云南省“3+3+3”2023届高三高考备考诊断性联考（三）数学试题

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一、单选题

1.若是纯虚数，则（）

A．

B．

C．

D．1

2.设集合，，则（）

A．

B．

C．

D．

3.近期，我国多地纷纷进入“甲流”高发期，某地、两所医院因发热就诊的患者中分别有、被确诊为“甲流”感染，且到医院就诊的发热患者人数是到医院的四倍.现从到这两所医院就诊的发热患者中任选一人，则此人未感染“甲流”的概率是（）

A．0.785

B．0.666

C．0.592

D．0.235

4.若向量，则在上的投影向量为（）

A．

B．

C．

D．

5.在3世纪，古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当是地，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

6.如图，已知半径为、母线长为的圆锥的侧面展开图是半圆，在其内部作一个半径为、母线长为的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上），若圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为，则（）

A．

B．

C．

D．

7.设函数在上的导数存在，且，则当时，（）

A．

B．

C．

D．

8.若，则（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

9.为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（）

A．频率分布直方图中的值为0.02

B．这100名学生中体重低于60千克的人数为80

C．估计这100名学生体重的众数为57.5

D．据此可以估计该校学生体重的分位数约为

10.下列说法错误的是（）

A．若直线不平行于平面，，则内不存在与平行的直线

B．若平面平面，平面平面，，则

C．设为直线，在平面内，则“”是“且”的充分不必要条件

D．若平面平面，平面平面，则平面与平面所成的二面角和平面与平面所成的二面角相等或互补

11.在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“”为“正余弦函数”.对于“正余弦函数”，下列结论中正确的是（）

A．将图象向右平移个单位长度，得到的图象关于原点对称

B．在区间上的所有零点之和为

C．在区间上单调递减

D．在区间上有且仅有5个极大值点

12.在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则（）

A．异面直线与所成角的正切值为

B．点为正方形内一点，当平面时，的最小值为

C．过点，，的平面截正方体所得的截面周长为

D．当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为

三、填空题

13.已知为等差数列的前项和.若，，则当取最小值时，的值为________.

14.某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于47至53之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到99.74%，则需调整生产技能，使得至多为________.（参考数据：若，则）

15.已知抛物线上有一点，过点作圆的两条切线分别交抛物线于两点（异于点），则直线的斜率为________.

16.设函数，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是________.

四、解答题

17.已知数列有递推关系，，记，若数列的递推式形如（且），也即分子中不再含有常数项.

(1)求实数的值；

(2)证明：为等比数列，并求其首项和公比.

18.已知函数在上单调，且.

(1)求的解析式；

(2)若钝角的内角的对边分别是，且，，求周长的最大值.

19.某商场在周年庆活动期间为回馈新老顾客，采用抽奖的形式领取购物卡.该商场在一个纸箱里放15个小球（除颜色外其余均相同）：3个红球、5个黄球和7个白球，每个顾客不放回地从中拿3次，每次拿1个球，每拿到一个红球获得一张类购物卡，每拿到一个黄球获得一张类购物卡，每拿到一个白球获得一张类购物卡.

(1)已知某顾客在3次中只有1次抽到白球的条件下，求至多有1次抽到红球的概率；

(2)设拿到红球的次数为，求的分布列和数学期望.

20.如图，在三棱台中，，分别为，的中点，侧面为等腰梯形.

(1)证明：平面平面；

(2)记二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

21.如图，已知椭圆的上、下顶点为，右顶点为，离心