第三章-3.1.3《空间向量的数量积运算》

3.1.3空间向量的数量积运算学习目标1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．知识点一空间向量数量积的概念思考如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的数量积？并总结求两个向量数量积的方法．解∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2).求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算．梳理(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)空间向量的夹角①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.知识点二空间向量的数量积的性质两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)④|a·b|≤|a|·|b|类型一空间向量的数量积运算例1已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))1；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))1；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))1.解如图，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA,\s\up6(→))1＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))1＝b·[eq\f(1,2)(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16.(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－a＋\f(1,2)b))·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－a＋\f(1,2)b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋a))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋a))＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,4)|b|2＝2.反思与感悟两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量．零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律．跟踪训练1已知正四面体OABC的棱长为1，求：(1)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))；(2)|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|.解(1)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OC,\s\up6(→)))＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.(2)|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→))2\o(\s\up7(),\s\do5()))＝eq\r(\o(OA,\s\up6(→))2＋\o(OB,\s\up6(→))2＋\o(OC,\s\up6(→))2＋2\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→))＋\o(OA,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→))\o(\s\up7(),\s\do5()))＝eq\r(12＋12＋12＋21×1×cos60°×3)＝eq\r(6).类型二利用数量积求夹角例2BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角．解如图所示．∵eq\o(BA,\s\up6(→))1＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BB,\s\up6(→))1，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(BA,\s\up6(→))1·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BB,\s\up6(→))1)·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB,\s\up6(→))1·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB,\s\up6(→))1·eq\o(BC,\s\up6(→)).因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(BB,\s\up6(→))1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(BB,\s\up6(→))1·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0且eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－a2.∴eq\o(BA,\s\up6(→))1·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a2.又eq\o(BA,\s\up6(→))1·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(BA,\s\up6(→))1|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(BA,\s\up6(→))1，eq\o(AC,\s\up6(→))〉，∴cos〈eq\o(BA,\s\up6(→))1，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(－a2,\r(2)a·\r(2)a)＝－eq\f(1,2).又∵〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉∈[0，π]，∴〈eq\o(BA,\s\up6(→))1，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝120°，又∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴异面直线BA1与AC成60°角．反思与感悟利用向量求异面直线夹角的方法：跟踪训练2已知：PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l⊂α，且l⊥OA.求证：l⊥PA.证明如图，取直线l的方向向量a，同时取向量eq\o(PO,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→)).因为l⊥OA，所以a·eq\o(OA,\s\up6(→))＝0.因为PO⊥α，且l⊂α，所以l⊥PO，因此a·eq\o(PO,\s\up6(→))＝0.又因为a·eq\o(PA,\s\up6(→))＝a·(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))＝a·eq\o(PO,\s\up6(→))＋a·eq\o(OA,\s\up6(→))＝0，所以l⊥PA.类型三利用数量积求距离例3如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．解因为eq\o(AC,\s\up6(→))1＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA,\s\up6(→))1，所以eq\o(AC,\s\up6(→))eq\o\al(2,1)＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA,\s\up6(→))1)2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AA1,\s\up6(→))2＋2(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA,\s\up6(→))1＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA,\s\up6(→))1)．因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，所以〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉＝90°，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA,\s\up6(→))1〉＝60°，所以eq\o(AC,\s\up6(→))eq\o\al(2,1)＝1＋4＋9＋2(1×3×cos60°＋2×3×cos60°)＝23.因为eq\o(AC,\s\up6(→))21＝|eq\o(AC,\s\up6(→))1|2，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))1|2＝23，|eq\o(AC,\s\up6(→))1|＝eq\r(23)，即AC1＝eq\r(23).反思与感悟利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝eq\r(a·a)求解即可．跟踪训练3如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．解∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝12＋2(2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°)＝8，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，即A，D两点间的距离为2eq\r(2).1．设a、b、c是任意的非零向量，且它们互不共线，有下列命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)·c－(c·a)·b与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有()A．①② B．②③C．③④ D．②④答案D解析结合向量的数量积运算律，只有②④正确．2.已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，则〈eq\o(A′B,\s\up6(→))，eq\o(B′D,\s\up6(→))′〉等于()A．30° B．60°C．90° D．120°答案D解析eq\o(B′D,\s\up6(→))′＝eq\o(BD,\s\up6(→))，∵△A′BD为正三角形，∴〈eq\o(A′B,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝120°.3．已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于()A．6eq\r(2)B．6C．12D．144答案C解析∵eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))2＝eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144，∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝12.4．已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为________．答案6解析由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.5．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________.答案eq\r(13)解析|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6·cos60°＋9＝13.∴|a＋3b|＝eq\r(13).①空间向量数量积的性质可以看成定义的引申和拓展，空间向量数量积与向量的模和夹角有关，更多的是以它为工具，解决立体几何中与夹角和距离相关的问题，求空间两点间的距离或线段的长度的问题可以转化为求相应向量的模的问题；②求空间两条直线所成的角的问题可以转化为求两条直线对应向量的夹角的问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围；③和垂直相关的问题可以转化为向量的数量积为零的情况．一、选择题1．设a、b为空间的非零向量，下列各式：①a2＝|a|2；②eq\f(a·b,a2)＝eq\f(b,a)；③(a·b)2＝a2·b2；④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4答案B解析由数量积的性质和运算律可知①④是正确的，故选B.2．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么()A.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＜eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))B.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＞eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))D.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))不能比较大小答案C解析易知AE⊥BC，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|·cos120°－|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos120°＋eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|·|eq\o(CD,\s\up6(→))|·cos120°＜0.∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)).3．已知空间向量a，b，c两两夹角60°，其模都为1，则|a－b＋2c|等于()A.eq\r(5)B．5C．6D.eq\r(6)答案A解析∵|a－b＋2c|2＝|a|2＋|b|2＋4|c|2－2a·b＋4a·c－4b·c＝12＋12＋4×12－2·1·1·cos60°＋4·1·1·cos60°－4·1·1·cos60°＝5，∴|a－b＋2c|＝eq\r(5).4．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A．2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)) B．2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))C．2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)) D．2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))答案C解析2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a2，故A错；2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝－a2，故B错；2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a2，故D错，只有C正确．5．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是()A．30° B．45°C．60° D．90°答案C解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))2＋eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0＋12＋0＝1，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1.∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2×1)＝eq\f(1,2).∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴a与b所成的角是60°.6．已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为()A.eq\r(3)B．2C.eq\r(5)D.eq\r(6)答案D解析∵eq\o(AC,\s\up6(→))1＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA,\s\up6(→))1∴eq\o(AC,\s\up6(→))eq\o\al(2,1)＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA,\s\up6(→))1)2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AA,\s\up6(→))eq\o\al(2,1)＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA,\s\up6(→))1＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA,\s\up6(→))1＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))1|＝eq\r(6).二、填空题7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为eq\f(π,3)，则|a＋b|＝________.答案eq\r(7)解析|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×coseq\f(π,3)＋22＝7，∴|a＋b|＝eq\r(7).8．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq\r(7)，则cos〈a，b〉＝________.答案eq\f(1,8)解析将|a－b|＝eq\r(7)化为(a－b)2＝7，求得a·b＝eq\f(1,2)，再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求得cos〈a，b〉＝eq\f(1,8).9．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．答案－13解析∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(32＋12＋42,2)＝－13.三、解答题10．如图所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.求证：CC1⊥BD.证明设eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC,\s\up6(→))1＝c，则|a|＝|b|.∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝b－a，∴eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CC,\s\up6(→))1＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝|b||c|cos60°－|a||c|cos60°＝0，∴eq\o(CC,\s\up6(→))1⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，即CC1⊥BD.11.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，若AB＝CD，AC＝BD，E，F分别是AD，BC的中点，试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线．证明连接AF，∵点F是BC的中点，∴Aeq\o(F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，又|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|，∴AC2＝AD2－2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋AB2，①同理AB2＝CD2＝AD2－2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋AC2②将①代入②可得AB2＝AD2－2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋AD2－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋AB2，∴2AD2－2eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→)).同理可得eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).∴EF⊥AD且EF⊥BC，∴EF是AD与BC的公垂线．12.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝1，求PB与CD所成的角．解由题意知|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∵PA⊥平面ABCD，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.∵AB⊥AD，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，∵AB⊥BC，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝1，又∵|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，∴cos〈eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(PB,\s\up6(→))·\o(DC,\s\up6(→)),|\o(PB,\s\up6(→))||\o(DC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，∵〈eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉∈[0，π]，∴