信号与系统第三章1

第3章系统的时域分析线性非时变系统的描述及特点连续时间LTI系统的响应离散时间LTI系统的响应冲激响应表示的系统特性

线性非时变系统的描述连续时间系统的数学描述如图为一RLC串联电路，求电容C两端的电压U(t)与输入电压源x(t)的关系。i(t)解：设回路中电路流为i(t),列写回路电流方程为：代入，得：线性非时变系统的描述离散时间系统的数学描述某人从当月起每月初到银行存款x[k]元，月息为r.设第k月初的总存款数为y[k]元，试写出描述总存款数y[k]与月存款数x[k]关系的方程式。解：第k月初的总存款数为以下三项之和：第月初之前的总存款数y[k-1],第k月初存入的款数x[k]，第k月初之前的利息ry[k-1],所以y[k]=(1+r)y[k-1]+x[k]

线性非时变系统的描述及特点线性非时变(LTI)系统的描述既具有线性特性又具有非时变特性的系统称为线性非时变系统，简称LTI系统。线性特性：齐次性（均匀性、比例性）、叠加性非时变特性：输出要跟随输入的变化而变化。线性非时变的连续时间系统与线性非时变的离散时间系统是系统理论的核心与基础。描述连续时间系统的数学模型是微分方程，描述离散时间系统的数学模型是差分方程。线性非时变系统的描述及特点

连续LTI系统用n阶常系数线性微分方程描述ai、

bj为常数。

离散LTI系统用n阶常系数线性差分方程描述ai、

bj为常数。线性非时变(LTI)系统的描述线性非时变系统的描述及特点线性非时变系统的特点由于LTI系统具有线性特性和非时变特性，还具有:(1)微分特性或差分特性若T{x(t)}=y(t)则若T{x[k]}=y[k]则T{x[k]

-x[k-1]}=y[k]

-y[k-1](2)积分特性或求和特性：若T{x(t)}=y(t)则若T{x[k]}=y[k]则[例]

已知LTI系统在x1(t)激励下产生的响应为y1(t)，试求系统在x2(t)激励下产生的响应y2(t)。解：从x1(t)和x2(t)图形可以看得出，x2(t)与x1(t)存在以下关系根据线性非时变性质，y2(t)与y1(t)之间也存在同样的关系

连续时间LTI系统的响应一、响应时域求解方法简介二、连续时间系统的零输入响应三、连续时间系统的零状态响应四、冲激响应五、卷积积分一、响应时域求解方法简介经典法和卷积法经典法：求解微分方程响应时域求解方法:

微分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成

齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定。

特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定。[例1]

已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始条件y(0)=1,y'(0)=2,输入信号x(t)=e-t

u(t)，求系统的完全响应y(t)。特征根为齐次解yh(t)解:(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征方程为t>0[例1]

已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始条件y(0)=1,y'(0)=2,输入信号x(t)=e-t

u(t)，求系统的完全响应y(t)。解:(2)求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=x(t)的特解yp(t)由输入x(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Ce-t将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。t>0[例1]

已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始条件y(0)=1,y'(0)=2,输入信号x(t)=e-t

u(t)，求系统的完全响应y(t)。解:(3)求方程的全解解得

A=5/2，B=-11/6由(1)若初始条件不变，输入信号x(t)=sint

u(t)，则系统的完全响应y(t)=？(2)若输入信号不变，初始条件y(0)=0,y'(0)=1,则系统的完全响应y(t)=？讨论经典法不足之处(1)若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。(2)若激励信号发生变化，则需全部重新求解。(3)若初始条件发生变化，则需全部重新求解。(4)这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。一、响应时域求解方法简介经典法和卷积法响应时域求解方法:经典法：求解微分方程卷积法：系统完全响应=零输入响应+零状态响应求解齐次微分方程得到零输入响应利用卷积积分可求出零状态响应二、系统的零输入响应定义：系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。

数学模型:

求解方法：

(1)根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式

(2)再由初始状态确定待定系数。

齐次解yh(t)的形式(3)特征根是成对共轭复根二、系统的零输入响应(1)特征根是不等实根(2)特征根是等实根解:

系统的特征方程为[例2]

已知某线性时不变系统的动态方程式为:y"(t)+5y'(t)+6y(t)=4x(t),t>0

系统的初始状态为y(0-)=1，y'(0-)=3，求系统的零输入响应yzi(t)。系统的特征根为由y(0-)=yzi(0-)=K1+K2=1y'(0-)=y'zi(0-)=-2K1-3K2=3解得

K1=6，K2=-5[例3]

已知某线性时不变系统的动态方程式为:

y"(t)+4y'(t)+4y(t)=3x(t),t>0

系统的初始状态为y(0-)=2，y'(0-)=-1，求系统的零输入响应yzi(t)。解:

系统的特征方程为系统的特征根为（两相等实根）由y(0-)=yzi(0-)=K1=1y'(0-)=y'

zi(0-)=-2K1+K2=3解得

K1=2,K2=3[例4]

已知某线性时不变系统的动态方程式为：

y"(t)+2y'(t)+5y(t)=4x(t),t>0

系统的初始状态为y(0-)=1