三角形的高中线角平分线人教版八年级数学上册

11.1.2三角形的高、中线与角平分线第十一章三角形君子成人之美，不成人之恶学习目标1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点）2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）君子成人之美，不成人之恶知识回顾概念三角形三角形的分类三角形的三边关系按角分类按边分类三角形两边的和大于第三边三角形两边的差小于第三边边、顶点、角君子成人之美，不成人之恶回顾旧知画一个三角形，思考下列问题.(1)

画一个三角形，指出三角形的重要要素.(2)

关于顶点、边(线段)、角，你联系到那些知识？A

B

C

a

b

c

顶点、

边(线段)、

角垂线中点角平分线高

线中

线角平分线君子成人之美，不成人之恶复习回顾导入新课

定义

图示垂线线段中点角平分线OBAAB当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线把一条线段分成两条相等的线段的点一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线君子成人之美，不成人之恶你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?012345012345678910012345678910012345678910012345012345放、靠、过、012345678910012345012345012345678910012345012345画.思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?复习导入导入新课君子成人之美，不成人之恶三角形的高一三角形的高的定义A从三角形的一个顶点，BC向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足D之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.如右图,线段AD是BC边上的高.和垂足的字母.注意!标明垂直的记号012345678910012345012345讲授新课君子成人之美，不成人之恶表示方法：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.记作AD⊥BC于点D.知识点1三角形的高新知探究ABCD三角形的高是一条垂线段君子成人之美，不成人之恶新知探究BCA

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高.D∵

∠ADB=90°∴

AD是△ABC的高∵

AD是△ABC的高②∠ADB=∠CDA=90°∴

①AD⊥BC,垂足为D君子成人之美，不成人之恶思考：你还能画出一条高来吗？一个三角形有三个顶点，应该有三条高.君子成人之美，不成人之恶(1)

你能画出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？O(3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?锐角三角形的三条高交于同一点；锐角三角形的三条高都在三角形的内部.锐角三角形的三条高如图所示；君子成人之美，不成人之恶直角边BC边上的高是

;直角边AB边上的高是

;(2)AC边上的高是

;直角三角形的三条高ABC(1)

画出直角三角形的三条高,ABBC它们有怎样的位置关系？D直角三角形的三条高交于直角顶点.BD君子成人之美，不成人之恶钝角三角形的三条高

(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？ABCDEF(2)AC边上的高呢？AB边上呢？BC边上呢？BFCEAD君子成人之美，不成人之恶ABCDF(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？(4)它们所在的直线交于一点吗？OE钝角三角形的三条高不相交于一点；钝角三角形的三条高所在直线交于一点.君子成人之美，不成人之恶新知探究

三角形高的数量

高的位置

高的关系333都在三角形内部一条在三角形内部，两条是三角形的两条直角边一条在三角形外部，两条在三角形内部相交于一点在三角形内部相交于一点为点C相交于一点在三角形外部垂心君子成人之美，不成人之恶张大爷有一块三角形土地，他想平均分给两个儿子，并且两人所得土地都得挨着水井A，都得靠道路BC.你能帮张大爷出主意吗？情境导入君子成人之美，不成人之恶0难点知识▲三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.∵AD是△ABC的中线三角形中线的理解新知探究君子成人之美，不成人之恶画出三角形的三条中线，并认真观察三条中线的位置关系.ABC●●EFOD三角形的三条中线都在三角形内部，并且相交于一点，这个点就是三角形的重心.新知探究君子成人之美，不成人之恶EABCD解：相等.∵D是BC的中点∴BD=DC而△ABD的面积=BD×AE△ADC的面积=DC×AE△ABD的面积与△ADC的面积相等例1：如图,在△ABC中,AD,AE分别是BC边上的中线和高.试判断△ABD和△ADC的面积是否相等中线的性质新知探究君子成人之美，不成人之恶三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形总结归纳几何语言：∵BD是△ABC的中线∴AD=CD(中线定义)∴S△ABD=S△CBD(等底同高)君子成人之美，不成人之恶1.如图，AD为△ABC的中线，E为边AD上的中点，且△AEC的面积为3，则△ABC的面积为________．应用练习君子成人之美，不成人之恶应用练习

君子成人之美，不成人之恶3.有一质地均匀的三角形铁片，若阿龙想用木棒撑住此铁片，则支撑点应设在该三角形的

处最恰当.例题讲解-重心及应用君子成人之美，不成人之恶4.已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示,点A，B，C，P均在格点上,则点P叫做△ABC的()A.内心B.重心C.外心D.无法确定应用练习君子成人之美，不成人之恶知识点

三角形的角平分线

在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。如图，AD是△ABC的角平分线，则AD平分∠BAC，即∠1=∠2.

三角形的三条角平分线交于三角形内部一点。君子成人之美，不成人之恶如图,在△ABC中,BD是∠ABC的角平分线,已知∠ABC=80°,则∠DBC=___°.例题讲解君子成人之美，不成人之恶如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=52°，AD平分∠BAC，求∠DAC的度数.应用练习君子成人之美，不成人之恶

课堂小结三角形中的重要线段线段位置交点位置高锐角三角形直角三角形钝角三角形中线角平分线一条高位于三角形内部，另外两条高位于三角形外部全在三角形内部全在三角形内部一条高位于三角形内部，另外两条高与直角边重合全在三角形内部在三角形内部在三角形直角顶点在三角形外部在三角形内部（重心）在三角形内部君子成人之美，不成人之恶1.如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法中正确的是（）A．DE是△ACE的高 B．BD是△ADE的高 C．AB是△BCD的高 D．DE是△BCD的高【解析】因为∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，所以DE是△CDB的高，BD是△ABC的高，AB是△ABC的高.故选D．D

课堂训练君子成人之美，不成人之恶2.下列说法正确的是（）A．三角形的三条高线交于一点 B．直角三角形有三条高 C．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部 D．三角形的角平分线是射线 B【解析】A.三角形三条高线所在的直线一定交于一点，但三角形的三条高线不一定交于一点，比如钝角三角形，因为高线是线段不可延长，故错误；C.锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．D.三角形的角平分线是线段.故选B．君子成人之美，不成人之恶3.如图，△ABC中，AB=15，BC=9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（）A．20 B．24 C．26 D．28B【解析】方法一：因为BD是AC边上的中线，所以AD=CD．因为△ABD的周长为30，所以AB+BD+AD=30．所以BD+AD=30﹣AB=30﹣15=15．所以△BCD的周长为BC+CD+BD=BC+AD+BD=9+15=24．方法二：因为BD是AC边上的中线，所以△ABD的周长-△BCD的周长=AB-BC=15-9=6．又因为△ABD的周长为30，所以△BCD的周长=30﹣6=24．故选B．君子成人之美，不成人之恶4.如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的有（）①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个C【解析】因为∠1=∠2，所以AE平分∠DAF，故③正确；又因为∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，所以AE平分∠BAC，故⑤正确．故选C．君子成人之美，不成人之恶5.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线