《应用数学基础下》课件第十五章　典型习题解答与提示

第十五章导数的应用典型习题解答与提示习题15-11．（1）①函数在闭区间上连续是显然的，②因，所以在开区间上可导，③，即满足特例中三个条件，所以有一点，有成立；（2）①函数的闭区间上连续是显然的，②因，故在开区间上可导，满足拉氏定理条件，因，令，即，故，取有成立；（3）提示：，因为，令，可求取；（4）提示：，因，令，可得。2．（1）函数，在区间上满足拉氏定理的条件，故，即；（2）函数在上满足拉氏定理的条件，故，显然有，即有；（3）因函数在区间上满足拉氏定理的条件，故，注意到余弦函数在第1象限为减函数，即，所以，即，注：当且仅当时，不等式取等号；（4）函数在区间上满足拉氏定理条件，故，即。3．（1）因，故函数在上为单调减函数；（2），则函数在整个数轴上单调增，当然在上为增函数。4．（1）函数在，上为单调增，在上为单调减；（2）函数在区间上为单调减，在区间上为单调增；（3）函数在区间为单调增，在区间为单调减；（4），令，当时，，当－2＜＜－1时，当时，，当时，故函数在区间，上单调增，在上为单调减；（5）因，令，则，当时，，则为函数的单调增区间，当时，，则为函数的单调减区间；（6），则函数在上为单调增。5．（1）提示，令，则，当时，；（2）提示，令，故；（3）设，所以，因为当，所以，函数在上为单调增，由，即；（4）设，则，故函数在上为单调增，所以，即。6．（1）因，所以在为单调增，但作为的函数不是单调函数；（2）在上单调增，但在上不是单调函数。习题15-21．（1）极大值，极小值；（2），令，，所以，则函数在处有极大值，，即函数在，有极小值；（3）函数在处取得极小值；（4）函数在处取得极小值；（5），令，为整数，，故当时，，函数有极大值；当时，，函数有极小值；（6），则，故，令，当时，，当时，，即函数在处取得极大值；（7），当时，不存在且函数在处连续，当时，；当时，，即函数在处取得极大值；（8），因，故，即函数在上为单调增，无极值。2．，取，令，得，,故当时，函数在处取得极大值为。3．，由题已知条件，故即函数在上为单调增函数，即它无极值。习题15-31．（1）因，即函数在上递增，最小值为，最大值为；（2）函数在区间上最小值为，最大值为；（3），令，考虑，，则函数在区间上最大值为，最小值为；（4），令，考虑，则函数在区间上的最小值为，最大值为；（5），令，得，因为，则函数在区间上最大值为，最小值为。2．当底面半径为，高为时，用料最省。3．当宽为5m，长为10m时，所围长方形面积最大。4．设圆的半径为，则矩形的高为，故截面面积，故，令，m，依题意必存在极大值。即当矩形底边约为m，高约m时，截面面积最大。5．设C距A在输电线上的垂足为km，则电线总长为，则，令，则，依题意必存在极小值，所以当变压器装置在距A垂足km处，所用电线最省。6．提示：设断面的宽为，这时高满足，则有函数，求并解，当截面矩形宽为，高为时，强度最大。7．设圆锥底面半径为，高为，则，则，令，即，依题意必存在极大值，所以当炸药包被埋在深为处，爆破体积最大。习题15-41．（1）函数曲线在内呈现凹状；（2）函数曲线在内呈现凸状；（3）函数曲线在内呈现凹状；（4），即当、曲线呈现凸状，当、曲线呈现凹状；（5），令，当、曲线呈现凹状，当、曲线呈现凸状，当、曲线呈现凹状。2．（1）在区间内呈现凸状，在区间内呈现凹状，点为拐点；（2）在曲线呈现凸状，曲线呈现凹状，拐点；（3），令，求得，则当时、曲线呈现凹状，当时、曲线呈现凸状，即凹区间为，凸区间为，拐点为；（4），当时，不存在，但函数在处连续，当时，，当时，，即区间呈现凸状，区间呈现凹状，（2,0）为拐点；（5）提示：参见第五节中例2。3．，取时，令及曲线过点，有，则，这时，，当从1的一侧变化到另一侧时，变号，即当时，点为曲线的拐点。4．因，令得，因在这些点的左右两侧均改变符号，所以点，，都是拐点。因为，，即这三个拐点位于同一条直线上。习题15-5略习题15-61．（1）；（2）；（3）2；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。2．（1）0；（2）；（3）0；（4）；（5）；（6）令，则，故，即，所以；（7）设，则，故则，即；（8）令，则，则，所以。3．（1），若用洛必达法则，原式不存在，所以（1）不能用洛必达法则；（2），若用洛必达法则，原式与原题相比，没有任何改进，再用一次洛必达法则，又变回原题，故（2）也不能用洛必达法则。*习题15-71．。2．（1）；（2）平均变化率约为；（3）。3．，因为，所以。4．，令；，所以生产50000单位时，利润最大。5．因为（1），所以；，所以；；（2）令，所以。，所以当时，总收益最大。6．，所以总收益，成本，所以利润，所以；令，所以；，所以当时，收益最大。7．因为，所以。复习题十五1．（1）①函数在闭区间上连续是显然的，②因，则函数在开区间上是可导的，因，则，使成立；（2）①因，所以，即函数在分断点处连续，从而函数在闭区间上连续，②，，故，当时，；当时，，由上可知，在开区间上可导，所以满足拉氏定理的条件，考虑，取或取，都有成立；（3）①函数在闭区间上连续是显然的，②，则函数在开区间上可导，故，满足成立。2．（1）证：函数在区间上满足拉氏定理条件，则有，故，即，推出；（2）证：令，故在时为单调增，则，即成立；（3）证：函数在闭区间上满足拉氏定理条件，则，，故，即。故。3．（1），令；，不存在，则当时，；当，；当时，，即区间和，函数为单调增；，函数为单调减；（2），则当时，，函数为单调减，当时，，函数为单调增；（3），则函数在上为单调增；（4），令，当时，；当时，；当时，，即函数在区间和上为单调增；上为单调减。4．（1），令，当时，；当时，；当时，，即函数在处有极小值；在处有极大值；（2），令，当时，；当时，；当时，，即函数在处取得极大值，在处取得极小值；（3），令，，当时，；时，；时，，因函数在处不连续，因此函数在处取得极大值，在处不取极值，当从1的左侧变化到1的右侧时，不变号，即不是极值点；（4），令，，，当时，不存在；当时，；当时，；当时，；当时，，因此函数在处有极小值；在处有极大值；在处有极小值。5．（1），令，则，即最小值为，最大值；（2）提示，，最小值，最大值。6．设所求直线方程为，令；令，设截距之和为，则，令，。，，即当时，S有极小值。这时所求直线方程为，即。7．设在处视角为，如图15-2所示，则，，42图42图15-2复习题十五中7图示令，依题意必存在极大值，即在矩形幕底边m处，视角最大。8．设圆柱底面半径为，则高，总成本为，则。令，这是高。依题意必存在极小值，即当底面半径为，高为时，造价最低。9．（1），令，因函数为奇函数，故只考虑情况，当时，，曲线为凸；当时，，曲线为凹；由对称性知和，曲线为凸；和，曲线为凹，点，，为拐点。（2），令，当从的一侧变化到另一侧时，变号，容易得出，在区间和内，，曲线为凹；区间上，，曲线为凸；（3），，令，因函数为奇函数，故只考虑情况，当，，曲线为凸；当，，曲线为凹；由对称性知，曲线为凸；，曲线为凹，拐点为。10．因，故有，即。[当从1的一侧变化到另一侧时，变号，即确为拐点]。11．略。12．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）令，则，故，即当时，，原式；