北师大数学总复习第8章第8课时曲线与方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精【A级】基础训练1．一圆形纸片的圆心为O,点Q是圆内异于O的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使点A与点Q重合,然后抹平纸片,折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为（）A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆解析:∵折痕所在的直线是AQ的垂直平分线，∴｜PA|＝｜PQ｜，又∵|PA|＋｜OP|＝r，∴|PQ｜＋|OP｜＝r，由椭圆的定义知点P的轨迹是椭圆，故选A。答案：A2．设线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动,且|AB｜＝5，eq\o(OM,\s\up6(→)）＝eq\f(3,5）eq\o（OA，\s\up6(→））＋eq\f（2,5)eq\o(OB,\s\up6（→)），则点M的轨迹方程为(）A.eq\f（x2,9）＋eq\f（y2，4)＝1B.eq\f(y2，9）＋eq\f（x2,4)＝1C。eq\f(x2，25）＋eq\f（y2,9)＝1D。eq\f（y2,25）＋eq\f（x2，9）＝1解析:设M(x，y），A(x0，0)，B（0，y0),由eq\o（OM，\s\up6（→）)＝eq\f(3,5）eq\o(OA，\s\up6(→))＋eq\f(2，5)eq\o（OB，\s\up6（→))，得（x，y）＝eq\f(3，5)（x0，0）＋eq\f(2，5）（0，y0）,则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f（3，5)x0,，y＝\f（2，5)y0,)）解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x0＝\f(5，3)x，，y0＝\f（5,2）y,))由｜AB｜＝5，得eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（5，3)x))2＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（5，2）y）)2＝25,化简得eq\f(x2,9)＋eq\f(y2，4)＝1，故选A。答案:A3．(2014·天津和平一模)在△ABC中,A为动点，B，C为定点，Beq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（a，2），0）），Ceq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(a，2),0))且满足条件sinC－sinB＝eq\f(1，2)sinA，则动点A的轨迹方程是(）A。eq\f(16x2,a2)－eq\f(16y2，15a2)＝1(y≠0）B.eq\f（16y2，a2)－eq\f(16x2,3a2）＝1（x≠0)C.eq\f（16x2,a2)－eq\f（16y2，15a2)＝1(y≠0）的左支D。eq\f(16x2,a2）－eq\f（16y2，3a2)＝1（y≠0)的右支解析：sinC－sinB＝eq\f(1，2）sinA，由正弦定理得|AB|－|AC｜＝eq\f（1，2）｜BC｜＝eq\f（1，2)a（定值)．∴A点的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支，其中实半轴长为eq\f(a，4)，焦距为|BC|＝a。∴虚半轴长为eq\r(\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（a，2)))2－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（a,4)))2)＝eq\f(\r(3)，4）a，由双曲线标准方程得动点A的轨迹方程为eq\f（16x2，a2)－eq\f（16y2，3a2)＝1（y≠0）的右支．答案：D4．已知椭圆eq\f（x2，2）＋y2＝1，则斜率为－1的弦的中点的轨迹方程是________．解析：设弦的两个端点及中点的坐标分别为A(x1，y1）、B(x2，y2）、M(x，y）．则有eq\f(x\o\al(2，1)，2）＋yeq\o\al(2,1）＝1,eq\f（x\o\al(2,2)，2）＋yeq\o\al（2,2)＝1，两式相减得eq\f(x\o\al(2,1）－x\o\al(2，2）,2)＋（yeq\o\al(2，1)－yeq\o\al(2，2））＝0.又x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，eq\f（y1－y2,x1－x2）＝－1，所以x－2y＝0。因为弦的中点在椭圆内，所以－eq\f(2\r(3)，3）≤x≤eq\f（2\r(3），3)。答案：x－2y＝0eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(2\r(3），3)≤x≤\f(2\r(3）,3)))5．（2014·南昌模拟)与双曲线eq\f(x2，4）－eq\f(y2,2）＝1共焦点，且过点(2,1）的圆锥曲线的方程为________．解析：(1）若该曲线为双曲线，则设方程为eq\f（x2,a2)－eq\f（y2，b2）＝1（a＞0，b＞0)，则a2＋b2＝6,eq\f(4,a2）－eq\f（1，b2)＝1，联立得a2＝b2＝3，∴方程eq\f（x2,3)－eq\f(y2,3）＝1。（2）若该曲线为椭圆,设方程为eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2，n2）＝1(m＞n＞0），则m2－n2＝6，eq\f(4，m2)＋eq\f(1,n2）＝1.∴m2＝8，n2＝2，方程为eq\f（x2，8）＋eq\f（y2,2）＝1.综上,所求圆锥曲线方程为eq\f(x2,8)＋eq\f（y2，2)＝1或eq\f(x2，3）－eq\f（y2,3）＝1。答案:eq\f(x2,8）＋eq\f(y2,2)＝1或eq\f（x2，3)－eq\f(y2,3）＝16．已知A（2，－1），B(－1，1），O为坐标原点，动点M满足eq\o(OM，\s\up6（→）)＝meq\o(OA,\s\up6（→)）＋neq\o(OB,\s\up6(→)）,其中m，n∈R且2m2－n2＝2，则M的轨迹方程为________．解析：设M(x,y），则（x，y)＝m(2，－1）＋n（－1,1)，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2m－n，y＝n－m))⇒eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m＝x＋y，,n＝x＋2y,))代入2m2－n2＝2，得x2－2y答案：x2－2y2＝27．(2013·高考重庆卷)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝eq\f(\r（2),2)，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，｜AA′｜＝4.(1)求该椭圆的标准方程；（2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．解析：（1)由题意知，A(－c,2)在椭圆上，则eq\f(－c2，a2）＋eq\f(22,b2）＝1.从而e2＋eq\f(4，b2)＝1.由e＝eq\f(\r（2),2），得b2＝eq\f（4，1－e2)＝8，从而a2＝eq\f(b2,1－e2）＝16。故该椭圆的标准方程为eq\f(x2，16)＋eq\f（y2,8)＝1。（2)由椭圆的对称性，可设Q（x0，0)．又设M（x，y)是椭圆上任意一点,则｜QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋xeq\o\al(2，0)＋8eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f（x2，16）)）＝eq\f（1，2)（x－2x0)2－xeq\o\al(2,0）＋8（x∈［－4，4]）．设P（x1，y1)，由题意知，点P是椭圆上到点Q的距离最小的点,因此，上式当x＝x1时取最小值．又因为x1∈（－4，4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－xeq\o\al（2,0).因为PQ⊥P′Q，且P′（x1,－y1），所以eq\o（QP，\s\up6（→))·eq\o(QP′，\s\up6(→））＝（x1－x0,y1）·（x1－x0，－y1）＝0，即(x1－x0）2－yeq\o\al（2，1)＝0，由椭圆方程及x1＝2x0,得eq\f(1,4）xeq\o\al(2，1）－8eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（x\o\al(2,1)，16)）)＝0，解得x1＝±eq\f（4\r(6）,3)，x0＝eq\f（x1,2）＝±eq\f(2\r（6),3)，从而|QP｜2＝8－xeq\o\al(2,0）＝eq\f（16,3）.故这样的圆有两个,其标准方程分别为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f(2\r（6），3）)）2＋y2＝eq\f(16，3），eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f（2\r（6)，3））)2＋y2＝eq\f(16,3).【B级】能力提升1．已知点M(－3,0)，N（3，0)，B（1,0），动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（）A．x2－eq\f（y2,8)＝1(x＞1） B．x2－eq\f(y2,8)＝1（x＜－1)C．x2＋eq\f（y2，8)＝1（x＞0） D．x2－eq\f（y2，10）＝1(x＞1）解析：设另两个切点为E、F,如图所示，则|PE|＝|PF|,｜ME｜＝｜MB｜，|NF|＝｜NB｜。从而｜PM|－｜PN｜＝｜ME|－｜NF｜＝｜MB｜－|NB|＝4－2＝2＜|MN｜，所以P的轨迹是以M、N为焦点,实轴长为2的双曲线的右支．所以a＝1,c＝3，所以b2＝8。故方程为x2－eq\f（y2,8）＝1（x＞1)．答案：A2．设P为圆x2＋y2＝1上的动点,过P作x轴的垂线,垂足为Q,若eq\o(PM，\s\up6（→)）＝λeq\o（MQ，\s\up6(→))，（其中λ为正常数),则点M的轨迹为(）A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线解析：设M（x，y),P(x0，y0)，则Q（x0,0）,由eq\o(PM，\s\up6（→))＝λeq\o(MQ,\s\up6(→)),得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－x0＝λx0－x，,y－y0＝－λy.）)（λ＞0)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x0＝x，,y0＝λ＋1y.)）由于xeq\o\al（2,0）＋yeq\o\al（2，0)＝1,∴x2＋（λ＋1)2y2＝1。∴M的轨迹为椭圆．答案：B3．设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰直角△OPQ，则动点Q的轨迹是（）A．圆 B．两条平行直线C．抛物线 D．双曲线解析:设P(1，t），Q（x,y）,由题意知｜OP｜＝|OQ｜，∴x2＋y2＝1＋t2①又eq\o（OP,\s\up6(→）)·eq\o(OQ,\s\up6（→））＝0，∴x＋ty＝0，∴t＝－eq\f（x,y),y≠0.②把②代入①,得(x2＋y2)（y2－1)＝0，即y＝±1.所以动点Q的轨迹是两条平行直线．答案：B4．(2014·深圳模拟)已知动圆：x2＋y2－2axcosθ－2bysinθ＝0(a，b是正常数，a≠b,θ是参数),则圆心的轨迹方程为________．解析:设圆心坐标为（x，y），将原方程配方得(x－acosθ)2＋（y－bsinθ）2＝a2cos2θ＋b2sin2θ，故有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝acosθ,y＝bsinθ))（a，b为正常数，a≠b，θ为参数)，消去θ得eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（x，a）））2＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(y,b)))2＝1即eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2，b2）＝1（a＞0，b＞0,a≠b)．答案：eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2)＝1（a＞0,b＞0，a≠b）5．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（eq\r（7），0)，直线y＝x－1与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为－eq\f(2,3）,则此双曲线的方程是________．解析：依题意a2＋b2＝c2＝7，则设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f（y2，7－a2）＝1，在双曲线上任取A(x1,y1），B(x2,y2)，则eq\f（x\o\al（2,1),a2)－eq\f（y\o\al（2,1)，7－a2)＝1,①eq\f(x\o\al（2，2),a2）－eq\f(y\o\al（2,2)，7－a2)＝1,②联立得eq\f(1，a2）(x1＋x2）（x1－x2)＝eq\f(1，7－a2)(y1＋y2)(y1－y2），又由x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，x＝－eq\f（2,3），y＝x－1＝－eq\f（5，3),k＝eq\f（y1－y2,x1－x2）＝1，得a2＝2.∴eq\f（x2,2）－eq\f(y2,5)＝1.答案：eq\f(x2，2)－eq\f(y2,5)＝16．（2014·昆明模拟）设定点M（－3，4），动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为邻边，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为________．解析：设P（x,y)，圆上的动点N(x0，y0),则线段OP的中点坐标为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（x,2)，\f(y,2)）),线段MN的中点坐标为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(x0－3，2）,\f(y0＋4,2))),又因为平行四边形的对角线互相平分，所以有:eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（x,2）＝\f（x0－3,2），\f（y,2)＝\f（y0＋4,2)））可得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x0＝x＋3，，y0＝y－4,))又因为N(x0，y0）在圆上，所以N点坐标应满足圆的方程．即有(x＋3)2＋(y－4)2＝4,但应除去两点eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5），\f(12，5)）)和eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(21,5），\f(28,5）)）。答案：（x＋3）2＋(y－4）2＝4eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1（除去两点\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f（12,5））)））eq\b\lc\\rc\）（\a\vs4\al\co1(和\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5)))））7．(创新题)在平面直角坐标系中，已知向量a＝(x，y－eq\r(2)），b＝（kx，y＋eq\r（2））(