广东省中山纪念中学2024届高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

广东省中山纪念中学2024届高一数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．土地沙漠化的治理，对中国乃至世界来说都是一个难题，我国创造了治沙成功案例——毛乌素沙漠.某沙漠经过一段时间的治理，已有1000公顷植被，假设每年植被面积以20%的增长率呈指数增长，按这种规律发展下去，则植被面积达到4000公顷至少需要经过的年数为（）（参考数据：取）A.6 B.7C.8 D.92．已知，，三点，点使直线，且，则点D的坐标是(

)A. B.C. D.3．已知函数，则下列选项中正确的是（）A.函数是单调增函数B.函数的值域为C.函数为偶函数D.函数的定义域为4．函数的最大值为（）A. B.C. D.5．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是（

）A.1：3 B.1：（）C.1：9 D.6．已知命题，，则命题否定为（）A.， B.，C.， D.，7．已知函数，若，则实数a的值为（）A.1 B.－1C.2 D.－28．下列函数值为的是（）A.sin390° B.cos750°C.tan30° D.cos30°9．某市中心城区居民生活用水阶梯设置为三档，采用边际用水量确定分档水量为:第一档水量为240立方米/户年及以下部分；第二档水量为240立方米/户年以上至360立方米/户年部分(含360立方米/户年)；第三档水量为360立方米/户年以上部分.家庭常住人口在4人(不含4人)以上的多人口户，凭户口簿，其水量按每增加一人各档水量递增50立方米/年确定.第一档用水价格为2.1元/立方米；第二档用水价格为3.2元/立方米；第三档用水价格为6.3元/立方米.小明家中共有6口人，去年整年用水花费了1602元，则小明家去年整年的用水量为（）.A.474立方米 B.482立方米C.520立方米 D.540立方米10．已知向量满足，且，若向量满足，则的取值范围是A. B.C D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围为_______12．已知扇形的半径为4，圆心角为，则扇形的面积为___________.13．函数的零点个数为_________.14．若，则________15．已知，若，则__________.16．已知函数，若正实数，满足，则的最小值是____________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量m＝(cos，sin)，n＝(2＋sinx，2－cos)，函数＝m·n，x∈R.(1)求函数的最大值；(2)若且＝1，求值.18．函数（其中）的图像如图所示.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值.19．已知，且函数是奇函数.（1）求实数a的值；（2）判断函数的单调性，并证明.20．已知集合且（1）若，求的值;（2）若，求实数组成的集合21．若关于的不等式的解集为（1）求的值；（2）求不等式的解集.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】根据题意列出不等式，利用对数换底公式，计算出结果.【题目详解】经过年后，植被面积为公顷，由，得.因为，所以，又因为，故植被面积达到4000公顷至少需要经过的年数为8.故选：C2、D【解题分析】先设点D的坐标，由题中条件，且，建立D点横纵坐标的方程，解方程即可求出结果.【题目详解】设点,则由题意可得：,解得，所以D点坐标为.【题目点拨】本题主要考查平面向量，属于基础题型.3、D【解题分析】应用换元法求的解析式，进而求其定义域、值域，并判断单调性、奇偶性，即可知正确选项.【题目详解】由题意，由，则，即.令，则∴，其定义域为不是偶函数，又故不单调增函数，易得，则，∴.故选：D4、C【解题分析】先利用辅助角公式化简，再由正弦函数的性质即可求解.【题目详解】，所以当时，取得最大值，故选：C5、B【解题分析】平行于底面的平面截圆锥可以得到一个小圆锥，利用它的底面与原圆锥的底面的面积之比得到相应的母线长之比，故可得截面分母线段长所成的两段长度之比.【题目详解】设截面圆的半径为，原圆锥的底面半径为，则，所以小圆锥与原圆锥的母线长之比为，故截面把圆锥母线段分成的两段比是.选B.【题目点拨】在平面几何中，如果两个三角形相似，那么它们的面积之比为相似比的平方，类似地，在立体几何中，平行于底面的平面截圆锥所得的小圆锥与原来的圆锥的底面积之比为，体积之比为（分别为小圆锥的底面半径和原圆锥的底面半径）.6、D【解题分析】根据全称命题的否定是特称命题形式，直接选出答案.【题目详解】命题，，是全称命题，故其否定命题为：，，故选：D.7、B【解题分析】首先求出的解析式，再根据指数对数恒等式得到，即可得到方程，解得即可；【题目详解】解：根据题意，，则有，若，即，解可得，故选：B8、A【解题分析】由诱导公式计算出函数值后判断详解】，，，故选：A9、D【解题分析】根据题意，建立水费与用水量的函数关系式，即可求解.【题目详解】设小明家去年整年用水量为x，水费为y.若时，则；若时，则；若时，则.令，解得：故选：D10、B【解题分析】由题意利用两个向量加减法的几何意义，数形结合求得的取值范围.【题目详解】设，根据作出如下图形，则当时，则点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，且结合图形可得，当点与重合时，取得最大值；当点与重合时，取得最小值所以的取值范围是故当时，的取值范围是故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由已知结合分段函数的性质及一次函数的性质，列出关于a的不等式，解不等式组即可得解.【题目详解】因为函数是R上的减函数所以需满足，解得，即所以实数a的取值范围为故答案为：12、【解题分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积【题目详解】根据扇形的弧长公式可得，根据扇形的面积公式可得故答案为：13、3【解题分析】作出函数图象，根据函数零点与函数图象的关系，直接判断零点个数.【题目详解】作出函数图象，如下，由图象可知，函数有3个零点（3个零点分别为，0，2）.故答案为：314、##0.5【解题分析】利用诱导公式即得.【题目详解】∵，∴.故答案为：.15、【解题分析】由已知先求得，再求得，代入可得所需求的函数值.【题目详解】由已知得，即，所以，而，故答案为.【题目点拨】本题考查函数求值中的给值求值问题，关键在于由已知的函数值求得其数量关系，代入所需求的函数解析式中，可得其值，属于基础题.16、9【解题分析】根据指数的运算法则，可求得，根据基本不等式中“1”的代换，化简计算，即可得答案.【题目详解】由题意得，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是9故答案为：9三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)f(x)的最大值是4(2)－【解题分析】（1）先由向量数量积坐标表示得到函数的三角函数解析式，再将其化简得到f（x）=4sin(x∈R)，最大值易得；（2）若且＝1，，解三角方程求出符合条件的x的三角函数值，再有余弦的和角公式求的值【题目详解】(1)因为f(x)＝m·n＝cosx(2＋sinx)＋sinx·(2－cosx)＝2(sinx＋cosx)＝4sin(x∈R)，所以f(x)的最大值是4.(2)因为f(x)＝1，所以sin＝.又因为x∈，即x＋∈.所以cos＝－cos＝cos.＝coscos－sinsin＝－×－×＝－.【题目点拨】本题考查平面向量的综合题18、(Ⅰ)；(Ⅱ)最大值为1，最小值为0.【解题分析】(Ⅰ)由图象可得，从而得可得，再根据函数图象过点，可求得，故可得函数的解析式．(Ⅱ)根据的范围得到的范围，得到的范围后可得的范围，由此可得函数的最值试题解析：（Ⅰ）由图像可知，，∴，∴.∴又点在函数的图象上，∴，，∴，，又，∴∴的解析式是（Ⅱ）∵,∴∴，∴，∴当时，函数取得最大值为1；当时，函数取得最小值为0点睛：根据图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)的方法(1)根据函数图象的最高点或最低点可求得A；(2)ω由周期T确定，即先由图象得到函数的周期，再求出T(3)φ的求法通常有以下两种：①代入法：把图象上的一个已知点代入解析式(此时，A，ω，B已知)求解即可，此时要注意交点在上升区间还是下降区间②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的零点作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝19、（1）（2）在上是减函数，证明见解析【解题分析】（1）直接由解出，再把代入检验；（2）直接由定义判断单调性即可.【小问1详解】因为，函数奇函数，所以，解得.此时，，，满足题意.故.【小问2详解】在上是减函数.任取，，则，由∴，故在上是减函数.20、（1），（2）【解题分析】（1）由得，，求得，再求得，从而得集合，最后可得值；（2）求得集合，由分类讨论可得值【小问1详解】因，，且，，所以，，所以