第二十五讲直线方程及圆的方程解析版

第二十五讲：直线方程、圆的方程【考点梳理】直线的方程倾斜角、斜率，五种直线方程（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）两直线关系平行、垂直圆的方程（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径直线与圆的位置关系几何法、代数法（相离、相切、相交）两圆的位置关系设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210【典型题型讲解】考点一：直线的方程【典例例题】例1.若一次函数所表示直线的倾斜角为，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】的斜率为即故选：D．例2.下列四个命题中真命题有_________个．①经过定点的直线都可以用方程表示；②经过任意两点的直线都可以用方程表示；③不经过原点的直线都可以用方程表示；④经过定点的直线都可以用方程表示．【答案】1【解析】①由于直线过定点，当直线斜率存在时，可用方程表示，当直线斜率不存在时，方程是，①不正确；②当时，经过任意两个不同的点的直线方程是，满足方程，当时，经过任意两个不同的点的直线的斜率是，则直线方程是，整理得，②正确；③当直线斜率不存在时，不经过原点的直线方程是，不可以用方程表示，当直线的斜率存在时，不经过原点的直线可以用方程表示，③不正确；④当直线斜率不存在时，经过点的直线方程是，不可以用方程表示，当直线的斜率存在时，经过点的直线可以用方程表示，④不正确，所以给定的4个命题中，真命题只有1个.故答案为：1例3.已知，，则满足的的值是（

）A． B．0 C．或0 D．或0【答案】C【解析】由可得，得或，当时，，，符合题意；当时，，，符合题意；故满足的的值为0或．故选：C．例4.直线和直线垂直，则实数__________．【答案】0或1【解析】因直线和直线垂直，则有，即，解得或，所以或．故答案为：0或1【方法技巧与总结】熟记直线方程的公式【变式训练】1.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2【答案】D【解析】直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故选:D.2.已知集合，集合，，则的取值范围是（

）A． B．且C．且 D．且且【答案】C【解析】集合表示直线上去掉点所构成的两条射线，在方程中，令可得，集合表示过定点且斜率存在的直线，由得两直线斜率不同，则，解得．故选：C.3.已知直线恒过定点A，点A在直线上，其中m、n均为正数，则的最小值为（

）A．4 B． C．8 D．【答案】C【解析】由，得．∴直线恒过定点，即，∵点A在直线上，∴，∴，当且仅当，即时取等号．∴的最小值为：8．故选:C．4.“”是“直线与直线垂直”的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】直线与直线垂直，则，解得：或，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件．故选：B．5.已知直线：．（1）求经过的定点坐标；（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；②当取最小值时，求直线的方程．【解析】（1）由可得：，由可得，所以经过的定点坐标；（2）直线：，令可得；令，可得，所以，由可得：，①的面积，当且仅当即时等号成立，的最小值为，此时直线的方程为：即；②设直线的倾斜角为，则，可得，，所以，令，因为，可得，，，将两边平方可得：，所以，所以，因为在上单调递增，所以，所以，此时，可得，所以，所以直线的方程为.考点二：圆的方程【典例例题】例1．（2022·广东·金山中学高三期末）“”是“点在圆外”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】将化为标准方程，得当点在圆外时，有，解得∴“”是“点”在圆外”的必要不充分条件.故选：B.例2．（2022·广东清远·高三期末）直线被圆截得的最短弦长为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】将圆化为一般方程为，因此可知圆C的圆心为，半径为4，因为直线l过定点，所以当圆心到直线l的距离为时，直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为．故选：D例3．（2022·广东·金山中学高三期末）（多选）已知点，若过点的直线交圆：于，两点，是圆上一动点，则（

）A．的最小值为 B．到的距离的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为【答案】ABD【详解】如图，当直线与轴垂直时，有最小值，且最小值为，所以A正确；设，则，所以，所以的最小值为，所以C错误；当，，三点共线时，最大，且最大值为，所以D正确；当直线与垂直时，到的距离有最大值，且最大值为，所以B正确.故选：ABD【方法技巧与总结】关于圆的切线的几个重要结论（1）过圆上一点的圆的切线方程为．（2）过圆上一点的圆的切线方程为（3）过圆上一点的圆的切线方程（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．【变式训练】1．（2022·广东广州·二模）已知抛物线，圆，直线与交于A、B两点，与交于M、N两点，若，则(

)A． B． C． D．【答案】B【详解】由得，，设，，∵，∴，∵过抛物线的焦点(1，0)，故AB为焦点弦，∴，∴，∴，解得，由圆关于x轴对称可知，k＝1和k＝－1时相同，故不妨取k＝1，l为y＝x－1，即x－y－1＝0，圆心(2，1)到l的距离，∴﹒故选：B．2．（2022·广东湛江·二模）已知直线与圆相交于A，B两点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：圆的圆心为，半径，因为直线与圆相交于、两点，且，所以圆心到直线的距离，即，解得（舍去）或；故选：B3．（2022·广东梅州·二模）已知直线与圆交于、两点，若为等边三角形，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，由题意可知，圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，解得.故选：D.4．（2022·广东肇庆·二模）在中，，，，点D是线段AB上的动点﹐以D为圆心、AD长为半径的圆与线段BC有公共点，则半径AD的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【详解】如图，当圆与BC相切时，半径AD最小，设此时半径，所以，解得，故选:A．5．（2022·广东·珠海市第三中学二模）已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可知，圆是圆心为原点，半径为的圆，抛物线的准线方程为，由于抛物线的准线方程与圆相切，则，解得.故选：B.6．（2022·广东韶关·二模）已知直线与圆交于A、B两点，若则a=（

）A．5 B． C． D．【答案】B【详解】由题知是等腰直角三角形，由及勾股定理得点O到直线的距离是，故，解得．故选：B．7．（2022·广东茂名·二模）（多选）已知a>0，圆C：，则（

）A．存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切B．存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等C．存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点D．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分【答案】ACD【详解】由条件可知，圆C的半径为1，圆心坐标为（a，lna），即圆心在曲线y＝lnx上运动．对于A，当a＝1时，圆C与y轴相切，当，即a＝e或时，圆C与x轴相切，所以满足要求的a有3个，A正确；对于B，若圆C在x轴和y轴上截得的线段相等，则圆心到x轴和y轴的距离相等，故圆心在上，又圆心在y＝lnx上，作图可知曲线y＝lnx与y＝x没有公共点，与y＝-x有一个交点，所以满足要求的a仅有一个，B错误；对于C，若圆C过坐标原点，则，如下图可知，曲线y＝lnx与有两个交点，所以满足要求的a有2个，C正确；对于D，若圆C的面积被直线平分，则直线经过圆心（a，lna），计算可知曲线y＝lnx在x＝e处的切线恰好为，即满足要求的a仅有一个，故D正确．故选：ACD.8．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）（多选）下列说法错误的是（

）A．“”是“直线与直线互相垂直”的充分必要条件B．直线的倾斜角的取值范围是C．若圆与圆有且只有一个公共点，则D．若直线与曲线有公共点，则实数b的取值范围是【答案】AC【详解】对于A,当时，与直线互相平行，即“”不是“直线与直线互相垂直”的充分条件，故A错误；对于B,直线的倾斜角满足，故，故B正确；对于C，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，两圆有且只有一个公共点，则两圆外切或内切，则或，解得或，故C错误；对于D,曲线可化为，表示以为圆心，半径为的半圆，如图示：直线与曲线有公共点，则直线与圆相切或过点(0,3),当直线和圆相切时，，解得，当直线过点(0,3)时，，则数b的取值范围是，故D正确，故选：AC9．（2022·广东深圳·二模）（多选）P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则（

）A．弦长的最小值为 B．存在点P，使得C．直线经过一个定点 D．线段的中点在一个定圆上【答案】ACD【详解】解：依题意，即，设，则为的中点，且，所以，所以，，又，所以，，所以，，故A正确，B不正确；设，则，所以以为直径的圆的方程为，则，即，所以直线的方程为，所以直线过定点，故C正确；又，，所以的中点在以为直径的圆上，故D正确；故选：ACD10.（2022·广东·二模）若直线和直线将圆的周长四等分，则__________．【答案】2【详解】设直线和圆相交与点，直线与圆相交于点，圆心为，因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间，且,所以为等腰直角三角形，所以圆心为到直线的距离为，同理可得圆心为到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，所以，故答案为：2.【巩固练习】一、单选题1．已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，如图所示，显然当P运动到坐标原点时，有最小值，最小值为原点到直线的距离，即，故选：D2．已知圆O：，已知直线l：与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直线l：，即，所以直线过定点，，圆半径，点在圆内，所以当直线与垂直的时候，最短，此时．故选：C．3．已知圆截直线所得的弦长为，则圆C与圆的位置关系是（

）A．相离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】C【解析】圆C的圆心为，半径为a，其圆心到直线的距离为，所截得的弦长为，解得．所以，C的圆心为，半径为2；又的圆心为，半径为1，，故可得，则两圆的位置关系是相交．故选：．4．设，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，，，即．点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．若直线上存在点Q使得，则PQ为圆的切线时最大，如图，，即．圆心到直线的距离，或．故选：B．5．点M为直线上一点，过点M作圆O：的切线MP，MQ，切点分别为P，Q，当四边形MPOQ的面积最小时，直线PQ的方程为（

）A．x＋y－2＝0 B．C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0【答案】A【解析】因为直线MP，MQ与圆O：相切，切点为，所以，，所以四边形MPOQ的面积，又，所以，所以当取最小值时，四边形MPOQ的面积最小，又当且仅当与直线垂直时，取最小值，所以当与直线垂直时，四边形MPOQ的面积最小，此时直线的方程为，联立可得，所以点的坐标为，因为，所以四点共圆，圆的直径为,该圆的圆心为，半径为，所以该圆的方程为：，又在圆上，所以为两圆的公共弦，所以的方程为：故选：A.二、多选题6．已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（

）A．圆的圆心为 B．圆的半径为5C．圆被轴截得的弦长为6 D．圆被轴截得的弦长为6【答案】BD【解析】因为，所以圆的圆心为，半径为，故A错误，B正确．对选项C，圆心到轴的距离为，所以圆被轴截得的弦长为，故C错误；对选项D，圆心到轴的距离为，所以圆被轴截得的弦长为，故D正确．故选：BD7.已知圆被轴分成两部分的弧长之比为，且被轴截得的弦长为4，当圆心到直线的距离最小时，圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】设圆心为，半径为，圆被轴分成两部分的弧长之比为，则其中劣弧所对圆心角为，由圆的性质可得，又圆被轴截得的弦长为4，∴，∴，变形为，即在双曲线上，易知双曲线上与直线平行的切线的切点为，此点到直线有距离最小．设切线方程为，由，消法得，∴，解得，时，，时，，即切点为或，半径为，∴圆的方程为或．故选：AB8．已知点是圆上的任意一点，直线，则下列结论正确的是（

）A．直线与圆的位置关系只有相交和相切两种B．圆的圆心到直线距离的最大值为C．点到直线距离的最小值为D．点可能在圆上【答案】ACD【解析】对于A选项，因为直线的方程可化为．令解得，所以直线过定点，直线是过点的所有直线中除去直线外的所有直线，圆心到直线的