《应用数学基础》课件第十二章　典型习题解答与提示

第十二章排列、组合与二项式定理典型习题解答与提示习题12-11．12种。2．6种。3．（1）完成的事件是取一个小球，由加法原理知：共有5＋4＝9（种）；（2）各取一个小球，由乘法原理知：共有（种）。习题12-2略。2．（1）；（2）1680；（3）~（6）略。3．（1）略。（2）证明：左边右边。所以左边＝右边，即：；（3）证明：左边右边，所以左边＝右边，即。4．（1）因为，所以，所以，所以（舍去），所以为方程的根；同理可解（2）；（3）。5．（1）；（2）；（3）。6．该问题是排列问题，能组成个不重复的四位数，个没有重复的六位数。7．共有种分法。8．共有种没有重复的三位数，共有种可重复的三位数。9．电话号码可重复，故以4为首的六位电话号码共有（种）。10．这是一个重排列问题，故共有种不同信号。11．（1）因不放回，故有：（种）；（2）因放回，是重排列，故有：（种）。习题12-31．略。2．（1）；（2）~（4）略。3．证明（1）因为，，所以；同理可证（2）。4．（1）由得即，所以；（2）因为，所以，，所以。5．（1）；（2）；（3）。6．（个）。7．（1）没有一件次品，共有种取法；（2）恰有一件次品，共有种；（3）至少有一件次品，共有种；（4）最多有一件次品，共有种。习题12-41．由二次式展开定理（1）；（2）同理可求（3）、（4）、（5）。2．由二项式定理得：（1）的后三项分别是：，，，即，，；前三项分别为，，；（2）展开式的中间一项为：；（3）展开式为：，令，得。所以，不含项为；（4）展开式的通项为：，令，得含项为：。3．（1）由通项公式得：的通项为。即。由已知：，且。所以，；（2）由通项公式得：展开式中的第4项系数为，展开式中的第6项系数为，由已知：解之：。故这两项的系数分别为、；*（3）由通项公式得：展开式中的第5项系数为；展开式中的第3项系数为，由已知：，解之得。所以二项式的展开式通项为：令得，故展开式中含的项为：；*（4）由通项公式得的通项为：令得：，由已知：，解之。在中，含有的项为：令即，解之。故含的项为：。4．（1）证明：由得：令，代入上式两边得：；（2）用（1）的结论即可证明；（3）证：由得：令代入：，所以等式成立。5．（1）；（2）。6．（1）、（2）提示化成二项式展开。复习题十二1．（1）由，得，即，所以，所以。即。所以即为所求；（2）因为，即。整理得，解之得即为所求。2．（1）；（2）；（3）2个，54312和54320。3．（1）由已知，某两人排在一起的所有排法有种；（2）；（3）。4．（1）；（2）。5．（1）；（2）；（3）。6．（1）；（2）；（3）。7．把每个学生的报名参赛看成完成这件事的一个步骤，共分四个步骤，每一步骤有种方法，故四名学生参赛的不同方式共有（种）。*8．（1）分成取4个，3个，2个红球三类情况来取，得（种）；（2）仍分成三类情况（取4个，3个，2个红球），得（种）或（种）。9．（1），，由已知：，解之。所以展开式中不含的项为：令即。故展开式中不含的项为：；（2）由通项公式得：的第二项，第三项，第四项。由已知，解之得10．证明：由通项公式得：的通项为，的系数为，的通项为，的系数为。由已知得，所以，所以。11．证明：（1）当时，能被9整除，命题成立；（2）假设当时，命题成立，即能被9整除。（3）当时，由假设知能被9整除，也能被9整除。所以能被9整除。由（1）（2）（3）知，当为任意整数时命题成立，即都有能被9整除（符号表示任意）。12．的通项为，，，由已知得，解之得。所以第4项、第6项的系数分别为。13．解方法一：因为，所以所求的系数是的展开式中，，的系