二项式定理知识点及常见题型

二项式定理题型及解题方法一、知识要点—项式定理：（a+b）n—C0an+C1an-1b+C2an-2b2+…+Cran-rbr+…+Cnbn二项展开式通项公式：Tn—3-rbr（：T=0,1,2,…,n）" "r+1 n二项式系数的性质：（a+b）n的展开式的二项式系数有如下性质：（1）（2）在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。如果二项式的幕指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幕指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。C0+C1+C2+ +Cn-2+Cn-1+Cn=2nC0n+C2n+C4n+……=C1"+C3+C5+•：....=2n-14.二项展开式的系数a,a,a,a,…，a的性质：f（x）=a+ax+aX2+aX3 +axnn , 0、 1 2 、3 n⑵a_a+a-a +（-1）na=f（-1）0 12 3 n⑷a+a+a+a……=f⑴-f㈠）

a+a+a+a=⑹|a.|+|a」+|a.|+|a_| +|a|=?（3）（4）0123+a=f(1)=f⑴+f(-1)2a0+a1+a2+a3ao+a2+a4+a6a0=f（0） o1 , 3注意（1）奇数项、偶数项、奇次项、偶次项各自表示的意义。（2）“某项”、“某项的二项式系数”、“某项的系数”之间的区别。6.证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去（缩小），或把某些负项删去（放大），使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明.（1+x）n>1+nx+n（n_—x2 2<（1+L）n2 ;（x>0）如：求证：n⑸5.①（1+x）n>1+nx.②7.进行近似计算：求数的〃次幕的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数（或减一个小数）的形式.当1X1充分小时，我们常用下列公式估计近似值：n(n-1)(1+x)n牝1+nx+ x2①(1+x)nm1+nx.② 2如：求1・°56的近似值，使结果精确到0.01;二，常见题型一.求展开式中的项（&x1.已知在（1）求n；n的展开式中，第6项为常数项.（2）求含-2的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.二、求两个二项式乘积的展开式指定幕的系数(尤2+1)(X-2)7的展开式中，x3项的系数是求(1+x)2(1-X)5的展开式中x3的系数.在(1+X)5(1+X)4的展开式中，X3的系数为三、 求可化为二项式的三项展开式中指定幕的系数(x+——2)3TOC\o"1-5"\h\z(X)的展开式中，常数项是 ；求(1+x+x2)8展开式中X5的系数.换元法1,已知f(x)=X5=a+a(1+X)+a(1+X)2+...+a(1+X)5，求a的值.0 1 2 5 32，已知(2x+1)9=a+a(1—x)+a(1—x)2+...+a(1—x)9，求a的值.0 1 2 9 5五、求系数最大或最小项特殊的系数最大或最小问题在二项式(X—1)11的展开式中，系数最小的项的系数是(乂X+ —)8求 2^x展开式中系数最大的项;六、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和1 若(2x+c3)4=a+aX+ax2+ax3+ax4 则(a+a+a)2—(a+a)2的值为. 0 1 2 3 4 ， 0 2 4 1 32..已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+・・・+a7x7，求：(1)a1+a2+・・・+a7；(2)a1+a3+a5+a7；(3)a0+a2+a4+a6；(4)|a0|+|a1|+|a2|+・・・+|a7|.3求值2〃—C12n-1•3+C22n-2•32—...+(—1)nCn3n(1+x)+(1+X》