2024届甘肃省庆阳长庆中学高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

2024届甘肃省庆阳长庆中学高一数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知集合，，则A.或 B.或C. D.或2．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（）（参考数据：）A.分钟 B.分钟C.分钟 D.分钟3．已知条件，条件，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4．在下列图象中，函数的图象可能是A. B.C. D.5．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是（）A.2 B.1＋C.2＋ D.1＋6．C，S分别表示一个扇形的周长和面积，下列能作为有序数对取值的是（）A. B.C. D.7．已知是两条直线，是两个平面，则下列命题中正确的是A. B.C. D.8．下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数是（）A. B.C. D.9．已知的部分图象如图所示，则的表达式为A.B.C.D.10．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且满足，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若不等式的解集为，则不等式的解集为______.12．在中，三个内角所对的边分别为，，，，且，则的取值范围为__________13．已知奇函数满足，，若当时，，则______14．设是定义在上且周期为2的函数，在区间上,其中.若，则的值是____________.15．若，，，则的最小值为____________.16．设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知定义在R上的函数满足：①对任意实数x，y，都有；②对任意（1）求；（2）判断并证明函数的奇偶性；（3）若，直接写出的所有零点（不需要证明）18．△ABC中，A（3，－1），AB边上的中线CM所在直线方程为：6x＋10y－59=0，∠B的平分线方程BT为：x－4y＋10=0，求直线BC的方程.19．已知平面直角坐标系内两点A（4，0），B（0，3）.（1）求直线AB方程；（2）若直线l平行于直线AB，且到直线AB的距离为2，求直线l的方程.20．如图，正方体的棱长为1，CB′∩BC′＝O，求：（1）AO与A′C′所成角的度数；（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）证明平面AOB与平面AOC垂直.21．如图，在底面是正方形的四棱锥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点.（1）求证：；（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由；（3）当二面角的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】进行交集、补集的运算即可．【题目详解】；，或故选A．【题目点拨】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2、D【解题分析】由已知条件得出，，，代入等式，求出即可得出结论.【题目详解】由题知，，，所以，，可得，所以，，.故选：D.3、B【解题分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断【题目详解】由，得，即，由，得，即推不出，但能推出，∴p是q的必要不充分条件.故选：B4、C【解题分析】根据函数的概念，可作直线从左向右在定义域内移动，得到直线与曲线的交点个数，即可判定.【题目详解】由函数的概念可知，任意一个自变量的值对应的因变量的值是唯一的，可作直线从左向右在定义域内移动，得到直线与曲线的交点个数是0或1，显然A、B、D均不满足函数的概念，只有选项C满足.故选：C.【题目点拨】本题主要考查了函数概念，以及函数的图象及函数的表示，其中解答中正确理解函数的基本概念是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用.5、B【解题分析】根据圆心到直线的距离加上圆的半径即为圆上点到直线距离的最大值求解出结果.【题目详解】因为圆心为，半径，直线的一般式方程为，所以圆上点到直线的最大距离为：，故选：B【题目点拨】本题考查圆上点到直线的距离的最大值，难度一般.圆上点到直线的最大距离等于圆心到直线的距离加上圆的半径，最小距离等于圆心到直线的距离减去半径.6、B【解题分析】设扇形半径为，弧长为，则，，根据选项代入数据一一检验即可【题目详解】设扇形半径为，弧长为，则，当，有，则无解，故A错；当，有得，故B正确；当，有，则无解，故C错；当，有，则无解，故D错；故选：B7、D【解题分析】A不正确，因为n可能在平面内；B两条直线可以不平行；C当m在平面内时，n此时也可以在平面内．故选项不对D正确，垂直于同一条直线的两个平面是平行的故答案为D8、D【解题分析】根据基本初等函数的单调性以及单调性的性质、函数奇偶性的定义逐一判断四个选项【题目详解】对于A：为偶函数，在定义域上不是增函数，故A不正确；对于B：为奇函数，在上单调递增，但在定义域上不是增函数，故B不正确；对于C：既不是奇函数也不是偶函数，故C不正确；对于D：，所以是奇函数，因为是上的增函数，故D正确；故选：D9、B【解题分析】由图可知，，所以，所以，又当，即，所以，即，当时，，故选.考点：三角函数的图象与性质.10、D【解题分析】先作函数和的图象，利用特殊值验证A错误，再结合对数函数的性质及二次函数的对称性，计算判断BCD的正误即可.【题目详解】作函数和的图象，如图所示：当时，，即，解得，此时，故A错误；结合图象知，，当时，可知是方程，即的二根，故，，端点取不到，故BC错误；当时，，即，故，即，所以，故，即，所以，故D正确.故选：D.【题目点拨】方法点睛：已知函数有零点个数求参数值(取值范围)或相关问题，常先分离参数，再作图象，将问题转化成函数图象的交点问题，利用数形结合法进行分析即可.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由三个二次的关系求，根据分式不等式的解法求不等式的解集.【题目详解】∵不等式的解集为∴，是方程的两根，∴，∴可化为∴∴不等式的解集为，故答案为：.12、【解题分析】∵，，且，∴，∴,∴在中，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴∴∴的取值范围为答案：13、【解题分析】由，可得是以周期为周期函数，由奇函数的性质以及已知区间上的解析式可求值，从而计算求解.【题目详解】因为，即是以周期为的周期函数.为奇函数且当时，，，当时，所以故答案为：14、##-0.4【解题分析】根据函数的周期性及可得的值，进而利用周期性即可求解的值.【题目详解】解：因为是定义在上且周期为2的函数，在区间上,所以，，又，即，解得，所以，故答案为：.15、9【解题分析】“1”的代换法去求的最小值即可.【题目详解】（当且仅当时等号成立）则的最小值为9故答案为：916、【解题分析】考点：该题主要考查平面向量的概念、数量积的性质等基础知识，考查数学能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）为偶函数，证明见解析（3）【解题分析】（1）令，化简可求出，（2）令，则，化简后结合函数奇偶性的定义判断即可，（3）利用赋值求解即可【小问1详解】令，则，，得或，因对任意，所以【小问2详解】为偶函数证明：令，则，得，所以为偶函数【小问3详解】令，则，因为，所以，当时，，当时，，当时，，当时，，……，所以即当时，，所以函数的零点为18、.【解题分析】设则的中点在直线上和点在直线上,得,求得,再根据到角公式，求得，进而求得直线的方程试题解析：设则的中点在直线上,则,即…①,又点在直线上,则…②联立①②得,,有直线平分,则由到角公式得,得的直线方程为:.19、（1）（2）或【解题分析】（1）由直线方程的两点式可求解；（2）根据直线的平行关系及平行直线之间的距离公式可求解.【小问1详解】∵A（4，0），B（0，3）由两点式可得直线AB的方程为，即.【小问2详解】由（1）可设直线l：，∴，解得或.∴直线l的方程为或.20、（1）30°（2）（3）见解析【解题分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求AO与A′C′所成角的度数；（2）利用向量法求AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）证明平面AOB与平面AOC的法向量垂直.【题目详解】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），O（），（1，0，1），C′（0，1，1），（，1，），（﹣1，1，0），设AO与A′C′所成角为θ，则cosθ，∴θ＝30°，∴AO与A′C′所成角为30°.（2）∵（），面ABCD的法向量为（0，0，1），设AO与平面ABCD所成角为α，则sinα＝|cos|，cosα，∴tanα.∴AO与平面ABCD所成角的正切值为.（3）C（0，1，0），（），（0，1，0），（﹣1，1，0），设平面AOB的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，0，1），设平面AOC的法向量（a，b，c），则，取a＝1，得（1，1，﹣1），∵1+0﹣1＝0，∴平面AOB与平面AOC垂直.【题目点拨】本题主要考查空间角的求法和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21、（1）见解析（2）GEC中点（3）【解题分析】试题分析：（1）要证：BD⊥FG，先证BD⊥平面PAC即可；（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，FG∥平面PBD内的一条直线即可；（3）利用向量数量积求解法向量，然后转化求出PC与底面ABCD所成角的正切值解析：（1）（2）当GEC中点，即时,FG//平面PBD理由如下：连接PE，F为PC中点，G为EC中点，FG//PEFG//平面P