数学苏教版选修2-3学案1.2排列

1.2排列学习目标重点、难点1．能说出排列的概念；2．能利用计数原理推导排列数公式；3．能利用排列数公式解决简单的实际问题.重点：排列概念的理解，排列数公式．难点：利用排列数公式解决实际问题.1．排列的概念一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．预习交流1如何判断一个问题是否是排列问题？提示：排列问题与元素的排列顺序有关，是按一定的顺序排成一列，如果交换元素的位置，其结果发生了变化，叫它是排列问题，否则，不是排列问题．2．排列数的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．根据分步计数原理，我们得到排列数公式＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n，m∈N*，且m≤n.n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．在排列数公式中，当m＝n时，即有＝n(n－1)(n－2)·…·3·2·1，称为n的阶乘(factorial)，通常用n！表示，即＝n！.我们规定0！＝1，排列数公式还可以写成＝.预习交流2如何理解和记忆排列数公式？提示：是m个连续自然数的积，最大一个是n，依次递减，最后一个是(n－m＋1)．在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、排列问题下列三个问题中，是排列问题的是__________．①在各国举行的足球联赛中，一般采取“主客场制”，若共有12支球队参赛，求比赛场数；②在“世界杯”足球赛中，采用“分组循环淘汰制”，共有32支球队参赛，分为八组，每组4支球队进行循环，问在小组循环赛中，共需进行多少场比赛？③在乒乓球单打比赛中，由于参赛选手较多，故常采用“抽签捉对淘汰制”决出冠军．若共有100名选手参赛，待冠军产生时，共需举行多少场比赛？思路分析：交换元素的顺序，有影响的是排列问题，否则，不是．答案：①解析：对于①，同样是甲、乙两队比赛，甲作为主队和乙作为主队是两场不同的比赛，故与顺序有关，是排列问题；对于②，由于是组内循环，故一组内的甲、乙只需进行一场比赛，与顺序无关，故不是排列问题；对于③，由于两名选手一旦比赛后就淘汰其中一位，故也与顺序无关，故不是排列问题．下列问题是排列问题吗？并说明理由．①从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？②从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？解：①不是排列问题；②是排列问题．理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关，但做除法时，两个元素谁是除数，谁是被除数不一样，此时与位置有关，故做加法不是排列问题，做除法是排列问题．判断排列问题的原则：①与顺序有关；②元素互不相同；③一次性抽取．二、排列数问题解方程：3Aeq\o\al(3,x)＝2Aeq\o\al(2,x＋1)＋6Aeq\o\al(2,x).思路分析：先把式中的排列数转化为关于x的表达式，并注意Aeq\o\al(m,n)中m≤n，且m，n为正整数这些限制条件，再求解关于x的方程．解：由3Aeq\o\al(3,x)＝2Aeq\o\al(2,x＋1)＋6Aeq\o\al(2,x)，得3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)．∵x≥3，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0.解得x＝5或x＝eq\f(2,3)(舍)，故x＝5.解不等式：Aeq\o\al(x,9)＞6Aeq\o\al(x－2,6).解：由排列数公式，原不等式可化为：eq\f(9！,9－x！)＞6×eq\f(6！,6－x＋2！)，∴eq\f(9×8×7,9－x)＞6，解得x＞－75.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≥0，,x≤9，,6≥x－2，))∴2≤x≤8.又∵x为整数，∴原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7,8}．有关以排列数公式形式给出的方程、不等式，应根据有关公式转化为一般方程、不等式，再求解，但应注意其中的字母都是满足一定条件的自然数．三、数字排列问题用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数，如果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少个？思路分析：先排个位数，再排千、百、十位数，再由分步计数原理求得适合条件的四位数的个数．解：第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是偶数，个位数字只能是2,4,6之一，所以有Aeq\o\al(1,3)种排法，第二步排千、百、十这三个数位上的数，有Aeq\o\al(3,6)种排法．根据分步计数原理，适合条件的四位数的个数为N＝Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,6)＝360，所以这样的四位数有360个．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万，又不是5的倍数的数有多少个？解：法一：因为0和5不能排在首位和个位，先将它们排在中间4个数位上有Aeq\o\al(2,4)种排法，再排其他4个数位有Aeq\o\al(4,4)种排法，由分步计数原理得，共有Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(4,4)＝12×24＝288个数符合要求．法二：六个数位的全排列共有Aeq\o\al(6,6)个，其中0排在首位或个位有2Aeq\o\al(5,5)个，还有5排在首位或个位上的也有2Aeq\o\al(5,5)个，这两种情况都包含0和5分别在首位或个位上的排法有2Aeq\o\al(4,4)种，所以符合条件的数字个数有Aeq\o\al(6,6)－4Aeq\o\al(5,5)＋2Aeq\o\al(4,4)＝288个．关于数字问题要注意首位数字不能为0，其次注意特殊位置或特殊数字，再考虑其他位置或其他数．也可用全排列数减去不合要求的排列数．1．已知Aeq\o\al(2,n)＝7Aeq\o\al(2,n－4)，则n＝__________.答案：7解析：由排列数公式得，n(n－1)＝7(n－4)(n－5)，∴3n2－31n＋70＝0，解得n＝7或n＝eq\f(10,3)(舍)．∴n＝7.2．将五辆车停在5个车位上，其中A车不停在1号车位上的停车方案有__________种．答案：96解析：因为A车不停在1号车位上，所以可先将A车停在其他四个车位上，有Aeq\o\al(1,4)种停法；然后将另外四辆车在剩余的四个车位上进行全排列，有Aeq\o\al(4,4)种停法，由分步计数原理得，共有N＝Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝4×24＝96种不同的停车方案．3．用1,2,3,4,5这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数有__________个．答案：36解析：当个位数字分别为1,3,5时，百位、十位上数字的排列总数均为Aeq\o\al(2,4)＝12个．由分类计数原理知，没有重复数字的三位奇数共有12＋12＋12＝36个．4．从甲、乙、丙、丁4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块试验田上进行试验，其中甲品种必须入选，则不同的种植方法有多少种？解：本题相当于从4个元素中取出3个元素的排列，其中甲元素必取，优先考虑甲元素，先排甲，有Aeq\o\al(1,3)种方法，再从乙、丙、丁三个元素中选出两个元素的排列数为Aeq\o\al(2,3).则由分步计数原理得，满足条件的排列有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,3)＝18种不同的种植方法．5．从7名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，求满足下列条件的方案种数．(1)甲、乙二人都不跑中间两棒；(2)甲、乙二人不都跑中间两棒．解：(1)从甲、乙之外的5人中选2人安排在中间两棒，有Aeq\o\al(2,5)种方法，再从余下的5人中安排首末两棒，有Aeq\o\al(2,5)种方法，由分步计数原理知共有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(2,5)＝400种不同的安排方案．(2)从7人中选