数学人教A版必修4问题导学1.2.2同角三角函数的基本关系

1.2.2同角三角函数的基本关系问题导学一、利用三角函数基本关系式求值活动与探究1已知tanα＝，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．迁移与应用已知cosα＝，α∈(π，2π)，则tanα＝()A．B．C．D．同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求是一解还是两解，同时应体会方程思想的运用．活动与探究2已知tanα＝－2，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋cos2α.迁移与应用已知α是第三象限角，4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝1，则tanα＝()A．－1或2B．C．1D．2方法一利用已知条件将sinα全部化为cosα，从而得到各式的值，可以说是运用了“减少变量”的思想．而方法二是将关于sinα，cosα的齐次式(所谓关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次)分子分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，根据已知条件再解决所求问题就简单得多．同时，要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”“1＝”等．二、三角函数式的化简活动与探究3化简下列各式：(1)；(2)sin2αtanα＋2sinαcosα＋.迁移与应用已知tanθ＋＝3，求tan2θ＋(sinθ－cosθ)2＋的值．化简三角函数式常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．三、三角恒等式的证明活动与探究4求证：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.迁移与应用求证：.证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边；(2)证明左右两边都等于同一个式子；(3)变更论证．采用左右相减、化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式．当堂检测1．已知α是第四象限角，cosα＝，则sinα等于()A．B．C．D．2．已知tanα＝，则的值是()A．eq\f(4,3)B．3C．－eq\f(4,3)D．－33．若角α的终边在第二象限，则的值等于()A．2B．－2C．0D．－2或24．已知α∈，tanα＝2，则cosα＝__________.5．若sinα＝，则sin4α－cos4α＝__________.提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案：课前预习导学【预习导引】sin2α＋cos2α＝1eq\f(sinα,cosα)＝tanα(cosα≠0)预习交流提示：除了掌握两个基本公式外，还要熟练掌握其等价形式：sin2α＋cos2α＝1sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α；tanα＝eq\f(sinα,cosα)sinα＝tanα·cosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))；(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：解答本题可由商数关系和平方关系，构建sinα，cosα的方程组求解．解：由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3)得sinα＝eq\f(4,3)cosα．①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得eq\f(16,9)cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝eq\f(9,25)．∵α在第三象限，∴cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,3)cosα＝－eq\f(4,5)．迁移与应用1．B解析：∵cosα＝－eq\f(12,13)＜0，α∈(π，2π)，则α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，∴sinα＜0．又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝1－cos2α＝eq\f(25,169)．∴sinα＝－eq\f(5,13)．∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(5,12)．活动与探究2思路分析：解答本题可结合商数关系和平方关系，将正切化为弦函数求解或将弦函数化为正切函数求解．解：方法一：由tanα＝－2，得sinα＝－2cosα．(1)eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)＝eq\f(－8cosα－2cosα,5cosα－6cosα)＝10．(2)eq\f(1,4)sin2α＋eq\f(2,5)cos2α＝eq\f(\f(1,4)sin2α＋\f(2,5)cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(cos2α＋\f(2,5)cos2α,4cos2α＋cos2α)＝eq\f(7,25)．方法二：∵tanα＝－2，∴cosα≠0．(1)eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)＝eq\f(4tanα－2,5＋3tanα)＝eq\f(4×(－2)－2,5＋3×(－2))＝10．(2)eq\f(1,4)sin2α＋eq\f(2,5)cos2α＝eq\f(\f(1,4)sin2α＋\f(2,5)cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(1,4)tan2α＋\f(2,5),tan2α＋1)＝eq\f(7,25)．迁移与应用D解析：由4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝1可得eq\f(4sin2α－3sinαcosα－5cos2α,sin2α＋cos2α)＝1．分子，分母同时除以cos2α，得eq\f(4tan2α－3tanα－5,tan2α＋1)＝1，解得tanα＝－1或tanα＝2．又∵α是第三象限角，∴tanα＞0．∴tanα＝2．活动与探究3思路分析：(1)中含有根号，运用弦函数平方关系将被开方式化为平方形式去根号；(2)观察式子中有正切，从而利用切化弦的思路进行变形．解：(1)原式＝eq\f(\r(sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°),sin130°＋\r(cos2130°))＝eq\f(|sin130°－cos130°|,sin130°＋|cos130°|)＝eq\f(sin130°－cos130°,sin130°－cos130°)＝1．(2)原式＝sin2α·eq\f(sinα,cosα)＋2sinαcosα＋cos2α·eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sin4α＋2sin2αcos2α＋cos4α,cosαsinα)＝eq\f((sin2α＋cos2α)2,sinαcosα)＝eq\f(1,sinαcosα)．迁移与应用解：由已知得eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝3，∴eq\f(sin2θ＋cos2θ,sinθcosθ)＝3．∴sinθcosθ＝eq\f(1,3)．∴原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanθ＋\f(1,tanθ)))2－2＋(1－2sinθcosθ)＝32－2＋1－eq\f(2,3)＝eq\f(22,3)．活动与探究4思路分析：将右边展开，利用平方关系，提出公因式整理证明．证明：右边＝[(1－sinα)＋cosα]2＝(1－sinα)2＋cos2α＋2cosα(1－sinα)＝1－2sinα＋sin2α＋cos2α＋2cosα(1－sinα)＝2－2sinα＋2cosα(1－sinα)＝2(1－sinα)(1＋cosα)＝左边，所以原式成立．迁移与应用证明：左边＝eq\f(cos22x＋sin22x－2sin2xcos2x,cos22x－sin22x)＝eq\f((cos2x－sin2x)2,(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x))＝eq\f(cos2x－sin2x,cos2x＋sin2x)＝eq\f(1－tan2x,1＋tan2x)＝右边，所以原式成立．【当堂检测】1．B解析：∵α是第四象限角，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝－eq\f(5,13)．2．A解析：原式＝eq\f(2tanα,tan2α－1)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2－1)＝eq\f(4,3)．3．C解析：∵α是第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0．∴eq\f(sinα,\r(1－sin2α))＋eq\f(\r(1－cos2α),cosα)＝eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝－tanα＋tanα＝0．4．－eq\f(\r(5),5)解析：∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，∴cosα＜0，eq