高中数学教材分析讲座课件第五章-三角函数

“第五章三角函数”教材介绍

新中国教育出版事业从这里开始……人民教育出版社中学数学室刘长明“第五章三角函数”教材介绍

新中国教育出版事业从这里开始…第五章三角函数一、本章内容安排二、本章编写思考三、本章教学建议第五章三角函数一、本章内容安排一、本章内容安排1.内容要求与学业要求（1）三角函数是一类最典型的周期函数．在高中数学课程中，《课程标准（2017年版）》把三角函数内容安排在必修课程“主题二函数”中，把“函数概念与性质”“幂函数、指数函数、对数函数”“三角函数”“函数应用”视为一个整体．本章“三角函数”内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用．一、本章内容安排1.内容要求与学业要求一、本章内容安排（2）根据《课程标准（2017年版）》的规定，学生通过本章学习，能借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；能用几何直观和代数运算的方法得到三角函数的周期性、奇偶性、单调性和最大（小）值等性质，以及三角函数之间的一些恒等关系；能利用三角函数构建数学模型，解决实际问题，从而重点在数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模等素养上得到提升．一、本章内容安排（2）根据《课程标准（2017年版）》的规定一、本章内容安排2.知识结构框图一、本章内容安排2.知识结构框图一、本章内容安排3.内容安排（1）现实世界中普遍存在着周而复始的现象，对这些现象中变量关系和规律的抽象，就形成本章的研究对象——三角函数，因此本章学习可以有力地促进学生数学抽象素养的发展．本章学习的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，以及前面建立的函数一般概念，幂函数、指数函数、对数函数的研究经验．单位圆是研究三角函数的重要工具，借助它的直观，可以使学生更好地理解三角函数的概念和性质，从而发展学生的直观想象素养．一、本章内容安排3.内容安排一、本章内容安排三角恒等变换与学生熟悉的代数恒等变形有较大的不同，可用的公式多、变化灵活，可以有效促进学生的数学运算、逻辑推理等素养的发展．

三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科（特别是物理、地理）有紧密联系，因此本章的学习对发展学生的数学建模素养很有作用．一、本章内容安排三角恒等变换与学生熟悉的代数恒一、本章内容安排（2）为了加强三角函数学习的目的性，本章采用月相变化图为章头图，在章引言中列举了一些现实世界中具有周期性变化的现象，然后明确“这些现象都可以用三角函数刻画”．这样的安排使得三角函数的作用体现得更加清楚，也能使学生更加明确学习三角函数的意义．一、本章内容安排（2）为了加强三角函数学习的目的性，本章采用一、本章内容安排（3）在本章开始，教科书首先通过体操中的转体、齿轮旋转等实际问题引出角的概念的推广问题；然后借助具体例子，将初中学过的角的概念推广到任意角，在此基础上引出象限角概念、终边相同的角的表示（可以看成是象限角的性质）．一、本章内容安排（3）在本章开始，教科书首先通过体操中的转体明确两个任意角的差，实际上为后面两角差的余弦公式的推导也做好了铺垫。角的范围扩展到任意角后，角的运算的意义也随之得到扩展．初中学过角的和、差和倍角，角的运算中不考虑方向，两角差只考虑“大角减小角”．角的范围扩充后，不仅可以“小角减大角”，而且两角和也被赋予了全新的意义．明确两个任意角的差，实际上为后面两角差的余弦公式的推导也做好一、本章内容安排对于弧度制，教科书首先通过类比长度、质量等的不同度量制，引出弧度制，给出1弧度的定义；然后探究得到弧度数的绝对值公式，并得出弧度与角度的换算方法．任意角和弧度制的引入，建立了角的集合与实数集的一一对应关系，为学习任意角的三角函数奠定了基础．一、本章内容安排对于弧度制，教科书首先通过类比长度、质量等的一、本章内容安排（4）任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点．终边上点的“坐标比”定义三角函数能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有不利影响。本章利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数．一、本章内容安排（4）任意角的三角函数可以有不同的定义方法，一、本章内容安排首先，圆周运动是周期性变化现象的典型，而单位圆上点的圆周运动又不失一般性，这个过程可以理解为一个数学抽象过程；第二，这个定义清楚地表明了正弦函数、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系；第三，如果α是弧度数，即∠xOP=αrad，那么正弦函数、余弦函数就是关于任意实数α的函数，这时的自变量和函数值都是实数，这就与函数的一般概念完全一致．一、本章内容安排首先，圆周运动是周期性变化现象的典型，而单位基于上述理由，利用单位圆定义三角函数可以更好地反映三角函数的本质，也正是三角函数的这种形式决定了它们在数学中的重要性．事实上，后续的内容，特别是在微积分中，最常用的是弧度制以及弧度制下的三角函数．三角函数概念的建构过程与前面各类基本初等函数概念的建构过程都不一样．幂函数、指数函数等是通过具体实例的共性归纳而抽象出来的，而三角函数概念是直接由单位圆上点的运动规律的描述得到的．建构三角函数的概念，是一个数学化的过程，是一个在一般函数概念指导下的探究活动，其思路是先确认“这样的对应关系是函数”，然后给出形式化定义．基于上述理由，利用单位圆定义三角函数可以更好地反映三角函数的上述处理方法与以往有较大的区别，为什么做出这样的改变呢？显然，理解三角函数的定义，关键是明确它的对应关系．用单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数，与学生的已有经验有较大的距离．前面学习的函数，其解析式都有明确的运算含义．三角函数对应关系则“与众不同”，主要表现在不以“代数运算”为媒介．以前遇到的y=kx+b，y=ax2+bx+c，y=logax等，都有“运算”的背景，而三角函数是“α与x，y直接对应”，无须计算．虽然α，x，y都是实数，但实际上是“几何元素之间的对应”．所以在“对应关系”的认识上必须采取措施破除定势，帮助学生搞清三角函数的“三要素”，特别是要先明确“给定一个角，如何得到对应的函数值”的操作过程，然后再给定义．这是在一般函数概念引导下的“下位学习”，不仅使三角函数定义的引入自然而水到渠成，而且由三角函数对应关系的独特性，可以使学生再一次认识函数的本质．上述处理方法与以往有较大的区别，为什么做出这样的改变呢？一、本章内容安排当然，这个定义与人们熟悉的用角的终边上点的“坐标比”来定义是等价的，这正是教科书在5.2.1中安排例2的原因．由例２可知，只要知道角α终边上任意一点犘的坐标，就可以求得角α的各个三角函数值，并且这些函数值不会随犘点位置的改变而改变．一、本章内容安排当然，这个定义与人们熟悉的用角的终边上点的“一、本章内容安排（5）对称性是圆的重要性质，诱导公式与圆的对称性有密切联系．教科书借助单位圆，先引导学生讨论了α±π，-α，π/2±α这些角的终边与角α的终边之间的对称关系，然后根据三角函数定义导出所有诱导公式．一、本章内容安排（5）对称性是圆的重要性质，诱导公式与圆的对高中数学教材分析讲座课件第五章-三角函数高中数学教材分析讲座课件第五章-三角函数一、本章内容安排（6）正弦、余弦函数按照“从函数的定义到作函数图象，再到讨论函数性质，最后到函数模型应用”的顺序展开，这一顺序与研究其他函数的顺序一致．另外，把周期性作为第一条性质，目的是为了体现它的重要性．对于正切函数，先利用诱导公式、单位圆讨论性质，然后再利用性质作图象，这样做的目的是为了使学生体会可以从不同角度讨论函数性质．一、本章内容安排（6）正弦、余弦函数按照“从函数的定义到作函高中数学教材分析讲座课件第五章-三角函数高中数学教材分析讲座课件第五章-三角函数一、本章内容安排（7）三角恒等变换过去是单独的一章内容，现在是整个三角函数体系中的一个重要环节．三角恒等变换中的和、差角公式体现了圆的旋转对称性．首先利用圆的旋转对称性质推导两角差的余弦公式然后导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式进而导出二倍角的正弦、余弦、正切公式试教反馈：学生43人中有41人认为这样处理比现行教材中的推导方法更简单，更直观明了，与初中衔接更好，赞同这种推导方法。一、本章内容安排（7）三角恒等变换过去是单独的一章内容，现在高中数学教材分析讲座课件第五章-三角函数可以发现，6个诱导公式都可以看成是公式C(α-β)中当α或β取特殊值时的情况，即诱导公式反映的是圆的特殊对称性．例如公式一，反映的是单位圆上的任意一个点，旋转2kπ（k∈Z），仍然回到原来的位置；公式二反映的是单位圆上的任意一个点关于原点的对称点（或旋转π）仍然在单位圆上；等等．可以发现，6个诱导公式都可以看成是公式C(α-β)中当α或β一、本章内容安排（8）与以往教材比较，对函数的研究有实质性变化。为了使学生了解参数A，ω，φ的实际意义，教科书先安排了实际问题情境，通过数学建模得到三角函数模型

，然后再对它的图象与性质展开研究。由于涉及的参数有3个，因此本章引导学生结合参数的实际意义，先讨论某个参数对图象的影响（其余参数相对固定），再综合考虑三个参数的影响的方法安排内容。一、本章内容安排（8）与以往教材比较，对函数的研究有实质性变高中数学教材分析讲座课件第五章-三角函数高中数学教材分析讲座课件第五章-三角函数高中数学教材分析讲座课件第五章-三角函数高中数学教材分析讲座课件第五章-三角函数高中数学教材分析讲座课件第五章-三角函数高中数学教材分析讲座课件第五章-三角函数前后衔接，使学生进一步体会三角恒等变换的意义。前后衔接，使学生进一步体会三角恒等变换的意义。一、本章内容安排（9）“三角函数的应用”主要以举例的方式说明三角函数模型的应用方法．安排本节内容的目的是要让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，使学生体会三角函数的价值和作用，增强应用意识，同时还要使学生加深理解有关知识．一、本章内容安排（9）“三角函数的应用”主要以举例的方式说明高中数学教材分析讲座课件第五章-三角函数一、本章内容安排4.课时安排本章教学时间约需24课时，具体分配如下：5.1任意角和弧度制

约2课时5.2三角函数的概念

约3课时5.3诱导公式

约2课时5.4三角函数的图象与性质

约4课时5.5三角恒等变换

约6课时5.6函数y=Asin(ωx+φ)约2课时5.7三角函数的应用

约2课时小结

约3课时

一、本章内容安排4.课时安排二、本章编写思考1.注重三角函数内容的整体性，体现内容之间的有机衔接《课程标准（2017年版）》加强了函数内容和三角函数内容的整体性．教科书按照“事实（周期性现象）—角与弧度—数学对象（三角函数的定义）—图象与性质（周期性、单调性、奇偶性、最大值与最小值等）—三角恒等变换—联系—应用”的结构来展开。与原教科书相比，这样的设计使三角函数内容的整体性更强．二、本章编写思考1.注重三角函数内容的整体性，体现内容之间的二、本章编写思考《课程标准（2017年版）》对教科书的章节设计提出了“三个关注”的要求，即：关注同一主线内容的逻辑关系，关注不同主线内容之间的逻辑关系，关注不同数学知识所蕴含的通性通法、数学思想．本章在修订过程中特别注意改进原教科书在内容衔接上的缺陷，努力落实“三个关注”．二、本章编写思考《课程标准（2017年版）》对教科书的章节设二、本章编写思考2.充分体现三角函数作为刻画一类现实世界周期变化现象的数学模型的思想，提升学生的数学建模素养教科书在开篇语中列举了大量现实世界中的周期变化现象，这些周期现象有着不同的变化规律，需要用不同的函数来刻画，而三角函数是刻画其中一类具有周期变化规律的重要数学模型。这样可以使学生在三角函数的学习之初就明确三角函数的地位和作用．二、本章编写思考2.充分体现三角函数作为刻画一类现实世界周期二、本章编写思考为了加强数学模型思想，教科书专门设置了“三角函数的应用”一节，通过典型实例，引导学生经历分析实际问题，建立三角函数模型、用三角函数模型解决问题的基本过程，以使学生更好地体会三角函数在解决周期变化现象时的作用．例如，5.7节的例2由给出的潮起潮落的变化数据，通过作散点图、选择函数模型、建立函数模型并用得到的函数模型解决有关问题，这是一个比较完整的建立三角函数模型解决实际问题的过程．通过这样的例子，可以使学生经历用三角函数刻画一些典型的周期现象的过程．二、本章编写思考为了加强数学模型思想，教科书专门设置了“三角二、本章编写思考3.注重发挥单位圆的作用，提升学生的直观想象素养在本章，从三角函数的定义方法可以看出，三角函数与圆有着直接的联系．事实上，任意角、任意角的三角函数、三角函数的性质、同角三角函数的关系式、诱导公式、三角函数的图象等，都可以借助单位圆得到认识，这也是人们把三角函数称作“圆函数”的原因．在三角函数的研究中，借助单位圆的几何直观是非常重要的手段，而且这也是使学生领会数形结合思想，学会数形结合地思考和解决问题的好机会．二、本章编写思考3.注重发挥单位圆的作用，提升学生的直观想象原教材为“下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表”，表述的变化可以更好地体现模型情境的真实性。原教材T为12时，现T改为12.4时，与现实情况更加一致。增加驶到深水域的时间，与实际更加符合。原教材为“下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表”，表述二、本章编写思考为了发挥单位圆的作用，教科书在引进弧度制时就给出单位圆概念，然后直接由单位圆引出三角函数定义．在后续内容的处理中，始终以单位圆作为一个载体．二、本章编写思考为了发挥单位圆的作用，教科书在引进弧度制时就二、本章编写思考又如，两角差的余弦公式的推导，教科书利用单位圆的旋转对称性进行推导．这样，以单位圆的几何直观为纽带，将三角恒等变换与整个三角函数内容融为一体．首先以单位圆的圆心为顶点、x轴的非负半轴为始边画出角α，β，α－β；然后根据三角函数的定义写出角α，β，α－β的始边和终边与单位圆的交点A，P1，A1，P的坐标；接下来，利用圆的旋转对称性，得到等量关系：AP=A1P1；最后根据两点间的距离公式得到两角差的余弦公式．二、本章编写思考又如，两角差的余弦公式的推导，教科书利用单位二、本章编写思考4.突出数学思想方法，在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导通过类比长度、重量的不同度量单位引入弧度制；联系一般函数性质的研究思路引出研究三角函数性质的思路；在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决中体现了数形结合思想的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透观察、类比、推广、特殊化、化归等思考方法．二、本章编写思考4.突出数学思想方法，在类比、推广、特殊化等二、本章编写思考5.通过问题引导学生主动思维，使学生得到思维训练例如，在众多三角公式的学习中，教科书紧紧围绕三角函数的定义，借助单位圆，以栏目为载体，构建了这样一条问题链：（1）根据定义，直接得出“公式一”；（2）以“探究公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢”引导学生探究同角三角函数的基本关系；二、本章编写思考5.通过问题引导学生主动思维，使学生得到思维二、本章编写思考（3）以“利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系．我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性”为引导，设置连续的“探究”栏目，让学生探究角的终边与单位圆的交点关于原点对称、关于x轴（或y轴）对称、关于直线y=x对称等条件下，相应的三角函数值之间的关系；二、本章编写思考（3）以“利用圆的几何性质，得到了同角三角函二、本章编写思考（4）以“观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和（或差）的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系．如果把特殊角换为任意角β，那么任意角α与β的和（或差）的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢”为引导，并具体化为“探究如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α－β的正弦、余弦吗”，让学生自主探索两角和与差的三角函数．二、本章编写思考（4）以“观察诱导公式，可以发现它们都是特殊二、本章编写思考整体上看，上述栏目设计体现了“问题引导学习”的理念，从诱导公式的来龙去脉中，通过推广、特殊化等方式环环相扣地给出了一条观察事物（情境）、提出问题、分析问题、解决问题的线索，把学生的思维活动逐步引向深入，帮助学生在获得“四基”的过程中，逐步提高“四能”，发展数学实践能力及创新意识，培育科学精神，促进学生学会学习．我们认为，这样的设计是使学生发展数学学科核心素养这一理念切实落地的有力举措．二、本章编写思考整体上看，上述栏目设计体现了“问题引导学习”三、本章教学建议1.把握本章内容的主要变化(1)弧度制：强调引入弧度制的必要性，加强了用初中已学的弧长与半径的关系解释弧度制定义的合理性。(2)三角函数的定义：直接从建立周期现象的数学模型出发，利用单位圆上点的坐标定义三角函数，然后再建立与锐角三角函数的联系。(3)正弦线、余弦线和正切线：根据《课程标准（2017年版）》的设置，删除正弦线、余弦线和正切线。三、本章教学建议1.把握本章内容的主要变化三、本章教学建议(4)诱导公式：从单位圆关于原点、坐标轴、直线y=x等的对称性出发探究诱导公式，即通过把圆的对称性“代数化”，获得诱导公式。(5)正弦函数的图象：体现函数图象与三角函数定义之间内在的逻辑联系——图象是函数的一种表示法，先根据定义画出任意一点，掌握了任意一点的作法原理后，通过选择具体的、足够多的点进行描点，最后借助技术描任意多的点，连续成线画三角函数的图象，这里加强了信息技术的应用。三、本章教学建议(4)诱导公式：从单位圆关于原点、坐标轴、直三、本章教学建议(6)三角恒等变换：一以贯之地强调单位圆的作用，两角差的余弦公式利用圆的旋转对称性导出。(7)函数y=Asin(ωx+φ)：为体现数学建模的过程，在本节的开始先借助筒车运动的实际背景探究匀速圆周运动的函数模型，体现函数y=Asin(ωx+φ)的现实背景；然后借助信息技术研究参数A，ω，φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响；最后以摩天轮为实际背景，应用这个模型解决典型的周期性变化的实际问题。三、本章教学建议(6)三角恒等变换：一以贯之地强调单位圆的作三、本章教学建议(8)三角函数的应用：体现三角函数应用的层次性，有关三角函数应用的问题大致分成三类：第一类是匀速圆周运动的问题，如筒车匀速圆周运动的问题；第二类是弹簧振子、交变电流等物理学中的周期性现象的刻画；第三类是现实生活中仅在一定范围内呈现出近似于周期变化的问题，如温度随时间呈周期性变化的问题、港口海水深度随时间呈周期性变化的问题．三、本章教学建议(8)三角函数的应用：体现三角函数应用的层次三、本章教学建议2.加强单元教学设计，注重局部范围内知识的系统化单元教学设计是以教科书为基础，用系统论的方法对教科书中“具有某种内在关联性”的内容进行分析、重组、整合并形成相对完整的教学单元，在教学整体观的指导下将教学诸要素有序规划，以优化教学效果的教学设计．单元教学设计具有使局部范围内的知识系统化的优点，因此有利于学生构建条理清楚、层次分明的整体认知结构．三、本章教学建议2.加强单元教学设计，注重局部范围内知识的系三、本章教学建议本章共24个课时，包含任意角、弧度制、三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换等诸多内容，是一个“大章”．对于内容较多的大章来说，如何处理好整体和局部的关系是教学中的一个难点．鉴于本章内容的特点，在教学中应认真分析各个部分内容的特点，考虑单元教学设计，并通过单元教学设计促进学生形成良好的整体认知结构．三、本章教学建议本章共24个课时，包含任意角、弧度制、三角函三、本章教学建议例如，“5.2三角函数的概念”一节包含的内容有：三角函数的概念，三角函数的基本性质：三角函数值的符号、诱导公式一、同角三角函数的基本关系．把这些内容作为一个单元，可以得到如下框图．三、本章教学建议例如，“5.2三角函数的概念”一节包含的内三、本章教学建议根据上面的框图，可以对单元内容进行划分，同时给出课时：

第一部分，三角函数的概念（1课时）；

第二部分，三角函数的基本性质（1课时）；

第三部分，概念和性质的简单应用（1课时）．接下来，可以进行单元教学设计的细化工作，完成单元分析工作（“内容和内容解析”“目标和目标解析”“教学问题诊断分析”“教学支持条件分析”）和单元重组、整合工作（“教学过程设计”），最终形成完整的教学设计．三、本章教学建议根据上面的框图，可以对单元内容进行划分，同时三、本章教学建议又如，“5.4.1正弦函数、余弦函数的图象”“5.4.2正弦函数、余弦函数的性质”两小节包含的内容有：正弦函数、余弦函数图象的画法，正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最大值与最小值．把这两小节内容作为一个单元，可以得到如下框图．三、本章教学建议又如，“5.4.1正弦函数、余弦函数的图象三、本章教学建议同样地，根据框图可以对单元内容进行划分，同时给出课时：

第一部分，形成研究思路，并画出正弦函数、余弦函数的图象（1课时）；

第二部分，研究正弦函数、余弦函数的性质（1课时）；

第三部分，正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用（1课时）．与前面的案例类似，在此基础上可以形成完整的单元教学设计．三、本章教学建议同样地，根据框图可以对单元内容进行划分，同时三、本章教学建议3.加强与其他学科的联系，借助信息技术形象化地说明周期变化本章内容与其他学科有紧密联系．由于学生缺乏某些学科知识，因此在教学中要注意借助信息技术形象化地说明周期变化．例如，在“三角函数的应用”问题1的教学中，弹簧振子的变化规律可以利用信息技术制成动画进行描述．三、本章教学建议3.加强与其他学科的联系，借助信息技术形象化高中数学教材分析讲座课件第五章-三角函数三、本章教学建议4.强调数学思想方法，提升学生的数学核心素养《课程标准（2017年版）》指出：数学学科核心素养是“四基”的继承和发展，“四基”是发展学生数学学科核心素养的有效载体．数学思想方法包含“基本思想”和“基本技能”中蕴含的思想方法，因此，数学思想方法是“四基”的重要组成部分，是发展学生数学学科核心素养的有效载体．三、本章教学建议4.强调数学思想方法，提升学生的数学核心素养三、本章教学建议从数学思想方法看，本章的重点是数学抽象思想、模型思想和数形结合思想．教学中应当充分利用章引言提供的情境，引导学生从“刻画一类周期现象的重要数学模型”的角度来认识三角函数，使学生从学习之初就建立起从数学模型的角度看三角函数的意识．为了更好地体现数形结合思想，教学中要充分发挥单位圆的作用，并且要注意逐渐使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯，引