．已知函数=.（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间；（3）当x，求函数的值域.20．已知不等式的解集是（1）若且，求的取值范围；（2）若，求不等式的解集21．已知函数的图象关于原点对称，且当时，（1）试求在R上的解析式；（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】将问题转化为与有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范围及数量关系，即可判断各选项的正误.【题目详解】有四个不同的零点、、、，即有四个不同的解的图象如下图示，由图知：，所以，即的取值范围是(0,＋∞)由二次函数的对称性得：，因为，即，故故选：D【题目点拨】关键点点睛：将零点问题转化为函数交点问题，应用数形结合判断交点横坐标的范围或数量关系.第II卷2、B【解题分析】根据指对幂函数性质依次判断即可得答案.【题目详解】解：对于①，在上单调递增；对于②，在上单调递减；对于③，时，在上单调递减；对于④，在上单调递增；故在区间上单调递减的函数的序号是②③故选：B3、C【解题分析】根据正弦函数的图象和性质，即可得到结论【题目详解】解：在[0，2π]内，若sinx，则x，即不等式的解集为（，），故选：C【题目点拨】本题主要考查利用三角函数的图象与性质解不等式，考查数形结合的思想，属于基础题4、A【解题分析】结合直线与平面垂直的性质和平行判定以及平面与平面的位置关系，逐项分析，即可.【题目详解】①选项成立，结合直线与平面垂直的性质，即可；②选项，m可能属于，故错误；③选项，m,n可能异面，故错误；④选项，该两平面可能相交，故错误，故选A.【题目点拨】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了平面与平面的位置关系，难度中等.5、B【解题分析】由转化为与的图象交点个数来确定正确选项.【题目详解】令，，所以函数的零点个数即与的图象交点个数，结合图象可知与的图象有个交点，所以函数有个零点.故选：B6、A【解题分析】利用向量的线性运算的几何表示及充分条件，必要条件的概念即得.【题目详解】当向量“，不共线”时，由向量三角形的性质可得“|+|<||+||”成立，即充分性成立，当“，方向相反”时，满足“|+|<||+||”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，故向量“，不共线”是“|+|<||+||”的充分不必要条件.故选：A.7、C【解题分析】令，，（）在为增函数，在上是增函数，在上是减函数；根据复合函数单调性判断方法“同增异减”可知，函数y＝的单调增区间为选C.【题目点拨】有关复合函数的单调性要求根据“同增异减”的法则去判断，但在研究函数的单调性时，务必要注意函数的定义域，特别是含参数的函数单调性问题，注意对参数进行讨论，指、对数问题针对底数a讨论两种情况，分0<a<1和a>1两种情况，既要保证函数的单调性，又要保证真数大于零.8、D【解题分析】根据题意函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数，即可求出最小正周期，把看成是整体，分别求的单调递减区间、对称轴、对称中心，在分别验证选项即可得到答案.【题目详解】由于函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），故函数的解析式为，再将所得图象向左平移个单位长度，.，故A错误；的单调减区间为，故在区间内不单调递减；图象的对称轴为，不存在使得图象的一条对称轴为直线，故C错误；图象的对称中心的横坐标为，当时，图象的一个对称中心为，故D正确.故选：D.9、B【解题分析】根据向量共线的坐标表示，列出关于m的方程，解得答案.【题目详解】由向量，，且，可得:,故选：B10、C【解题分析】把所求代数式变形，转化成，再对其中部分以基本不等式求最值即可解决.【题目详解】时，（当且仅当时等号成立）则，即的最大值为0.故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由可得出，由已知不等式结合参变量分离法可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围，即可得解.【题目详解】由已知可得，则，解得，故，由得，因为，则，可得，令，，则函数在上单调递减，所以，，.因此，正整数的最大值为.故答案：.12、（1）（2）【解题分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）先进行弦化切，把代入即可求解.【小问1详解】.【小问2详解】因为，所以.所以.又，所以.13、.【解题分析】本题直接运算即可得到答案.【题目详解】解：，故答案为：.【题目点拨】本题考查指数幂的运算、对数的运算，是基础题.14、【解题分析】由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，求得的范围【题目详解】解：函数在上单调递增，函数在上单调递增，且，，解得，即，故答案：15、##0.6【解题分析】，根据三角函数诱导公式即可求解.【题目详解】＝.故答案为：.16、或【解题分析】当直线不过原点时设截距式方程；当直线过原点时设,分别将点代入即可【题目详解】由题,当直线不过原点时设,则,所以,则直线方程为,即；当直线过原点时设,则,所以,则直线方程为,即,故答案为:或【题目点拨】本题考查求直线方程,考查截距式方程的应用,截距相同的直线问题,需注意过原点的情况三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）（x+2）2+（y﹣3）2=4【解题分析】（Ⅰ）由两点式，可得直线l的方程；（Ⅱ）利用圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于点，确定圆心坐标与半径，即可求圆C的方程试题解析：（Ⅰ）由已知，直线的斜率，所以，直线的方程为.（Ⅱ）因为圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为，因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上.所以.所以圆心坐标为，半径为4.所以，圆的方程为.考点：直线、圆的方程18、（1）；（2）（i）；（ii）或.【解题分析】（1）根据二次函数的对称轴、求参数a、b、c，写出的解析式；（2）（i）利用二次函数的性质，结合的区间单调性求的取值范围；（ii）讨论、、，结合二次函数的性质求最小值的表达式，再令并应用数形结合的方法研究的零点情况求的取值范围.【题目详解】（1）设由题意知：对称轴，，又，则，，设的两根为，，则，，由已知：，解得.（2）（i），其对称轴为为单调函数，或，解得或.的取值范围是.（ii），，对称轴①当，即时，区间单调递增，.②当，即时，在区间单调递减，③当，即时，，函数零点即为方程的根令，即，作出的简图如图所示①当时，，或，解得或，有个零点；②当时，有唯一解，解得，有个零点；③当时，有两个不同解，，解得或，有4个零点；④当时，，，解得，有个零点；⑤当时，无解，无零点综上：当或时，有个零点.【题目点拨】关键点点睛：第二问，（i）分类讨论并结合二次函数区间单调性求参数范围，（ii）分类讨论求最小值的表达式，再应用换元法及数形结合求参数范围.19、（1）；（2）；（3）.【解题分析】（1）根据正弦型函数周期的计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）令，即可求得函数的单调递增区间；（3）由求得，结合正弦函数的性质求得其的最值，即可得到函数的值域.【小问1详解】由解析式可知：最小正周期为.【小问2详解】由解析式，令，解得，∴的单调递增区间为.【小问3详解】当，可得，结合正弦型函数的性质得：当时，即时，函数取得最大值，最大值为；当时，即时，函数取得最小值，最小值为，∴函数的值域为.20、（1）（2）【解题分析】（1）根据且知道满足不等式，不满足不等式，解出即可得出答案（2）根据知道是方程的两个根，利用韦达定理求出a值，再带入不等式，解出不等式即可【题目详解】（1）（2）∵，∴是方程的两个根，∴由韦达定理得解得∴不等式即为：其解集为【题目点拨】本题考查元素与集