基于malab的大学物理教学中的电子教案

基于malab的大学物理教学中的电子教案

1matlab的应用在高等教育课程的教学中，基于“officeofinformation”的电子课程测试得到了广泛应用。自1999年以来，我们开始使用“ep”制作电子课程，并进行全面的教育，并取得了良好的教育效果。该电子课程后来获得了中国第三次计算机多媒体和网络物理学研究所的成员。然而用“Powerpoint”制作电子教案有其局限性,物理学中的许多最终结果,特别是其图像表现难以用“Powerpoint”软件完成.Matlab语言以其强大的作图及动画功能而能准确和科学地反映物理学问题的本质,语句也十分简洁清晰,且简单易学,目前已被迅速运用到大学物理教学中.本文通过物理学中的三个典型实例介绍Matlab在制做物理图像过程中的具体应用.第1、2两个实例是关于静电场和电偶极子振荡所辐射的电场线的图像,第3个实例是作出粒子在一维周期性势场中的能带图像,即所谓的克朗尼格-朋奈模型.2/2-qy40.2-qy2+2-q3/2-qy2+2/2考虑由三点电荷所组成的系统,如图1所示,其中一个点电荷-q位于坐标原点,另一个点电荷-q位于y轴上的a点,最后一个点电荷+2q位于y轴的-a点,则在xOy平面内,电场强度为E(x‚y)={2qx4πε0[(y+a)2+x2]3/2-qx4πε0(y2+x2)3/2-qx4πε0[(y-a)2+x2]3/2}i+{2q(y+a)4πε0[(y+a)2+x2]3/2-qx4πε0(y2+x2)3/2-q(y-a)4πε0[(y-a)2+x2]3/2}j任意条电场线应满足方程:dydx=Ey(x‚y)Ex(x‚y)(1)求解式(1)可得2(y+a)[(y+a)2+x2]1/2-y(y2+x2)1/2-q(y-a)[(y-a)2+x2]1/2=C这就是电场线满足的方程,常数C取不同值将得到不同的电场线.显然上式是一个超越方程,想由此直接解出y=f(x)的表达式再作图是不可能的.为此我们将上式中变量x和y作无量纲化处理,得到2(ya+1)[(ya+1)2+(xa)2]1/2-ya[(ya)2+(xa)2]1/2-q(ya-1)[(ya-1)2+(xa)2]1/2=C(2)作下列替换:xa⇒x‚ya⇒y用Matlab语言以式(2)作y对x的函数图,如图2所示.其语句是:ezplot(′2*(y+1)/sqrt((y+1)^2+x^2)-y/sqrt(y^2+x^2)-(y-1)/sqrt(y-1)^2+x^2)-C′,[-5,5]);其中取a=1,C=0,0.1,0.2,…,3.0.可见,这类图形用“Powerpoint”是难以完成的,通常的做法是使用扫描仪把教材上的图扫描下来做成图像文件供插入调用.3辐射电场线应满足方程电偶极子振荡是电磁波辐射理论的基础,使学生清楚地了解电磁场的辐射规律是十分重要的.设电偶极子的电偶极矩为p=p0eiωtez采用球坐标,可得到在任意时刻t、空间任意处r的辐射电场:Er=2p0k34πε0cosθ[1(kr)3cos(ωt-kr)+1(kr)2cos(ωt-kr+π2)]Eθ=p0k34πε0sinθ{[1(kr)3-1kr]cos(ωt-kr)+1(kr)2cos(ωt-kr+π2)}Eφ=0辐射的电场线应满足方程:drrdθ=ErEθ(3)解式(3)可得[1(kr)2+1]1/2sin2θcos[ωt-kr+arctan(kr)]=C(4)这就是辐射的电场线所应满足的方程,当C取不同值时可得到不同的辐射电场线,任一条电场线在辐射过程中随时间演化的进程都可用Matlab清晰地展现出来.将kr写成kr=2πλr=2π[(xλ)2+(zλ)2]1/2而sinθ=xr=x√x2+z2对式(4)的变量r和t作无量纲化处理,将以上两式代入式(4)得作下列替换:xλ⇒x‚zλ⇒y用Matlab语言以式(5)作y对x在t=T时的函数图,写出Matlab语句:symsxyezplot(′sqrt((1/(x^2+y^2)/2/pi)+1)*(x^2/(x^2+y^2))*(cos(-2*pi*sqrt(x^2+y^2)+atan(2*pi*sqrt(x^2+y^2))))+C′,[-1,1,0.01]);其中C分别取±1,±0.4,±0.1,0.所得图形如图3所示.对于电场线演化的进程,我们在式(5)中取C=0.4‚tΤ分别取0.00,0.25,0.50,0.75,1.00,就可得到这条电场线辐射的进程,如图4所示.最后可以将每条电场线的辐射过程作成动画引入Powerpoint在课堂上演示.4用matlab求解电子能量e与波数k的关系考虑电子位于如图5所示的一维周期性势场中(克朗尼格-朋奈模型),势函数满足以下关系:V(x)={00＜x＜cV0-b＜x＜0在任一点有V(x)=V(x+na)其中n为任意整数.薛定谔方程为d2ψdx2+2meh¯(E-V0)ψ=0(6)令:ψ(x)=eikxu(x)α2=2meEh-2β2=2meh¯2(V0-E)其中me是电子的质量,E是电子的能量.求解方程(6),可得到电子的能量E所满足的方程:β2-α22αβsinh(βb)sin(αc)+cosh(βb)⋅cos(αc)=cos(ka)‚E＜V0(7)-β′2-α22αβ′sin(β′b)sin(αc)+cos(β′b)⋅cos(αc)=cos(ka)‚E＞V0(8)其中β′=-iβ(9)可见,要直接解出电子的能量E与波数k的关系再作图是不可能的.而用Matlab却能作出能带图.注意到式(7)成立的条件是电子的能量E<V0,相当于电子被束缚在势阱中,我们期望通过作图得到类似束缚态的能级图;而式(8)成立的条件是电子的能量E>V0,电子处于势阱外的概率会很大,这相当于固体中电子共有化,从而形成能带,我们期望通过作图得到相应的能带图.为此,仍需将式(7)和式(8)中的变量作无量纲化处理,但实际上式(8)是式(7)通过代换式(9)得到的.因此,只需对式(7)作无量纲化处理.取a-c=b=0.2×10-9m,为原子尺度,c=10-9m,比原子尺度大一个量级,V0=24.23×10-19J≈15eV,变换式(7)中的变量:{αc=2meEc2h¯2=2meV0c2h¯2EV0≈20EV0βb=2meb2(V0-E)h¯2=2meV0b2h¯21-EV0≈41-EV0(10)再对式(7)中的变量作下列替换:ka⇒x‚EV0⇒y(11)将式(10)和式(11)代入式(7),写出下列Matlab语句并作图,如图6所示.从图6中可以看出,当y<1时,图6中的下半部分对应式(7),电子被束缚在势阱中,的确得到能级;当y>1时,图6中的上半部分对应式(8),曲线开始振荡,表明y的取值有一定范围,这就是能带,而相邻的两条振荡曲线之间就是禁带.这与传统的能带图有明显的区别.5用matlab求解通过以上实例,说明了在大学物理教学中,有许多地方Matlab都可大显身手,特别是对那些以超越方程如式(2)、式(4)、式(7)和式(8)等表示最终结果的问题,或是以