解答题专项提分计划四川省2023届高考数学复习专题1三角函数与解三角形理科含解析

Page342023届四川省高考数学复习专题1三角函数与解三角形（理科）解答题30题专项提分计划1．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且(1)求证：；(2)若的面积为，求.【答案】(1)证明过程见解析；(2)【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理得到，使用余弦定理得到，两式联立求出；（2）利用面积公式得到，结合第一问的，得到.(1)因为,所以，整理为，因为，所以，所以，由正弦定理得：，由余弦定理得：，即将代入上式，可得：(2)由面积公式得：，所以，结合第一问的，可得：，因为，所以.2．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）记的内角的对边分别为，已知.(1)的值;(2)若b=2，当角最大时，求的面积.【答案】(1)0(2)【分析】（1）由正弦定理结合得到，推导出；（2）方法一：根据，结合第一问中的结论，结合基本不等式求出当时A取到最大值，由正弦定理求出，利用三角形面积公式求出答案；方法二：根据，利用余弦定理得到，利用角A的余弦定理，结合基本不等式求出A取到最大值为，此时，利用三角形面积公式求出答案.（1）∵，由正弦定理得：，∵，∴，∴，方程两边同时除以得：∴，（2）方法一：∵当且仅当，即时等号成立，此时A取到最大值.∵，∴，则，由正弦定理得：，即，解得：，∴当A最大时，方法二：∵，∴，∴，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，此时A取到最大值为，∵，∴，∴当A最大时，3．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）的内角所对边分别为，，，已知，.(1)若，求的周长；(2)若边的中点为，求中线的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意利用正弦定理角化边整理可得，结合题意求，即可得周长；（2）根据，结合向量模的运算与余弦定理化简整理得，根据（1）中的结论结合基本不等式运算求解.【详解】（1）∵，由正弦定理可得：，则，若，则，解得，故的周长.（2）∵，∴，由（1）可得：，即，∵，当且仅当时，等号成立，∴，则，故，则，所以的最大值为.4．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）从①，②两个条件中选择一个补充到题目中，完成下列问题：在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，且．(1)求的面积；(2)若是线段的中点，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）若选择①，则得，由余弦定理即可得到，结合条件，，代入三角形面积公式即可求解；若选择②，由射影定理，又，，结合余弦定理即可得到，代入三角形面积公式即可求解；（2）由中点向量得，，平方化简可得，即可求解.【详解】（1）选择①，因为，即在中，由余弦定理得：，，，又，，故的面积.选择②，因为，则射影定理，得，又，，在中，由余弦定理得：，，，故的面积.（2）因为是线段的中点，所以，即，则所以，故的长为.5．（2022·四川·校联考模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，判断的形状；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，﹐__________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见详解．【分析】若选①由面积公式先求得，根据基本不等式求得，从而求得，故不存在；若选②利用余弦定理和面积公式结合角的范围即可求出角，从而求解各边长，即可判断的形状；若选③利用面积公式先求解角，再用余弦定理求解各边长，即可判断的形状．【详解】若选①，这样的不存在．理由如下：由已知得，所以，则．又，所以．又由所以与正弦函数的有界性矛盾．故这样的不存在．若选②，这样的存在．由，得，由余弦定理得，所以．（1）又，即，（2）由（1），（2）消去ac得，所以，即，因为a，b，c成等差数列，b不是最大边，所以所以，即．则，解得，此时为等边三角形．若选③，这样的存在．由题意有，则，所以，因为a，b，c成等差数列，b不是最大边，所以所以，由余弦定理得解得，所以，又，解得．此时为等边三角形．6．（2022·四川成都·统考模拟预测）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在以下①、②、③中选择一个作为条件，并加以解答，如果①、②、③都做，则按①给分．①向量与向量平行．②③(1)确定角A和角B之间的关系；(2)若D为线段BC上一点，且满足BD＝AD＝4，若2a＝3b，求b．【答案】(1)2B＝A(2)【分析】（1）选①：利用两个向量平行的坐标公式和正弦定理以及两角和差的正弦公式化简可得；选②：由余弦定理和正弦定理以及两角和差的正弦公式化简可得；选③：由二倍角公式及两角和差的公式化简可得.（2）利用正弦定理和角平分线的性质可得答案.（1）若选①：因为向量与向量平行，所以，由正弦定理，可得∵，，，∴或∴（舍）或2B＝A，即2B＝A若选②：，所以，由正弦定理，可得∵，，，∴或∴（舍）或2B＝A，即2B＝A若选③：，∵，∴所以上式化为∵，，∴，即．（2）如图，作出△ABC示意图如下：∵2a＝3b，由正弦定理，可得，过D向AB作垂线，垂足为H，∴．因为BD＝AD，所以H是AB中点，AB＝c＝6．因为BD＝AD，所以∠B＝∠BAD，因为∠BAC＝2∠B＝∠BAD＋∠CAD，所以∠BAD＝∠CAD，AD是∠BAC的角平分线，即有，解得．7．（2022·四川泸州·四川省泸县第二中学校联考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．，．请再从条件①：，；条件②：，．这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)的值；(2)c和面积S的值．【答案】(1)条件选择见解析，(2)条件选择见解析，，【分析】（1）若选①，由已知条件可得，得或，由于，则可得，进而可求出，若选②，由已知条件可得，得或，由于，则可得，进而可求出，（2）若选①，由正弦定理得，由得，再由余弦定理得，则，求得，然后利用三角形面积公式可求得结果，若选②，由正弦定理结合三角函数恒等变换公式可得，从而可得，则，然后利用三角形面积公式可求得结果，(1)若选①：，，在中，，即，而，故或，则或，∵，故，∴；若选②：，在中，，即，而，故或，则或，由，得：，∴；(2)若选①：，，由正弦定理得：，，则，由知：，故，则，∴，；若选②：，由正弦定理得：，∵∴，即，，∵，故，则，∴∴由余弦定理得，，得，∴．8．（2022·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求角A的大小；(2)若，，且AD平分，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）由两角和的正切公式化简后求解（2）由AD是角平分线得到，再利用面积公式求解【详解】（1），故，则；（2）设BC边的高为h，所以，又是角平分线，所以所以，即，又，则，解得，，．9．（2022·四川成都·统考模拟预测）△中，角所对边分别是，，．(1)求角及边；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据正弦定理及可求，利用同角关系以及正弦定理可求；（2）根据正弦定理把边化为角，结合辅助角公式可得最大值.（1）因为，由正弦定理，可得，所以，即.因为，所以，通分可得，即，，所以，即.（2）因为，所以，由正弦定理可得，．其中且φ为锐角，当时，取到最大值.10．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）在中，内角的对边分别为，且______．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．(1)求角的大小；(2)若角的内角平分线交于，且，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①：利用正弦定理边化角，结合诱导公式可求得，进而得到；若选②：根据三角形面积公式和平面向量数量积定义可构造方程求得，进而得到；若选③：根据两角和差正切公式化简已知等式可求得，由可求得，进而得到；（2）根据，利用三角形面积公式化简可得，由，利用基本不等式可求得最小值.【详解】（1）若选条件①，由正弦定理得：，，，，则，又，.若选条件②，由得：，，则，又，.若选条件③，由得：，，即，又，，.（2），，即，，，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.11．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知相邻两条对称轴之间的距离为．(1)求的值及函数的单调递减区间；(2)已知，，求的值．【答案】(1)，单调递减区间：(2)【分析】（1）化简的解析式，根据“相邻两条对称轴之间的距离”求得，利用整体代入法求得的单调递减区间.（2）由求得，进而求得，从而求得.（1），∵相邻两条对称轴之间的距离为，∴，∴，∴；由，解得，∴的单调递减区间为；（2）由（1）知，∵，∴，∴，∴，∴，．12．（2022·四川雅安·统考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角A的大小；(2)若点D在边BC上，，且，求面积的最大值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）结合三角恒等变换、正弦定理等知识求得，进而求得的大小.（2）由两边平方，化简后利用基本不等式求得的最大值，进而求得面积的最大值．【详解】（1）由已知，得，根据正弦定理，得，即，由于，，所以，为锐角，所以．（2）由，得，则，所以，所以，，则，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以．即面积的最大值为．13．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）在锐角中，角，，所对的边为，，，且．(1)证明：；(2)求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正弦定理化简可得，所以，即可证明.（2）因为△ABC为锐角三角形，可求出的范围，即可求出的范围，由正弦定理化简，令，，由函数的单调性即可求出的取值范围．【详解】（1）∵，由正弦定理，得，即，∴，∴或（舍），即，∴，∴．（2）由锐角△ABC，可得，，．即，∴．∵．令，，因为在上单调递增，所以当，当，∴．14．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知函数(1)求函数的对称中心及在上的单调递增区间；(2)在锐角中，A、B、C的对边分别为a，b，c，，，，D为边BC上一点，且，求AD的值．【答案】(1)对称中心为；单调递增区间为，.(2)【分析】（1）先由二倍角公式和辅助角公式化简函数，再根据整体代入法即可求得对称中心和单调区间；（2）由正弦定理和余弦定理即可求解.【详解】（1）函数.由，，解得，．故对称中心为．由，，解得，令，有，令，有，又所以所求的单调递增区间为，.（2）因为，所以，即又在锐角中，所以，在中，由正弦定理可得：，所以，解得，又由余弦定理得，解得或2，当BC=2时，，此时为钝角三角形，与题设矛盾，所以，又，所以，在中，由余弦定理可得，故的值为.15．（2022·四川资阳·统考一模）记的内角，，所对的边分别是，，．已知．(1)求角的大小；(2)若点在边上，平分，，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据余弦定理化简即可得到角的大小；（2）由角平分线定理可得，由，结合余项定理化简即可求得结果.【详解】（1）因为，即化简可得，由余弦定理可得，所以，且，则（2）由（1）知，由余弦定理可得，将代入，化简可得，又因为平分，由角平分线定理可得，即，且，所以，又因为,则，结合余弦定理可得，解得，所以则16．（2022·四川泸州·统考一模）设锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，在①；②这两个条件中任选一个作为条件，试探究符合条件的是否存在，若存在，求b；若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)选①，不存在；选②，存在，【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，结合，求出；（2）选①：由正弦定理得到，进而得到，，故锐角不存在；选②：求出，，满足为锐角三角形，进而由正弦定理求出.【详解】（1），由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，因为，所以；（2）选①：，锐角中，，，，由正弦定理得：，即，解得：，因为为锐角三角形，所以，因为在上单调递增，且，所以，此时，此时与为锐角三角形矛盾，这样的三角形不存在；选②：，锐角中，，，，则，故，满足均为锐角，满足题意，，由正弦定理得：，即，解得：，故符合条件的存在，.17．（2022·四川自贡·统考一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.若D在线段BC上，且，.(1)求A；(2)求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由使用三角恒等变换求得值；（2）将用表示，由求得关系，使用基本不等式求的最大值，从而得到面积的最大值.【详解】（1）因为，因为，所以.（2）由得，，所以.所以.所以.所以，当且仅当时等号成立.所以.所以.故面积的最大值.18．（2022·四川南充·统考一模）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量，，且．(1)求角A的大小；(2)若，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根据平面向量平行的判定条件得，即可求出的值，进而求出角；（2）首先利用正弦定理进行角换边的转化，得，然后利用余弦定理求出，的值，然后利用面积公式进行求解即可.【详解】（1）已知，，，，得，，.（2）已知，根据正弦定理得，即.根据余弦定理得，将代入得，解得，即得..19．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若角的平分线交于且，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）化简得到，根据正弦定理计算得到，得到角度.（2）设，，确定，计算，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1），即，即.由正弦定理得，，，故.，，故，又，故，故；（2），设，，根据向量的平行四边形法则：，即，，又，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为.20．（2022·四川德阳·统考一模）在△ABC中，边a、b、c对应角分别为A、B、C，且．(1)求角B的大小；(2)从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得△ABC存在且唯一，求AC边上的高．条件①：，b＝1；条件②：b＝2，；条件③：a＝3，c＝2．注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后整理计算可得答案；（2）若选择条件①：由三角形的三角一边可得△ABC唯一确定，再利用正弦定理计算求答案；若选择条件②：根据正弦定理计算得，得到△ABC不存在；若选择条件③：由三角形的两边及其夹角确定可得△ABC存在且唯一，再利用正弦定理计算求答案.【详解】（1）由正弦定理边化角得，，得，，，（2）若选择条件①：，b＝1，，，，则△ABC中均唯一确定，又，则△ABC存在且唯一，由正弦定理，AC边上的高为；若选择条件②：b＝2，，由正弦定理得，△ABC不存在；若选择条件③：a＝3，c＝2，，由a＝3，c＝2，可得△ABC存在且唯一，由余弦定理，则，由正弦定理得，AC边上的高为；21．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）由于2020年1月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民生活也逐步恢复正常．李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，也是中国的商机．某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，且米，．记．(1)当时，求；(2)请写出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值．【答案】(1)；(2)，；当时，取得最大值.【分析】（1）在△中由正弦定理求得，即可由数量积的定义求得结果；（2）在△中由正弦定理用表示，结合三角形的面积公式，即可求得结果，再根据三角函数的性质，即可求得取得最大值时对应的.【详解】（1）根据题意，在△中，，又，故由正弦定理可得：解得，，故.即.（2）由题可知，在△中，，则由正弦定理，可得，故可得，故.即.当时，，此时取得最大值.22．（2023·四川广安·统考一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c从下列三个条件中选择一个并解答问题：①；②；③．(1)求角A的大小；(2)若，且的面积为，求的周长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)；(2).【分析】（1）如选择①，由已知可得，根据正弦定理以及两角和的正弦公式的逆用，即可得出，进而求出；如选择②，由已知可得，根据正弦定理以及两角和的正弦公式，即可得出，利用辅助角公式可得，根据角的范围即可求出；如选择③，由余弦定理可得，，化简即有，进而求出，即可求出；（2）根据三角形的面积公式即可求出，根据余弦定理即可求出，进而即可得到的周长．【详解】（1）如选择①，有，即，由正弦定理可得，，又，所以，因为，所以.如选择②，由可得，，由正弦定理可得，，又，所以，又，所以，即，所以.因为，所以，所以，解得.如选择③，.由余弦定理可得，，整理可得，，所以.因为，所以.（2）由（1）知，，又，且的面积为，所以有，解得，由余弦定理可得，，所以，所以的周长.23．（2023·四川内江·统考一模）已知向量，，设函数.(1)若，求的值；(2)设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且________，求的取值范围.从下面两个条件中任选一个，补充在上面的空隔中作答.①；②；注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)；(2)选①和②答案都是.【分析】（1）结合向量坐标乘法及三角恒等变换，将化简成，再解方程求出的值即得解；（2）结合正弦定理、三角恒等变换及三角形角的范围，可解出的值，即可求出的范围，即可求出的取值范围.【详解】（1）解：因为，，所以，当时，，所以或.所以或.当，时，；当时，.综合得.（2）解：若选①，由正弦定理可得，即，即，由于，所以，解得，由于，得，所以，所以，得，即的取值范围是.若选②，由正弦定理可得，即，由于，所以，由于，得，所以，所以，得，即的取值范围是.24．（2023·四川绵阳·统考二模）在中，角所对的边分别为，，．(1)求的值；(2)若，求边上中线的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角可化简得到，代入即可求得的值；（2）根据向量数量积的定义可求得，利用余弦定理可求得，根据，根据向量数量积的定义和运算律可求得，进而得到中线长.【详解】（1）由正弦定理得：，，，，，又，，解得：.（2），，由余弦定理得：，，，，即边上中线的长为.25．（2023·四川攀枝花·统考二模）在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)线段上一点D满足，，求△的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）应用正弦定理边角关系可得，再由三角形内角性质及辅助角公式求角的大小；（2）令，△中应用正弦定理求得，进而确定，最后应用三角形面积公式求面积.【详解】（1）由题设及正弦定理边角关系：，又，所以，即，又，则，故，即.（2）由题设，令，则，，，在△中，即，所以，故，所以，即，故，所以，则，综上，.26．（2023·四川乐山·统考一模）设函数(1)求函数的最大值和最小正周期；(2)在锐角中，角所对的边分别为为的面积.若且求的最大值.【答案】(1)最大值为，最小正周期为(2)【分析】（1）根据三角恒等变换得，即可解决；（2）由题得，代入题中解决即可.【详解】（1）由题知，所以函数的最大值为，最小正周期为．（2）由（1）得，因为，所以．因为B为锐角，所以．因为，所以，.所以．所以．当时，原式有最大值．所以的最大值为.27．（2023·四川成都·统考一模）记的内角所对边分别为．已知．(1)求的大小；(2)若，再从下列条件①，条件②中任选一个作为已知，求的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)；(2).【分析】(1)由正弦定理化边为角，结合内角和公式，三角函数恒等变换化简求；(2)若选①，由正弦定理求，由条件求，结合三角形面积公式求面积，若选②，由条件可设，利用余弦定理求，结合三角形面积公式求面积.【详解】（1），由正弦定理知，即．在中，由，．．．．（2）若选择条件①，由正弦定理，得．．又，即．．．若选择条件②，由，