北京市东城区2024届数学高一上期末调研模拟试题含解析

北京市东城区2024届数学高一上期末调研模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．“两个三角形相似”是“两个三角形三边成比例”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2．函数，则的大致图象是（）A. B.C. D.3．若是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∈[0，＋∞)且（），则()A. B.C. D.4．函数的零点个数是A.0 B.1C.2 D.35．某集团校为调查学生对学校“延时服务”的满意率，想从全市3个分校区按学生数用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本．已知3个校区学生数之比为，如果最多的一个校区抽出的个体数是60，那么这个样本的容量为（）A. B.C. D.6．已知，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.7．若方程x2+ax+a=0的一根小于﹣2，另一根大于﹣2，则实数a的取值范围是（）A.（4，+∞） B.（0，4）C.（﹣∞，0） D.（﹣∞，0）∪（4，+∞）8．函数在区间上的最大值为A.1 B.4C.-1 D.不存在9．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于()A. B.C. D.10．将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到的函数图象关于轴对称，则的值可以是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，且函数恰有两个不同零点，则实数的取值范围是___________.12．已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________.13．已知关于的方程在有解，则的取值范围是________14．已知一组样本数据5、6、a、6、8的极差为5，若，则其方差为________.15．若集合，则满足的集合的个数是___________.16．已知，，则________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边在直线上.（1）求的值；（2）求值18．已知函数fx=ax+b⋅a-x（（1）判断函数fx（2）判断函数fx在0,+（3）若fm-3不大于b⋅f2，直接写出实数条件①：a>1，b=1；条件②：0<a<1，b=-1.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.19．已知函数.（1）在平面直角坐标系中画出函数的图象；（不用列表，直接画出草图．（2）根据图象，直接写出函数的单调区间；（3）若关于的方程有四个解，求的取值范围20．设函数是定义域为R的奇函数.（1）求；（2）若，求使不等式对一切恒成立的实数k的取值范围；（3）若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在上的最大值为2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.21．计算：（1）；（2）若，求的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】根据相似三角形性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【题目详解】根据相似三角形的性质得，由“两个三角形相似”可得到“两个三角形三边成比例”，即充分性成立；反之：由“两个三角形三边成比例”可得到“两个三角形相似”，即必要性成立，所以“两个三角形相似”是“两个三角形三边成比例”的充分必要条件.故选：C.2、D【解题分析】判断奇偶性，再利用函数值的正负排除三个错误选项，得正确结论【题目详解】，为偶函数，排除BC，又时，，时，，排除A，故选：D3、B【解题分析】，有当时函数为减函数是定义在上的偶函数即故选4、C【解题分析】将原问题转化为函数交点个数的问题即可确定函数的零点个数.【题目详解】函数的零点个数即函数与函数交点的个数，绘制函数图象如图所示，观察可得交点个数为2，则函数的零点个数是2.本题选择C选项.【题目点拨】本题主要考查函数零点的定义，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5、B【解题分析】利用分层抽样比求解.【题目详解】因为样本容量为，且3个校区学生数之比为，最多的一个校区抽出的个体数是60，所以，解得，故选：B6、D【解题分析】对A，B，C，利用特殊值即可判断，对D，利用不等式的性质即可判断.【题目详解】解：对A，令，，此时满足，但，故A错；对B，令，，此时满足，但，故B错；对C，若，，则，故C错；对D，，则，故D正确.故选：D.7、A【解题分析】令，利用函数与方程的关系，结合二次函数的性质，列出不等式求解即可.【题目详解】令，∵方程的一根小于，另一根大于，∴，即，解得，即实数的取值范围是，故选A.【题目点拨】本题考查一元二次函数的零点与方程根的关系，数形结合思想在一元二次函数中的应用，是基本知识的考查8、C【解题分析】根据题干知，可画出函数图像，是开口向下的以y轴为对称轴的二次函数，在上单调递减，故最大值在1处取得得到-1.故答案为C9、C【解题分析】，，即①，同理可得②，①+②得，故选C考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算10、C【解题分析】首先求平移后的解析式，再根据函数关于轴对称，当时，，求的值.【题目详解】函数的图象沿轴向右平移个单位后的解析式是，若函数图象关于轴对称，当时，，解得：，当时，.故选：C【题目点拨】本题考查函数图象变换，以及根据函数性质求参数的取值，意在考查基本知识，属于基础题型.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】作出函数的图象，把函数的零点转化为直线与函数图象交点问题解决.【题目详解】由得，即函数零点是直线与函数图象交点横坐标，当时，是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当时，是增函数，函数值为一切实数，在坐标平面内作出函数的图象，如图，观察图象知，当时，直线与函数图象有2个交点，即函数有2个零点，所以实数的取值范围是：.故答案为：12、【解题分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果【题目详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形的面积，解得：，此扇形所含的弧长.故答案为：.13、【解题分析】将原式化为，然后研究函数在上的值域即可【题目详解】解：由，得，令，令，因为，所以，所以，即，因为，所以函数可化为，该函数在上单调递增，所以，所以，所以，所以的取值范围是，故答案为：14、2【解题分析】根据极差的定义可求得a的值，再根据方差公式可求得结果.【题目详解】因为该组数据的极差为5，，所以，解得.因为，所以该组数据的方差为故答案为：.15、4【解题分析】求出集合，由即可求出集合的个数【题目详解】因为集合，，因为，故有元素0，3，且可能有元素1或2，所以或或或故满足的集合的个数为，故答案为：16、【解题分析】根据已知条件求得的值，由此求得的值.【题目详解】依题意，两边平方得，而，所以，所以.由解得，所以.故答案为：【题目点拨】知道其中一个，可通过同角三角函数的基本关系式求得另外两个，在求解过程中要注意角的范围.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或；（2）或；【解题分析】（1）在直线上任取一点，由已知角的终边过点，利用诱导公式与三角函数定义即可求解，要注意分类讨论m的正负.（2）先利用商的关系化简原式为，结合第一问利用三角函数定义分别求得与，要注意分类讨论m的正负.【题目详解】（1）在直线上任取一点，由已知角的终边过点，，，利用诱导公式与三角函数定义可得：，当时，；当时，（2）原式同理（1）利用三角函数定义可得：，当时，，，此时原式；当时，，，此时原式；【题目点拨】易错点睛：本题考查三角函数化简求值，解本题时要注意的事项：角的终边在直线上，但未确定在象限，要分类讨论，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.18、（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析【解题分析】（1）定义域均为R，代入f-x化简可得出与fx的关系，从而判断奇偶性；（2）利用定义任取x1，x2∈0，+∞，且x1【小问1详解】解：选择条件①：a>1，函数fxfx的定义域为R，对任意x∈R，则-x∈R因为f-x所以函数fx是偶函数选择条件②：0<a<1，函数fxfx的定义域为R，对任意x∈R，则-x∈R因为f-x所以函数fx是奇函数【小问2详解】选择条件①：a>1，fx在0，任取x1，x2∈因为a>1，所以ax所以f==ax所以fx在0，选择条件②：0<a<1，fx在0，+∞任取x1，x因为0<a<1，所以ax所以f=ax所以fx在0，【小问3详解】选择条件①：a>1，实数m的取值范围是-5，选择条件②：0<a<1，实数m的取值范围是-∞19、（1）作图见解析；（2）增区间为和；减区间为和；（3）.【解题分析】（1）化简函数的解析式为分段函数，结合二次函数的图象与性质，即可画出函数的图象；（2）由（1）中的图象，直接写出函数的单调区间；（3）把方程有四个解等价于函数与的图象有四个交点，利用函数的图象，即可求解.【题目详解】（1）由题意，函数，所以的图象如右图所示：（2）由（1）中的函数图象，可得函数的单调增区间为和，单调减区间为和.（3）由方程有四个解等价于函数与的图象有四个交点，又由函数的最小值为，结合图象可得，即实数的取值范围20、（1）（2）（3）【解题分析】（1）根据是定义域为R的奇函数，由求解；（2），得到b的范围，从而得到函数的单调性，将对一切恒成立，转化为对一切恒成立求解；（3）根据函数的图象过点，求得b，得到，令，利用复合函数求最值的方法求解.【小问1详解】解：函数是定义域为R的奇函数，所以，解得，此时，满足；【小问2详解】因为，所以，解得，所以在R上是减函数，等价于，所以，即，又因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，所以，解得，所以实数