2023学年完整公开课版数列

14:231复习与提问：1、等差数列的定义：

定义的符号表示：2、等差数列的通项公式：3、等差中项：a，A，b成等差数列，则

A=（a+b）/2an=a1+（n-1）d等差数列an+1-an=d

一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列.14:232实例1、观察细胞分裂的过程：构成数列：1，2，4，8，…古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭。14:233木棒每天的长度构成一个数列：实例2：实例3：一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：14:234120202203…①1，2，4，8，…②③1，20，202，203…14:235共同特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。思考：以下数列有什么共同特点？14:2362.4等比数列14:237定义等比数列：从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数如果一个数列，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示.即：(q常数)（n≥2）14:238(1)1，3，9，27，…(3)5，5，5，5，…(4)1，-1，1，-1，…(2)(5)1，0，1，0，…

练习

判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公比q,如果不是，说明理由。是是是是a1=1,q=3a1=5,q=1a1=1,q=-1不是14:239(6)0，0，0，0，…(7)1,a,a2,a3,…(8)x0,x,x2,x3,…(9)1，2，6，18，…不是不是小结：判断一个数列是不是等比数列，主要是由定义进行判断：a1=x0,q=x是不是看是不是同一个常数？14:2310注意：(2)公比q一定是由后项比前项所得，而不能用前项比后项来求，且q≠0；(1)等比数列｛an｝中,an≠0；(3)若q＝1，则该数列为常数列．

(4)常数列a,a,a,a,

…时,既是等差数列，又是等比数列;时,只是等差数列，而不是等比数列.对公比q的探究：:（a1﹥0）当0﹤q﹤1时，等比数列{an}为递减数列；当q﹥1时，等比数列{an}为递增数列；

当q=1时，等比数列{an}为常数列；当q﹤0时，等比数列{an}为摆动数列。14:2311公比q<0时，等比数列呈现怎样的特点？正负交替思考1：思考2：有无数列是既等比又等差？等比中项14:2312观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：（1）1，，9（2）-1，，-4（3）-12，，-3（4）1，，1±3±2±6±1在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。14:2313思考：-1和10是否存在等比中项，是的话如何计算？

对a，b的要求：a，b要同号。14:231414:2315

如果等比数列{}的首项是,公比是,那么这个等比数列的第项如何表示?

当n=1时，（等比数列通项公式），…，∵∴…14:2316如何对其加以严格的证明呢？想一想？证明：将等式左右两边分别相乘可得：化简得：即：此式对n=1也成立∵，…，…………∴累乘法推导14:2317已知数列{an}为等比数列，其首项为a1

，公比为q，则其通项公式为：通项公式从通项公式，想象一下等比数列的图象是怎么样的吗？14:2318o12345612345678等比数列通项公式的图象表示:14:2319等比数列通项公式的变形已知等比数列的公比为q,第m项为,求.14:2320全优1基础夯实范例讲解14:2321例3、已知等比数列｛an｝中，a5=20,a15=5,求a20.解：由a15=a5q10，得14:2322把③代入①，得把②的两边分别除以①的两边，得解：设这个等比数列的第1项是，公比是，那么①②例3、一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.③14:2323通项公式

数学式子表示定义等比数列

等差数列名称如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示an+1-an=dan=a1+（n-1）d如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示14:23243．已知三个数成等比数列，积为27，和为13，求这三个数．∴这三个数为1,3,9或9,3,1.全优1变式训练14:2325【例2】

三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．解：设所求之数为a－d，a，a＋d，则由题设得∴所求三数为3,5,7.全优2典例剖析14:2326解设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.a4＝a3q＝2q，全优1能力提升14:23274．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为(

)A．16

B．27

C．36

D．81解析由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∵a3＋a4＝q2(a1＋a2)∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.全优2限时规范训练14:2328它是一个与n无关的常数，

所以是一个以为公比的等比数列例4已知是项数相同的等比数列，是等比数列.求证证明:设数列

首项为

,公比为;

首项为

,公比为

那么数列的第n项与第n+1项分别为：即为14:2329练习：课本53页3练习：课本53页A组314:23302．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．证明：∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.∴an＋1＝2an.又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.又由an＋1＝2an知an≠0，∴{an}是等比数列．∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.全优1变式训练14:23312．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6等于(

)A．31.5

B．160

C．79.5

D．159.5解析：1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1，∴1＋2a6＝5·25.全优1基础夯实14:2332(1)证明：因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，故a1＋1≠0，由上式易知an＋1≠0，全优1典例剖析14:2333所以an＋1＝2×2n－1，所以an＝2n－1.全优1典例剖析14:2334全优2能力提升14:2335全优1限时规范训练14:2336在等比数列｛an｝中，若已知某一项为am,公比为q,求该数列的任意项an。等比数列通项公式的推广公式：

an＝amqn-m（am≠0,an≠0,m,n∈N*）14:2337探究1等比数列性质14:2338探究2等比数列判定（中项公式法）练习：课本53页414:2339全优2基础夯实14:2340全优2限时规范训练14:2341全优2基础夯实14:2342全优2能力提升14:2343全优2基础夯实14:2344报纸能比泰山高吗？14:2345泰山:1545m(1)假设我们有一张足够大的报纸.(设报纸厚度是a米).先把报纸对折一次,这时纸张的厚度是报纸单页的2倍.即2a米14:2346我们做个折纸实验(2)我们再将报纸对折一次,纸张的厚度变为:4a米即2a米第三次再对折后报纸的厚度是:8a米即2a米14:2347折纸实验

(3) 三次折叠,报纸厚度分别是:2a米,2a米,2a米我们猜想,继续这样折叠,报纸的厚度会是一组等比数列:2a,2a,2a,2a,2a,2a…(4)假设报